高中数学人教版选修12课时提升作业七222反证法探究导学课型Word版含答案

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(七)反证法(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.(2014·山东高考)用反证法证明命题：“已知a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是()A.方程x2+ax+b=0没有实根B.方程x2+ax+b=0至多有一个实根C.方程x2+ax+b=0至多有两个实根D.方程x2+ax+b=0恰好有两个实根【解析】选A.“方程x2+ax+b=0至少有一个实根”的反面是“方程x2+ax+b=0没有实根.”【补偿训练】(2015·海口高二检测)用反证法证明命题：三角形三个内角至少有一个不大于60°时，应假设()A.三个内角都不大于60°B.三个内角都大于60°C.三个内角至多有一个大于60°D.三个内角至多有两个大于60°【解析】选B.三个内角至少有一个不大于60°，即有一个、两个或三个不大于60°，其反设为都大于60°，故B正确.2.命题“关于x的方程ax=b(a≠0)的解是唯一的”的结论的否定是()A.无解B.两解C.至少两解D.无解或至少两解【解析】选D.“解是唯一的”的否定是“无解或至少两解”.3.实数a，b，c满足a+2b+c=2，则()A.a，b，c都是正数B.a，b，c都大于1C.a，b，c都小于2D.a，b，c中至少有一个不小于【解析】选D.假设a，b，c均小于，则a+2·b+c+1+=2，与已知矛盾，故假设不成立，所以a，b，c中至少有一个不小于.4.已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为()A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线【解析】选C.假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线.5.(2015·杭州高二检测)设a，b，c大于0，则3个数：a+，b+，c+的值()A.都大于2B.至少有一个不大于2C.都小于2D.至少有一个不小于2【解题指南】由基本不等式知三个数的和不小于6，可以判断三个数至少有一个不小于2，所以可假设这三个数都小于2来推出矛盾.【解析】选D.假设a+，b+，c+都小于2，即a+2，b+2，c+2，所以++6，又a0，b0，c0，所以++=++≥2+2+2=6.这与假设矛盾，所以假设不成立.二、填空题(每小题5分，共15分)6.(2015·西安高二检测)“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定是.【解析】该命题的否定有两部分，一是任何三角形，二是至少有两个，其否定应为“存在一个三角形，其外角最多有一个钝角”.答案：“存在一个三角形，其外角最多有一个钝角”【延伸探究】命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的否定是.【解析】“最多”的反面是“最少”，故本题的否定是：三角形中最少有两个内角是直角.答案：“三角形中最少有两个内角是直角”7.(2015·广州高二检测)用反证法证明命题：“已知a，b∈N+，如果ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为.【解析】由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证.命题“a，b∈N+，如果ab可被5整除，那么a，b中至少有1个能被5整除”的否定是“a，b都不能被5整除”.答案：a，b都不能被5整除8.(2015·郑州高二检测)对于定义在实数集R上的函数f(x)，如果存在实数x0，使f(x0)=x0，那么x0叫做函数f(x)的一个好点.已知函数f(x)=x2+2ax+1不存在好点，那么a的取值范围是.【解析】假设f(x)=x2+2ax+1存在好点，亦即方程f(x)=x有实数根，所以x2+(2a-1)x+1=0有实数根，则Δ=(2a-1)2-4=4a2-4a-3≥0，解得a≤-或a≥，故当f(x)不存在好点时，a的取值范围是-a.答案：三、解答题(每小题10分，共20分)9.已知三个正整数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：，，不成等差数列.【证明】假设，，成等差数列，则+=2，即a+c+2=4b.又a，b，c成等比数列，所以b2=ac，即b=，所以a+c+2=4，所以a-c-2=0，即(-)2=0，所以=，从而a=b=c，所以a，b，c可以成等差数列，这与已知中“a，b，c不成等差数列”相矛盾.原假设错误，故，，不成等差数列.【拓展延伸】用反证法证明数学命题的步骤10.(2015·吉安高二检测)已知函数f(x)=x3-x2，x∈R.(1)若正数m，n满足m·n1，证明：f(m)，f(n)至少有一个不小于零.(2)若a，b为不相等的正实数且满足f(a)=f(b)，求证a+b.【证明】(1)假设f(m)0且f(n)0，即m3-m20，n3-n20，因为m0，n0，所以m-10，n-10，所以0m1，0n1，所以mn1这与m·n1矛盾，所以假设不成立，即f(m)，f(n)至少有一个不小于零.(2)由f(a)=f(b)得a3-a2=b3-b2，所以a3-b3=a2-b2，所以(a-b)(a2+ab+b2)=(a-b)(a+b)，因为a≠b，所以a2+ab+b2=a+b，所以(a+b)2-(a+b)=ab，所以(a+b)2-(a+b)0，所以a+b.