高中数学新人教版选修22课时作业第一章导数及其应用153

1.5.3定积分的概念明目标、知重点1．了解定积分的概念，会用定义求定积分．2．理解定积分的几何意义．3．掌握定积分的基本性质．定积分概念一般地，如果函数f(x)在区间a，b]上连续，用分点a＝x0x1x2…xi－1xi…xn＝b将区间a，b]等分成n个小区间，在每个小区间xi－1，xi]上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式∑ni＝1f(ξi)Δx＝∑ni＝1b－anf(ξi)，当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间a，b]上的定积分，记作ʃbaf(x)dx，这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．几何意义如果在区间a，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么定积分ʃbaf(x)dx表示由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积.基本性质ʃbakf(x)dx＝kʃbaf(x)dx(k为常数)；ʃbaf1(x)±f2(x)]dx＝ʃbaf1(x)dx±ʃbaf2(x)dx；ʃbaf(x)dx＝ʃcaf(x)dx＋ʃbcf(x)dx(其中acb).探究点一定积分的概念思考1分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们的共同点．答两个问题均可以通过“分割、近似代替、求和、取极限”解决，都可以归结为一个特定形式和的极限．思考2怎样正确认识定积分ʃbaf(x)dx?答(1)定积分ʃbaf(x)dx是一个数值(极限值)．它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，另外ʃbaf(x)dx与积分区间a，b]息息相关，不同的积分区间，所得值也不同．(2)定积分就是和的极限limn→∞i＝1nf(ξi)·Δx，而ʃbaf(x)dx只是这种极限的一种记号，读作“函数f(x)从a到b的定积分”．(3)函数f(x)在区间a，b]上连续这一条件是不能忽视的，它保证了和的极限(定积分)的存在(实际上，函数连续是定积分存在的充分条件，而不是必要条件)．例1利用定积分的定义，计算ʃ10x3dx的值．解令f(x)＝x3.(1)分割在区间0,1]上等间隔地插入n－1个分点，把区间0,1]等分成n个小区间i－1n，in](i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为Δx＝in－i－1n＝1n.(2)近似代替、求和取ξi＝in(i＝1,2，…，n)，则ʃ10x3dx≈Sn＝∑ni＝1f(in)·Δx＝∑ni＝1(in)3·1n＝1n4∑ni＝1i3＝1n4·14n2(n＋1)2＝14(1＋1n)2.(3)取极限ʃ10x3dx＝limn→∞Sn＝limn→∞14(1＋1n)2＝14.反思与感悟(1)利用定积分定义求定积分的数值仍然是“分割、近似代替、求和、取极值”这一过程，需要注意的是在本题中将近似代替、求和一起作为步骤(2)，从而省略了解题步骤．(2)从过程来看，当f(x)≥0时，定积分就是区间对应曲边梯形的面积．跟踪训练1用定义计算ʃ21(1＋x)dx.解(1)分割：将区间1,2]等分成n个小区间1＋i－1n，1＋in(i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为Δx＝1n.(2)近似代替、求和：在1＋i－1n，1＋in上取点ξi＝1＋i－1n(i＝1,2，…，n)，于是f(ξi)＝1＋1＋i－1n＝2＋i－1n，从而得i＝1nf(ξi)Δx＝i＝1n(2＋i－1n)·1n＝i＝1n2n＋i－1n2＝2n·n＋1n20＋1＋2＋…＋(n－1)]＝2＋1n2·nn－12＝2＋n－12n.(3)取极限：S＝limn→∞2＋n－12n＝2＋12＝52.因此ʃ21(1＋x)dx＝52.