高中数学新人教版选修22课时作业第一章导数及其应用151152曲边梯形的面积汽车行驶

1．5.1曲边梯形的面积1．5.2汽车行驶的路程明目标、知重点1．了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法．2．会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程．1．曲边梯形的面积(1)曲边梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图①所示)．(2)求曲边梯形面积的方法把区间a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值(如图②所示)．(3)求曲边梯形面积的步骤：①分割，②近似代替，③求和，④取极限．2．求变速直线运动的(位移)路程如果物体做变速直线运动，速度函数为v＝v(t)，那么也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出它在a≤t≤b内所作的位移s.情境导学]任何一个平面图形都有面积，其中矩形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等平面多边形的面积，可以利用相关公式进行计算．如图所示的平面图形，是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的，称之为曲边梯形，如何计算这个曲边梯形的面积呢？探究点一求曲边梯形的面积思考1如何计算下列两图形的面积？答①直接利用梯形面积公式求解．②转化为三角形和梯形求解．问题如图，如何求由抛物线y＝x2与直线x＝1，y＝0所围成的平面图形的面积S?思考2图中的图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别？答已知图形是由直线x＝1，y＝0和曲线y＝x2所围成的，可称为曲边梯形，曲边梯形的一条边为曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段．思考3能否将求曲边梯形的面积问题转化为求“直边图形”的面积问题？(归纳主要步骤)答(如图)可以通过把区间0,1]分成许多小区间，将曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值进行求和，就得到曲边梯形面积的近似值，随着拆分越来越细，近似程度会越来越好．Sn＝i＝1nΔSi≈i＝1n(i－1n)2·Δx＝i＝1n(i－1n)2·1n(i＝1,2，…，n)＝0·1n＋(1n)2·1n＋…＋(n－1n)2·1n＝1n312＋22＋…＋(n－1)2]＝13(1－1n)(1－12n)．∴S＝limn→∞Sn＝limn→∞13(1－1n)(1－12n)＝13.求曲边梯形的面积可以通过分割、近似代替、求和、取极限四个步骤完成．思考4在“近似代替”中，如果认为函数f(x)＝x2在区间i－1n，in](i＝1,2，…，n)上的值近似地等于右端点in处的函数值f(in)，用这种方法能求出S的值吗？若能求出，这个值也是13吗？取任意ξi∈i－1n，in]处的函数值f(ξi)作为近似值，情况又怎样？其原理是什么？答以上方法都能求出S＝13.我们解决此类问题的原理是“近似代替”和“以直代曲”，在极限状态下，小曲边梯形可以看做小矩形．例1求由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x2所围成的图形的面积．解(1)分割将区间0,1]等分为n个小区间：0，1n]，1n，2n]，2n，3n]，…，i－1n，in]，…，n－1n，1]，每个小区间的长度为Δx＝in－i－1n＝1n.过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作ΔS1，ΔS2，…，ΔSn.(2)近似代替在区间i－1n，in](i＝1,2，…，n)上，以i－1n的函数值i－1n2作为高，小区间的长度Δx＝1n作为底边的小矩形的面积作为第i个小曲边梯形的面积，即ΔSi≈(i－1n)2·1n.