高中数学新人教版选修22课时作业第一章导数及其应用172定积分在物理中的应用

1.7.2定积分在物理中的应用明目标、知重点1．能利用定积分解决物理中的变速直线运动的路程、变力做功问题．2．通过定积分在物理中的应用，学会用数学工具解决物理问题，进一步体会定积分的价值．变速直线运动做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间a，b]上的定积分，即ʃbav(t)dt.变力做功如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x＝a移动到x＝b(ab)，那么变力F(x)所做的功为ʃbaF(x)dx.探究点一变速直线运动的路程思考变速直线运动的路程和位移相同吗？答不同．路程是标量，位移是矢量，路程和位移是两个不同的概念：(1)当v(t)≥0时，求某一时间段内的路程和位移均用21ttv(t)dt求解；(2)当v(t)0时，求某一时间段内的位移用21ttv(t)dt求解，这一时段的路程是位移的相反数，即路程为－21ttv(t)dt.例1一辆汽车的速度－时间曲线如图所示．求汽车在这1min行驶的路程．解由速度－时间曲线可知：v(t)＝3t，0≤t≤10，30，10≤t≤40，－1.5t＋90，40≤t≤60.因此汽车在这1min行驶的路程是：s＝ʃ1003tdt＋ʃ401030dt＋ʃ6040(－1.5t＋90)dt＝32t2|100＋30t|4010＋(－34t2＋90t)|6040＝1350(m)．答汽车在这1min行驶的路程是1350m.反思与感悟(1)用定积分解决变速直线运动的位移和路程问题时，将物理问题转化为数学问题是关键．(2)路程是位移的绝对值之和，因此在求路程时，要先判断速度在区间内是否恒正，若符号不定，应求出使速度恒正或恒负的区间，然后分别计算，否则会出现计算失误．跟踪训练1一质点在直线上从时刻t＝0(s)开始以速度v(t)＝t2－4t＋3(m/s)运动．求：(1)在时刻t＝4时，该点的位置；(2)在时刻t＝4时，该点运动的路程．解(1)由ʃ40(t2－4t＋3)dt＝(t33－2t2＋3t)|40＝43知，在时刻t＝4时，该质点离出发点43m.(2)由v(t)＝t2－4t＋30，得t∈(0,1)∪(3,4)．这说明t∈(1,3)时质点运动方向与t∈(0,1)∪(3,4)时运动方向相反．故s＝ʃ40|t2－4t＋3|dt＝ʃ10(t2－4t＋3)dt＋ʃ31(4t－t2－3)dt＋ʃ43(t2－4t＋3)dt＝4.即在时刻t＝4时，该质点运动的路程为4m.探究点二变力做功问题思考恒力F沿与F相同的方向移动了s，力F做的功为W＝Fs，那么变力做功问题怎样解决呢？答与求曲边梯形的面积一样，物体在变力F(x)作用下运动，沿与F相同的方向从x＝a到x＝b(ab)，可以利用定积分得到W＝ʃbaF(x)dx.例2如图所示，一物体沿斜面在拉力F的作用下由A经B、C运动到D，其中AB＝50m，BC＝40m，CD＝30m，变力F＝14x＋50≤x≤902090x≤120(单位：N)，在AB段运动时F与运动方向成30°角，在BC段运动时F与运动方向成45°角，在CD段运动时F与运动方向相同，求物体由A运动到D所做的功．(3≈1.732，2≈1.414，精确到1J)解在AB段运动时F在运动方向上的分力F1＝Fcos30°，在BC段运动时F在运动方向上的分力F2＝Fcos45°.由变力做功公式得：W＝ʃ50014x＋5cos30°dx＋ʃ905014x＋5cos45°dx＋600＝3812x2＋20x|500＋2812x2＋20x|9050＋600＝112543＋4502＋600≈1723(J).所以物体由A运动到D变力F所做的功为1723J.反思与感悟解决变力做功注意以下两个方面：(1)首先要将变力用其方向上的位移表示出来，这是关键的一步．(2)根据变力做功的公式将其转化为求定积分的问题．跟踪训练2设有一长25cm的弹簧，若加以100N的力，则弹簧伸长到30cm，求使弹簧由25cm伸长到40cm所做的功．解设x表示弹簧伸长的厘米，F(x)表示加在弹簧上的力，设F(x)＝kx，依题意得x＝5时F(x)＝100，∴k＝20，∴F(x)＝20x.