探究点二定积分的几何意义思考1从几何上看，如果在区间a，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么ʃbaf(x)dx表示什么？答当函数f(x)≥0时，定积分ʃbaf(x)dx在几何上表示由直线x＝a，x＝b(ab)，y＝0及曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．思考2当f(x)在区间a，b]上连续且恒有f(x)≤0时，ʃbaf(x)dx表示的含义是什么？若f(x)有正有负呢？答如果在区间a，b]上，函数f(x)≤0时，那么曲边梯形位于x轴的下方(如图①)．由于b－an0，f(ξi)≤0，故f(ξi)b－an≤0.从而定积分ʃbaf(x)dx≤0，这时它等于如图①所示曲边梯形面积的相反值，即ʃbaf(x)dx＝－S.当f(x)在区间a，b]上有正有负时，定积分ʃbaf(x)dx表示介于x轴、函数f(x)的图象及直线x＝a，x＝b(a≠b)之间各部分面积的代数和(在x轴上方的取正，在x轴下方的取负)．(如图②)，即ʃbaf(x)dx＝－S1＋S2－S3.例2利用几何意义计算下列定积分：(1)ʃ3－39－x2dx；(2)ʃ3－1(3x＋1)dx.解(1)在平面上y＝9－x2表示的几何图形为以原点为圆心以3为半径的上半圆，其面积为S＝12·π·32.由定积分的几何意义知ʃ3－39－x2dx＝92π.(2)由直线x＝－1，x＝3，y＝0，以及y＝3x＋1所围成的图形，如图所示：ʃ3－1(3x＋1)dx表示由直线x＝－1，x＝3，y＝0以及y＝3x＋1所围成的图形在x轴上方的面积减去在x轴下方的面积，∴ʃ3－1(3x＋1)dx＝12×(3＋13)×(3×3＋1)－12(－13＋1)×2＝503－23＝16.反思与感悟利用几何意义求定积分，关键是准确确定被积函数的图象，以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积．不规则的图象常用分割法求面积，注意分割点的准确确定．跟踪训练2根据定积分的几何意义求下列定积分的值：(1)ʃ1－1xdx；(2)ʃ2π0cosxdx；(3)ʃ1－1|x|dx.解(1)如图(1)，ʃ1－1xdx＝－A1＋A1＝0.(2)如图(2)，ʃ2π0cosxdx＝A1－A2＋A3＝0.(3)如图(3)，∵A1＝A2，∴ʃ1－1|x|dx＝2A1＝2×12＝1.(A1，A2，A3分别表示图中相应各处面积)探究点三定积分的性质思考1定积分的性质可作哪些推广？答定积分的性质的推广①ʃbaf1(x)±f2(x)±…±fn(x)]dx＝ʃbaf1(x)dx±ʃbaf2(x)dx±…±ʃbafn(x)dx；②ʃbaf(x)dx＝ʃc1af(x)dx＋ʃc2c1f(x)dx＋…＋ʃbcnf(x)dx(其中n∈N*)．思考2如果一个函数具有奇偶性，它的定积分有什么性质？答奇、偶函数在区间－a，a]上的定积分①若奇函数y＝f(x)的图象在－a，a]上连续不断，则ʃa－af(x)dx＝0.②若偶函数y＝g(x)的图象在－a，a]上连续不断，则ʃa－ag(x)dx＝2ʃa0g(x)dx.例3计算ʃ3－3(9－x2－x3)dx的值．解如图，由定积分的几何意义得ʃ3－39－x2dx＝π×322＝9π2，ʃ3－3x3dx＝0，由定积分性质得ʃ3－3(9－x2－x3)dx＝ʃ3－39－x2dx－ʃ3－3x3dx＝9π2.反思与感悟根据定积分的性质计算定积分，可以先借助于定积分的定义或几何意义求出相关函数的定积分，再利用函数的性质、定积分的性质结合图形进行计算．跟踪训练3已知ʃ10x3dx＝14，ʃ21x3dx＝154，ʃ21x2dx＝73，ʃ42x2dx＝563，求：(1)ʃ203x3dx；(2)ʃ416x2dx；(3)ʃ21(3x2－2x3)dx.解(1)ʃ203x3dx＝3ʃ20x3dx＝3(ʃ10x3dx＋ʃ21x3dx)＝3×(14＋154)＝12；(2)ʃ416x2dx＝6ʃ41x2dx＝6(ʃ21x2dx＋ʃ42x2dx)＝6×(73＋563)＝126；(3)ʃ21(3x2－2x3)dx＝ʃ213x2dx－ʃ212x3dx＝3ʃ21x2dx－2ʃ21x3dx＝3×73－2×154＝7－152＝－12.1．