(3)求和曲边梯形的面积近似值为S＝i＝1nΔSi≈i＝1n(i－1n)2·1n＝0·1n＋(1n)2·1n＋(2n)2·1n＋…＋(n－1n)2·1n＝1n312＋22＋…＋(n－1)2]＝13(1－1n)(1－12n)．(4)取极限曲边梯形的面积为S＝limn→∞13(1－1n)(1－12n)＝13.反思与感悟求曲边梯形的思想及步骤：(1)思想：以直代曲、逼近；(2)步骤：分割→近似代替→求和→取极限；(3)关键：近似代替；(4)结果：分割越细，面积越精确．跟踪训练1求由抛物线y＝x2与直线y＝4所围成的曲边梯形的面积．解∵y＝x2为偶函数，图象关于y轴对称，∴所求曲边梯形的面积应为抛物线y＝x2(x≥0)与直线x＝0，y＝4所围图形面积S阴影的2倍，下面求S阴影．由y＝x2x≥0y＝4，得交点为(2,4)，如图所示，先求由直线x＝0，x＝2，y＝0和曲线y＝x2围成的曲边梯形的面积．(1)分割将区间0,2]n等分，则Δx＝2n，取ξi＝2i－1n.(2)近似代替求和Sn＝i＝1n[2i－1n]2·2n＝8n312＋22＋32＋…＋(n－1)2]＝83(1－1n)(1－12n)．(3)取极限S＝limn→∞Sn＝limn→∞83(1－1n)(1－12n)＝83.∴所求平面图形的面积为S阴影＝2×4－83＝163.∴2S阴影＝323，即抛物线y＝x2与直线y＝4所围成的图形面积为323.探究点二求变速运动的路程思考利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时间的关系，求物体运动速度”的问题．反之，如果已知物体的速度与时间的关系，如何求其在一定时间内经过的路程呢？答物体以速度v做匀速直线运动时，经过时间t所行驶的路程为s＝vt.如果物体做变速直线运动，与求曲边梯形面积类似，我们采取“以不变代变”的方法，把时间t分割成许多“小段”，在每一“小段”时间内物体的运动可以看做匀速直线运动，于是把求变速直线运动的路程问题，化归为求匀速直线运动的路程问题．例2汽车以速度v做匀速直线运动时，经过时间t所行驶的路程s＝vt.如果汽车做变速直线运动，在时刻t的速度为v(t)＝－t2＋2(单位：km/h)，那么它在0≤t≤1这段时间行驶的路程是多少？解分割将时间区间0,1]分成n个小区间，0，1n]，1n，2n]，2n，3n]，…，i－1n，in]，…，n－1n，1]，则第i个小区间为i－1n，in](i＝1,2，…，n)．(2)近似代替第i个小矩形的高为v－(i－1n)]，∴△si≈v－(i－1n)]·1n＝－(i－1n)2＋2]·1n.(3)求和sn＝1ni＝1n[－(i－1n)2＋2]＝－1n302＋12＋22＋…＋(n－1)2]＋2＝－n－12n－16n2＋2＝－13(1－1n)(1－12n)＋2.(4)取极限s＝limn→∞sn＝limn→∞－13(1－1n)(1－12n)＋2]＝53.∴这段时间行驶的路程为53km.反思与感悟(1)把变速直线运动的路程问题化归为匀速直线运动的路程问题，通过分割、近似代替、求和、取极限四步解决．(2)从函数的角度来看，求变速运动的路程，就是求速度函数v(t)＝－t2＋2在t＝0，t＝1，v(t)＝0形成的曲边梯形的面积，这就是数学方法在物理应用中的体现．跟踪训练2有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，在时刻t的速度为v(t)＝3t2＋2(单位：km/h)，那么该汽车在0≤t≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程s(单位：km)是多少？解(1)分割在时间区间0,2]上等间隔地插入n－1个分点，将它分成n个小区间，记第i个小区间为2i－1n，2in](i＝1,2，…，n)，其长度为Δt＝2in－2i－1n＝2n.每个时间段上行驶的路程记为Δsi(i＝1,2，…，n)，则显然有s＝i＝1nΔsi.(2)近似代替取ξi＝2in(i＝1,2，…，n)，用小矩形的面积Δs′i近似地代替Δsi，于是Δsi≈Δs′i＝v(2in)·Δt＝3(2in)2＋2]·2n＝24i2n3＋4n(i＝1,2，…，n)．