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.(2015·济南高二检测)(1)已知p3+q3=2，求证p+q≤2.用反证法证明时，可假设p+q≥2.(2)已知a，b∈R，|a|+|b|1，求证方程x2+ax+b=0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.以下结论正确的是()A.(1)与(2)的假设都错误B.(1)与(2)的假设都正确C.(1)的假设正确；(2)的假设错误D.(1)的假设错误；(2)的假设正确【解析】选D.(1)的假设应为p+q2；(2)的假设正确.2.(2015·衡水高二检测)设a，b，c是正数，P=a+b-c，Q=b+c-a，R=c+a-b，则“PQR0”是“P，Q，R同时大于零”的()A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.必要性显然，充分性：若PQR0，则P，Q，R同时大于零或其中两个为负，不妨设P0，Q0，R0，因为P0，Q0，即a+bc，b+ca，所以a+b+b+cc+a，即b0，这与b0矛盾，所以P，Q，R同时大于零.【补偿训练】若△ABC能被一条直线分成两个与自身相似的三角形，那么这个三角形的形状是()A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.不能确定【解析】选B.分△ABC的直线只能过一个顶点且与对边相交，如直线AD(点D在BC上)，则∠ADB+∠ADC=π，若∠ADB为钝角，则∠ADC为锐角.而∠ADC∠BAD，∠ADC∠ABD，△ABD与△ACD不可能相似，与已知不符，只有当∠ADB=∠ADC=∠BAC=时，才符合题意.二、填空题(每小题5分，共10分)3.用反证法证明质数有无限多个的过程如下：假设.设全体质数为p1，p2，…，pn，令p=p1p2…pn+1.显然，p不含因数p1，p2，…，pn.故p要么是质数，要么含有的质因数.这表明，除质数p1，p2，…，pn之外，还有质数，因此原假设不成立.于是，质数有无限多个.【解析】由反证法的步骤可得.应假设质数只有有限多个，故p要么是质数，要么含有除p1，p2，…，pn之外的质因数.答案：质数只有有限多个除p1，p2，…，pn之外4.(2015·石家庄高二检测)设a，b是两个实数，给出下列条件：①a+b=1；②a+b=2；③a+b2；④a2+b22.其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是(填序号).【解题指南】可采用特殊值法或反证法逐一验证.【解析】若a=，b=，则a+b=1，但a1，b1，故①不能推出.若a=b=1，则a+b=2，故②不能推出.若a=-2，b=1，则a2+b22，故④不能推出.对于③，即a+b2，则a，b中至少有一个大于1.反证法：假设a≤1且b≤1，则a+b≤2与a+b2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.答案：③三、解答题(每小题10分，共20分)5.(2015·宜昌高二检测)已知函数f(x)=，如果数列{an}满足a1=4，an+1=f(an)，求证：当n≥2时，恒有an3成立.【证明】假设an≥3(n≥2)，则由已知得an+1=f(an)=，所以当n≥2时，==·≤=1(因为an-1≥3-1)，又易证an0，所以当n≥2时，an+1an，所以当n2时，anan-1…a2；而当n=2时，a2===3，所以当n≥2时，an3；这与假设矛盾，故假设不成立，所以当n≥2时，恒有an3成立.【一题多解】由an+1=f(an)得an+1=，所以=-+=-2+≤，所以an+10或an+1≥2.(1)若an+10，则an+103，所以结论“当n≥2时，恒有an3”成立.(2)若an+1≥2，则当n≥2时，有an+1-an=-an==≤0，所以an+1≤an，即数列{an}在n≥2时单调递减.由a2===3，可知an≤a23，在n≥2时成立.综上，由(1)、(2)知：当n≥2时，恒有an3成立.6.先解答(1)，再通过类比解答(2)：(1)①求证：tan=；②用反证法证明：函数f(x)=tanx的最小正周期是π.(2)设x∈R，a为正常数，且f(x+a)=，试问：f(x)是周期函数吗？证明你的结论.【解题指南】本题考查的知识点是类比推理，在由正切函数的周期性类比推理抽象函数的周期性时，我们常用的思路是：由正切函数的周期性，类比推理抽象函数的周期性；由正切函数的周期性的证明方法，类比推理抽象函数的周期性的证明方法.【解析】(1)①tan==.②假设T是函数f(x)=tanx的一个周期，且0Tπ，则对任意x≠+kπ，k∈Z，有tan(x+T)=tanx，令x=0得tanT=0，而当0Tπ时，tanT≠0恒成立或无意义，矛盾，所以假设不成立，原命题成立.(2)由(1)可类比出函数f(x)是周期函数，它的最小正周期是4a.因为f(x+2a)=f(x+a+a)===-，所以f(x+4a)=f=-=-=f(x).【拓展延伸】类比推理中的反证法(1)类比推理的一般步骤是：①找出两类事物之间的相似性或一致性.②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想).(2)在进行类比推理时，一定要注意对结论进行进一步的论证，如果要证明一个结论是正确的，要经过严密的论证，但要证明一个结论是错误的，只需要举出一个反例.关闭Word文档返回原板块