下列结论中成立的个数是()①ʃ10x3dx＝i＝1ni3n3·1n；②ʃ10x3dx＝limn→∞i＝1ni－13n3·1n；③ʃ10x3dx＝limn→∞i＝1ni3n3·1n.A．0B．1C．2D．3答案C解析②③成立．2．定积分ʃbaf(x)dx的大小()A．与f(x)和积分区间a，b]有关，与ξi的取法无关B．与f(x)有关，与区间a，b]以及ξi的取法无关C．与f(x)以及ξi的取法有关，与区间a，b]无关D．与f(x)、积分区间a，b]和ξi的取法都有关答案A3．根据定积分的几何意义，用不等号连接下列式子：①ʃ10xdx________ʃ10x2dx；②ʃ204－x2dx________ʃ202dx.答案①②4．若ʃT0x2dx＝9，则常数T的值为________．答案3解析令f(x)＝x2.(1)分割将区间0，T]n等分，则Δx＝Tn.(2)近似代替、求和取ξi＝Tin(i＝1,2，…，n)，Sn＝i＝1n(Tin)2·Tn＝T3n3i＝1ni2＝T3n3(12＋22＋…＋n2)＝T3n3·nn＋12n＋16＝T36(1＋1n)(2＋1n)．(3)取极限S＝limn→∞T36×2＝T33＝9,∴T3＝27，∴T＝3.呈重点、现规律]1．定积分ʃbaf(x)dx是一个和式i＝1nb－anf(ξi)的极限，是一个常数．2．可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积分；对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分．3．定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算.一、基础过关1．下列命题不正确的是()A．若f(x)是连续的奇函数，则ʃa－af(x)dx＝0B．若f(x)是连续的偶函数，则ʃa－af(x)dx＝2ʃa0f(x)dxC．若f(x)在a，b]上连续且恒正，则ʃbaf(x)dx0D．若f(x)在a，b]上连续且ʃbaf(x)dx0，则f(x)在a，b]上恒正答案D解析对于A，f(－x)＝－f(x)，ʃa－af(x)dx＝ʃ0－af(x)dx＋ʃa0f(x)dx＝－ʃa0f(x)dx＋ʃa0f(x)dx＝0，同理B正确；由定积分的几何意义知，当f(x)0时，ʃbaf(x)dx0即C正确；但ʃbaf(x)dx0，不一定有f(x)恒正，故选D.2．已知定积分ʃ60f(x)dx＝8，且f(x)为偶函数，则ʃ6－6f(x)dx等于()．A．0B．16C．12D．8答案B解析偶函数图象关于y轴对称，故ʃ6－6f(x)dx＝2ʃ60f(x)dx＝16，故选B.3．已知ʃt0xdx＝2，则ʃ0－txdx等于()A．0B．2C．－1D．－2答案D解析∵f(x)＝x在－t，t]上是奇函数，∴ʃt－txdx＝0.而ʃt－txdx＝ʃ0－txdx＋ʃt0xdx，又ʃt0xdx＝2，∴ʃ0－txdx＝－2.故选D.4．由曲线y＝x2－4，直线x＝0，x＝4和x轴围成的封闭图形的面积(如图)是()A．ʃ40(x2－4)dxB.||ʃ40x2－4dxC．ʃ40|x2－4|dxD．ʃ20(x2－4)dx＋ʃ42(x2－4)dx答案C5．设a＝ʃ10x13dx，b＝ʃ10x2dx，c＝ʃ10x3dx，则a，b，c的大小关系是()A．cabB．abcC．a＝bcD．acb答案B解析根据定积分的几何意义，易知ʃ10x3dxʃ10x2dxʃ10x13dx，abc，故选B.6．若ʃa－a|56x|dx≤2016，则正数a的最大值为()A．6B．56C．36D．2016答案A解析由ʃa－a|56x|dx＝56ʃa－a|x|dx≤2016，得ʃa－a|x|dx≤36，∴ʃa－a|x|dx＝2ʃa0xdx＝a2≤36，即0a≤6.故正数a的最大值为6.7.limn→∞lnn1＋1n21＋2n2…1＋nn2等于()A．ʃ21ln2xdxB．2ʃ21lnxdxC．2ʃ21ln(1＋x)dxD．ʃ21ln2(1＋x)dx答案B解析limn→∞lnn1＋1n21＋2n2…1＋nn2＝limn→∞2