高中数学人教版必修5配套练习34基本不等式第1课时

第三章3.4第1课时一、选择题1．函数f(x)＝xx＋1的最大值为()A.25B．12C.22D．1[答案]B[解析]令t＝x(t≥0)，则x＝t2，∴f(x)＝xx＋1＝tt2＋1.当t＝0时，f(x)＝0；当t0时，f(x)＝1t2＋1t＝1t＋1t.∵t＋1t≥2，∴01t＋1t≤12.∴f(x)的最大值为12.2．若a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则()A．ab≤12B．ab≥12C．a2＋b2≥2D．a2＋b2≤3[答案]C[解析]∵a≥0，b≥0，且a＋b＝2，∴b＝2－a(0≤a≤2)，∴ab＝a(2－a)＝－a2＋2a＝－(a－1)2＋1.∵0≤a≤2，∴0≤ab≤1，故A、B错误；a2＋b2＝a2＋(2－a)2＝2a2－4a＋4＝2(a－1)2＋2.∵0≤a≤2，∴2≤a2＋b2≤4.故选C.3．设0＜a＜b，且a＋b＝1，则下列四个数中最大的是()A.12B．a2＋b2C．2abD．a[答案]B[解析]解法一：∵0＜a＜b，∴1＝a＋b＞2a，∴a＜12，又∵a2＋b2≥2ab，∴最大数一定不是a和2ab，∵1＝a＋b＞2ab，∴ab＜14，∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab＞1－12＝12，即a2＋b2＞12.故选B.解法二：特值检验法：取a＝13，b＝23，则2ab＝49，a2＋b2＝59，∵59＞12＞49＞13，∴a2＋b2最大．4．(2013·湖南师大附中高二期中)设a＞0，b＞0，若3是3a与3b的等比中项，则1a＋1b的最小值为()A．8B．4C．1D．14[答案]B[解析]根据题意得3a·3b＝3，∴a＋b＝1，∴1a＋1b＝a＋ba＋a＋bb＝2＋ba＋ab≥4.当a＝b＝12时“＝”成立．故选B.5．设a、b∈R＋，若a＋b＝2，则1a＋1b的最小值等于()A．1B．3C．2D．4[答案]C[解析]1a＋1b＝121a＋1b(a＋b)＝1＋12ba＋ab≥2，等号在a＝b＝1时成立．6．已知x0，y0，x、a、b、y成等差数列，x、c、d、y成等比数列，则a＋b2cd的最小值是()A．0B．1C．2D．4[答案]D[解析]由等差、等比数列的性质得a＋b2cd＝x＋y2xy＝xy＋yx＋2≥2yx·xy＋2＝4.当且仅当x＝y时取等号，∴所求最小值为4.二、填空题7．若0x1，则x(1－x)的最大值为________．[答案]14[解析]∵0x1，∴1－x0，∴x(1－x)≤[x＋1－x2]2＝14，等号在x＝1－x，即x＝12时成立，∴所求最大值为14.8．已知t0，则函数y＝t2－4t＋1t的最小值是________．[答案]－2[解析]∵t0，∴y＝t2－4t＋14＝t＋1t－4≥2t·1t－4＝－2，当且仅当t＝1t，即t＝1时，等号成立．三、解答题9．已知x0，y0.(1)若2x＋5y＝20，求u＝lgx＋lgy的最大值；(2)若lgx＋lgy＝2，求5x＋2y的最小值．[解析](1)∵x0，y0，由基本不等式，得2x＋5y≥22x·5y＝210·xy.又∵2x＋5y＝20，∴20≥210·xy，∴xy≤10，∴xy≤10，当且仅当2x＝5y时，等号成立．由2x＝5y2x＋5y＝20，解得x＝5y＝2.∴当x＝5，y＝2时，xy有最大值10.这样u＝lgx＋lgy＝lg(xy)≤lg10＝1.∴当x＝5，y＝2时，umax＝1.(2)由已知，得x·y＝100，5x＋2y≥210xy＝2103＝2010.∴当且仅当5x＝2y＝103，即当x＝210，y＝510时，等号成立．所以5x＋2y的最小值为2010.10．求函数y＝x2＋a＋1x2＋a的最小值，其中a0.[解析]当0a≤1时，y＝x2＋a＋1x2＋a≥2，当且仅当x＝±1－a时，ymin＝2.