(3)求和sn＝i＝1nΔs′i＝i＝1n(24i2n3＋4n)＝24n3(12＋22＋…＋n2)＋4＝24n3·nn＋12n＋16＋4＝8(1＋1n)(1＋12n)＋4.从而得到s的近似值s≈vn.(4)取极限s＝limn→∞sn＝limn→∞8(1＋1n)(1＋12n)＋4]＝8＋4＝12.所以这段时间内行驶的路程为12km.1．把区间1,3]n等分，所得n个小区间的长度均为()A.1nB.2nC.3nD.12n答案B解析区间1,3]的长度为2，故n等分后，每个小区间的长度均为2n.2．函数f(x)＝x2在区间i－1n，in上()A．f(x)的值变化很小B．f(x)的值变化很大C．f(x)的值不变化D．当n很大时，f(x)的值变化很小答案D解析当n很大，即Δx很小时，在区间i－1n，in]上，可以认为f(x)＝x2的值变化很小，近似地等于一个常数．3．在“近似代替”中，函数f(x)在区间xi，xi＋1]上的近似值等于()A．只能是左端点的函数值f(xi)B．只能是右端点的函数值f(xi＋1)C．可以是该区间内任一点的函数值f(ξi)(ξi∈xi，xi＋1])D．以上答案均正确答案C4．求由曲线y＝12x2与直线x＝1，x＝2，y＝0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________．答案1.02解析将区间5等分所得的小区间为1，65]，65，75]，75，85]，85，95]，95，2]，于是所求平面图形的面积近似等于110(1＋3625＋4925＋6425＋8125)＝110×25525＝1.02.呈重点、现规律]求曲边梯形面积和汽车行驶的路程的步骤：(1)分割：n等分区间a，b]；(2)近似代替：取点ξi∈xi－1，xi]；(3)求和：i＝1nf(ξi)·b－an；(4)取极限：s＝limn→∞i＝1nf(ξi)·b－an.“近似代替”也可以用较大的矩形来代替曲边梯形，为了计算方便，可以取区间上的一些特殊点，如区间的端点(或中点).一、基础过关1．当n很大时，函数f(x)＝x2在区间i－1n，in]上的值，可以近似代替为()A．f(1n)B．f(2n)C．f(in)D．f(0)答案C2．在等分区间的情况下f(x)＝11＋x2(x∈0,2])及x轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式正确的是()A.limn→∞∑ni＝111＋in2·2n]B.limn→∞∑ni＝111＋2in2·2n]C.limn→∞∑ni＝1(11＋i2·1n)D.limn→∞∑ni＝111＋in2·n]答案B解析∵Δx＝2－0n＝2n.∴和式为∑ni＝111＋2in2·2n]．∴应选B.3．把区间a，b](ab)n等分之后，第i个小区间是()A．i－1n，in]B．i－1n(b－a)，in(b－a)]C．a＋i－1n，a＋in]D．a＋i－1n(b－a)，a＋in(b－a)]答案D解析区间a，b](ab)长度为(b－a)，n等分之后，每个小区间长度均为b－an，第i个小区间是a＋i－1n(b－a)，a＋in(b－a)](i＝1,2，…n)．4．一物体沿直线运动，其速度v(t)＝t，这个物体在t＝0到t＝1这段时间内所走的路程为()A.13B.12C．1D.32答案B解析曲线v(t)＝t与直线t＝0，t＝1，横轴围成的三角形面积S＝12即为这段时间内物体所走的路程．5．由直线x＝1，y＝0，x＝0和曲线y＝x3所围成的曲边梯形，将区间4等分，则曲边梯形面积的的近似值(取每个区间的右端点)是()A.119B.111256C.1127D.2564答案D解析将区间0,1]四等分，得到4个小区间：0，14]，14，12]，12，34]，34，1]，以每个小区间右端点的函数值为高，4个小矩形的面积和为曲边梯形面积的近似值S＝(14)3×14＋(12)3×14＋(34)3×14＋13×14＝2564.6．若做变速直线运动的物体v(t)＝t2，在0≤t≤a内经过的路程为9，则a的值为()A．1B．2C．3D．4答案C解析将区间0，a]n等分，记第i个区间为ai－1n，ain](i＝1,2，…，