高中数学新人教版选修22课时作业第一章导数及其应用111112变化率问题导数的概念

1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念明目标、知重点1．了解导数概念的实际背景．2．会求函数在某一点附近的平均变化率．3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数．1．函数的变化率定义实例平均变化率函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为fx2－fx1x2－x1，简记作：ΔyΔx①平均速度；②曲线割线的斜率瞬时变化率函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率在Δx→0时的极限，即limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx＝limΔx→0ΔyΔx①瞬时速度：物体在某一时刻的速度；②切线斜率2.函数f(x)在x＝x0处的导数函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx.情境导学]某市2013年5月30日最高气温是33.4℃，而此前的两天5月29日和5月28日最高气温分别是24.4℃和18.6℃，短短两天时间，气温“陡增”14.8℃，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！”但是，如果我们将该市2013年4月28日最高气温3.5℃和5月28日最高气温18.6℃进行比较，可以发现二者温差为15.1℃，甚至超过了14.8℃，而人们却不会发出上述感慨，这是什么原因呢？显然原因是前者变化得“太快”，而后者变化得“缓慢”，那么在数学中怎样来刻画变量变化得快与慢呢？探究点一平均变化率的概念思考1气球膨胀率很多人都吹过气球．回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢．从数学的角度，如何描述这种现象呢？答气球的半径r(单位：dm)与体积V(单位：L)之间的函数关系是r(V)＝33V4π，(1)当空气容量V从0增加到1L时，气球半径增加了r(1)－r(0)≈0.62(dm)，气球的平均膨胀率为r1－r01－0≈0.62(dm/L)．(2)当空气容量V从1L增加到2L时，气球半径增加了r(2)－r(1)≈0.16(dm)，气球的平均膨胀率为r2－r12－1≈0.16(dm/L)．可以看出，随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变小了．结论当空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率是rV2－rV1V2－V1.思考2高台跳水人们发现，在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.计算运动员在时间段①0≤t≤0.5，②1≤t≤2内的平均速度v，并思考平均速度有什么作用？答①在0≤t≤0.5这段时间里，v＝h0.5－h00.5－0＝4.05(m/s)；②在1≤t≤2这段时间里，v＝h2－h12－1＝－8.2(m/s)．由以上计算体会到平均速度可以描述运动员在某段时间内运动的快慢．思考3什么是平均变化率，平均变化率有何作用？思考1和思考2中的平均变化率分别表示什么？答如果上述两个思考中的函数关系用y＝f(x)表示，那么思考中的变化率可用式子fx2－fx1x2－x1表示，我们把这个式子称为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率，平均变化率可以描述一个函数在某个范围内变化的快慢．思考1中的平均变化率表示在空气容量从V1增加到V2时，气球半径的平均增长率．思考2中的平均变化率表示在时间从t1增加到t2时，高度h的平均增长率．思考4平均变化率也可以用式子ΔyΔx表示，其中Δy、Δx的意义是什么？ΔyΔx有什么几何意义？答Δx表示x2－x1是相对于x1的一个“增量”；Δy表示f(x2)－f(x1)．Δx、Δy的值可正可负，Δy也可以为零，但Δx不能为零．观察图象可看出，ΔyΔx表示曲线y＝f(x)上两点(x1，f(x1))、(x2，f(x2))连线的斜率．小结平均变化率为ΔyΔx＝fx2－fx1x2－x1，其几何意义是：函数y＝f(x)的图象上两点(x1，f(x1))、(x2，f(x2))连线的斜率．例1已知函数f(x)＝2x2＋3x－5.(1)求当x1＝4，x2＝5时，函数增量Δy和平均变化率ΔyΔx；(2)求当x1＝4，x2＝4.1时，函数增量Δy和平均变化率ΔyΔx；(3)若设x2＝x1＋Δx.分析(1)(2)题中的平均变化率的几何意义．解f(x)＝2x2＋3x－5，∴Δy＝f(x1＋Δx)－f(x1)＝2(x1＋Δx)2＋3(x1＋Δx)－5－(2x21＋3x1－5)＝2(Δx)2＋2x1Δx]＋3Δx＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx＝2(Δx)2＋19Δx.ΔyΔx＝2Δx2＋19ΔxΔx＝2Δx＋19.(1)当x1＝4，x2＝5时，Δx＝1，Δy＝2(Δx)2＋19Δx＝2＋19＝21，ΔyΔx＝21.(2)当x1＝4，x2＝4.1时Δx＝0.1，Δy＝2(Δx)2＋19Δx＝0.02＋1.9＝1.92.ΔyΔx＝2Δx＋19＝19.2.(3)在(1)题中ΔyΔx＝fx2－fx1x2－x1＝f5－f45－4，它表示抛物线上点P0(4,39)与点P1(5,60)连线的斜率．在(2)题中，ΔyΔx＝fx2－fx1x2－x1＝f4.1－f44.1－4，它表示抛物线上点P0(4,39)与点P2(4.1,40.92)连线的斜率．反思与感悟求平均变化率的主要步骤：(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)．(2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1.(3)得平均变化率ΔyΔx＝fx2－fx1x2－x1.跟踪训练1(1)计算函数h(x)＝－4.9x2＋6.5x＋10从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为①2；②1；③0.1；④0.01.(2)思考：当|Δx|越来越小时，函数h(x)在区间1,1＋Δx]上的平均变化率有怎样的变化趋势？解(1)∵Δy＝h(1＋Δx)－h(1)＝－4.9(Δx)2－3.3Δx，∴ΔyΔx＝－4.9Δx－3.3.