当a1时，令x2＋a＝t(t≥a)，则有y＝f(t)＝t＋1t.设t2t1≥a1，则f(t2)－f(t1)＝t2－t1t1t2－1t1t20，∴f(t)在[a，＋∞)上是增函数．∴ymin＝f(a)＝a＋1a，此时x＝0.综上，当0a≤1，x＝±1－a时，ymin＝2；当a1，x＝0时，ymin＝a＋1a.一、选择题1．设a、b∈R，且ab0.则下列不等式中，恒成立的是()A．a2＋b22abB．a＋b≥2abC.1a＋1b2abD．ba＋ab≥2[答案]D[解析]a＝b时，A不成立；a、b0时，B、C都不成立，故选D.2．若0a1,0b1，且a≠b，则a＋b,2ab，2ab，a2＋b2中最大的一个是()A．a2＋b2B．2abC．2abD．a＋b[答案]D[解析]解法一：∵0a1,0b1，∴a2＋b22ab，a＋b2ab，aa2，bb2，∴a＋ba2＋b2，故选D.解法二：取a＝12，b＝13，则a2＋b2＝1336，2ab＝63，2ab＝13，a＋b＝56，显然56最大．3．某工厂第一年产量为A，第二年的增长率为a,第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则()A．x＝a＋b2B．x≤a＋b2C．x＞a＋b2D．x≥a＋b2[答案]B[解析]∵这两年的平均增长率为x∴A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)，∴(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)，由题设a＞0，b＞0.∴1＋x＝1＋a1＋b≤1＋a＋1＋b2＝1＋a＋b2，∴x≤a＋b2，等号在1＋a＝1＋b即a＝b时成立．∴选B.4．(2013·山西忻州一中高二期中)a＝(x－1,2)，b＝(4，y)(x、y为正数)，若a⊥b，则xy的最大值是()A.12B．－12C．1D．－1[答案]A[解析]由已知得4(x－1)＋2y＝0，即2x＋y＝2.∴xy＝x(2－2x)＝2x2－2x2≤12×(2x＋2－2x2)2＝12，等号成立时2x＝2－2x，即x＝12，y＝1，∴xy的最大值为12.二、填空题5．已知2x＋3y＝2(x0，y0)，则xy的最小值是________．[答案]6[解析]2x＋3y≥26xy，∴26xy≤2，∴xy≥6.6．已知x＜54，则函数y＝4x－2＋14x－5的最大值是________．[答案]1[解析]∵x＜54，∴4x－5＜0，y＝4x－2＋14x－5＝4x－5＋14x－5＋3＝3－5－4x＋15－4x≤3－2＝1，等号在5－4x＝15－4x，即x＝1时成立．三、解答题7．已知直角三角形两条直角边的和等于10cm，求面积最大时斜边的长．[解析]设一条直角边长为xcm，(0x10)，则另一条直角边长为(10－x)cm，面积s＝12x(10－x)≤12[x＋10－x2]2＝252(cm2)等号在x＝10－x即x＝5时成立，∴面积最大时斜边长L＝x2＋10－x2＝52＋52＝52(cm)．8．某商场预计全年分批购入每台2000元的电视机共3600台．每批都购入x台(x是自然数)且每批均需付运费400元．贮存购入的电视机全年所需付的保管费与每批购入电视机的总价值(不含运费)成正比．若每批购入400台，则全年需用去运输和保管总费用43600元．现在全年只有24000元资金可以支付这笔费用，请问，能否恰当安排每批进货数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由．[解析]设总费用为y元(y＞0)，且将题中正比例函数的比例系数设为k，则y＝3600x×400＋k(2000x)，依条件，当x＝400时，y＝43600，可得k＝5%，故有y＝1440000x＋100x≥21440000x·100x＝24000(元)．当且仅当1440000x＝100x，即x＝120时取等号．所以只需每批购入120台，可使资金够用．