①当Δx＝2时，ΔyΔx＝－4.9Δx－3.3＝－13.1；②当Δx＝1时，ΔyΔx＝－4.9Δx－3.3＝－8.2；③当Δx＝0.1时，ΔyΔx＝－4.9Δx－3.3＝－3.79；④当Δx＝0.01时，ΔyΔx＝－4.9Δx－3.3＝－3.349.(2)当|Δx|越来越小时，函数f(x)在区间1,1＋Δx]上的平均变化率逐渐变大，并接近于－3.3.探究点二函数在某点处的导数思考1物体的平均速度能否精确反映它的运动状态？答不能，如高台跳水运动员相对于水面的高度h与起跳时间t的函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，易知h(6549)＝h(0)，v＝h6549－h06549－0＝0，而运动员依然是运动状态．思考2观察跟踪训练1，当Δx＝0.00001时，ΔyΔx＝？这个平均速度能描述物体的运动状态吗？答ΔyΔx＝－4.9Δx－3.3＝－3.300049，说明当时间间隔非常小的时候平均速度约等于一个常数，这个常数就是x＝1这一时刻的速度．思考3什么叫做瞬时速度？它与平均速度的区别与联系是什么？平均变化率与瞬时变化率的关系如何？答可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的运动状态．如求t＝2时的瞬时速度，可考察在t＝2附近的一个间隔Δt，当Δt趋近于0时，平均速度v趋近于limΔt→0h2＋Δt－h2Δt，这就是物体在t＝2时的瞬时速度．类似可以得出平均变化率与瞬时变化率的关系，我们把函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx＝limΔx→0ΔyΔx叫做函数y＝f(x)在x＝x0处的导数．思考4导数或瞬时变化率反映函数变化的什么特征？答导数或瞬时变化率可以反映函数在一点处变化的快慢程度．小结1.函数的瞬时变化率：函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx＝limΔx→0ΔyΔx.2．函数在某点处的导数：我们称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx＝limΔx→0ΔyΔx.例2利用导数的定义求函数f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的导数．解由导数的定义知，函数在x＝2处的导数f′(2)＝limΔx→0f2＋Δx－f2Δx，而f(2＋Δx)－f(2)＝－(2＋Δx)2＋3(2＋Δx)－(－22＋3×2)＝－(Δx)2－Δx，于是f′(2)＝limΔx→0－Δx2－ΔxΔx＝limΔx→0(－Δx－1)＝－1.反思与感悟求一个函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的步骤如下：(1)求函数值的变化量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率ΔyΔx＝fx0＋Δx－fx0Δx；(3)取极限，得导数f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx.跟踪训练2求函数f(x)＝3x2－2x在x＝1处的导数．解Δy＝3(1＋Δx)2－2(1＋Δx)－(3×12－2×1)＝3(Δx)2＋4Δx，∵ΔyΔx＝3Δx2＋4ΔxΔx＝3Δx＋4，∴y′|x＝1＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(3Δx＋4)＝4.例3将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．如果在第xh时，原油的温度(单位：℃)为y＝f(x)＝x2－7x＋15(0≤x≤8)．计算第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．解在第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率就是f′(2)和f′(6)．根据导数的定义，ΔyΔx＝f2＋Δx－f2Δx＝2＋Δx2－72＋Δx＋15－22－7×2＋15Δx＝4Δx＋Δx2－7ΔxΔx＝Δx－3，所以，f′(2)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(Δx－3)＝－3.同理可得，f′(6)＝5.在第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率分别为－3与5.它说明在第2h附近，原油温度大约以3℃/h的速率下降；在第6h附近，原油温度大约以5℃/h的速率上升．反思与感悟(1)本题中，f′(x0)反映了原油温度在时刻x0附近的变化情况．(2)函数的平均变化率和瞬时变化率的关系：平均变化率ΔyΔx＝fx0＋Δx－fx0Δx，当Δx趋于0时，它所趋于的一个常数就是函数在x0处的瞬时变化率，即求函数的瞬时变化率是利用平均变化率“逐渐逼近”的方法求解．另外，它们都是用来刻画函数变化快慢的，它们的绝对值越大，函数变化得越快．跟踪训练3高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)之间的关系式为h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，求运动员在t＝6598s时的瞬时速度，并解释此时的运动状况．解令t0＝6598，Δt为增量．则ht0＋Δt－ht0Δt＝－4.9×6598＋Δt2＋6.5×6598＋Δt＋10＋4.9×65982－6.5×6598－10Δt＝－4.9Δt6549＋Δt＋6.5ΔtΔt＝－4.96549＋Δt＋6.5，∴limΔt→0ht0＋Δt－ht0Δt＝limΔt→0－4.96549＋Δt＋6.5]＝0，即运动员在t0＝6598s时的瞬时速度为0m/s.说明此时运动员处于跳水运动中离水面最高的点处．1．如果质点M按规律s＝3＋t2运动，则在一小段时间2，2.1]中相应的平均速度是()．A．4B．4.1C．0.41D．3答案B解析v＝3＋2.12－3＋220.1＝4.1.2．函数f(x)在x0处可导，则limh→0fx0＋h－fx0h()A．与x0、h都有关B．仅与x0有关，而与h无关C．仅与h有关，而与x0无关D．与x0、h均无关答案B3．已知函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy)，