∴弹簧由25cm伸长到40cm即x＝0到x＝15所做的功W＝ʃ15020xdx＝10x2|150＝2250(N·cm)＝22.5(J)．答使弹簧由25cm伸长到40cm所做的功为22.5J.1．从空中自由下落的物体，在第一秒时刻恰经过电视塔顶，在第二秒时刻物体落地，已知自由落体的运动速度为v＝gt(g为常数)，则电视塔高为()A.52gB.72gC.32gD．2g答案C解析h＝ʃ21gtdt＝12gt2|21＝32g.2．一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度v(t)＝27－0.9t，则列车刹车后前进多少米才能停车()A．405B．540C．810D．945答案A解析停车时v(t)＝0，由27－0.9t＝0，得t＝30，∴s＝ʃ300v(t)dt＝ʃ300(27－0.9t)dt＝(27t－0.45t2)|300＝405.3．一个弹簧压缩xcm可产生4xN的力，把它从自然长度压缩到比自然长度短5cm，求弹簧克服弹力所做的功．解设F(x)＝kx，因为弹簧压缩xcm可产生4xN的力，∴k＝4.∴弹簧克服弹力所做的功为W＝4ʃ50xdx＝4×(12x2)|50＝50(N·cm)＝0.5(J)．呈重点、现规律]1．已知变速运动方程，求在某段时间内物体运动的位移或者经过的路程，就是求速度方程的定积分．解这类问题需注意三点：(1)分清运动过程中的变化情况；(2)如果速度方程是分段函数，那么要用分段的定积分表示；(3)明确是求位移还是求路程，求位移可以正负抵消，求路程不能正负抵消．2．利用定积分求变力做功问题，关键是求出变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间．求变力做功时，要注意单位，F(x)单位：N，x单位：m.一、基础过关1．一物体沿直线以v＝2t＋1(t的单位：s，v的单位：m/s)的速度运动，则该物体在1～2s间行进的路程为()A．1mB．2mC．3mD．4m答案D解析s＝ʃ21(2t＋1)dt＝(t2＋t)|21＝4(m)．2．一物体从A处向B处运动，速度为1.4tm/s(t为运动的时间)，到B处时的速度为35m/s，则AB间的距离为()A．120mB．437.5mC．360mD．480m答案B解析从A处到B处所用时间为25s.所以|AB|＝ʃ2501.4tdt＝0.7t2|250＝437.5(m)．3．以初速度40m/s竖直向上抛一物体，ts时速度v＝40－10t2，则此物体达到最高时的高度为()A.1603mB.803mC.403mD.203m答案A解析v＝0时物体达到最高，此时40－10t2＝0，则t＝2s.又∵v0＝40m/s，∴t0＝0s.∴h＝ʃ20(40－10t2)dt＝(40t－103t3)|20＝1603(m)．4．如果1N的力使弹簧伸长1cm，在弹性限度内，为了将弹簧拉长10cm，拉力所做的功为()A．0.5JB．1JC．50JD．100J答案A解析由于弹簧所受的拉力F(x)与伸长量x成正比，依题意，得F(x)＝x，为了将弹簧拉长10cm，拉力所做的功为W＝ʃ100F(x)dx＝ʃ100xdx＝12x2|100＝50(N·cm)＝0.5(J)．5．一物体在力F(x)＝100≤x≤23x＋4x2(单位：N)的作用下沿与F(x)相同的方向，从x＝0处运动到x＝4(单位：m)处，则力F(x)做的功为()A．44JB．46JC．48JD．50J答案B解析W＝ʃ40F(x)dx＝ʃ2010dx＋ʃ42(3x＋4)dx＝10x|20＋(32x2＋4x)|42＝46(J)．6．做直线运动的质点在任意位置x处，所受的力F(x)＝1＋ex，则质点沿着与F(x)相同的方向，从点x1＝0处运动到点x2＝1处，力F(x)所做的功是()A．1＋eB．eC.1eD．e－1答案B解析W＝ʃ10F(x)dx＝ʃ10(1＋ex)dx＝(x＋ex)|10＝(1＋e)－1＝e.二、能力提升7．若1N的力能使弹簧伸长2cm，则使弹簧伸长12cm时克服弹力所做的功为________．答案0.36J解析弹簧的伸长与所受到的拉力成正比，设F＝kx，求得k＝50，∴F(x)＝50x.∴W＝ʃ0.12050xdx＝25x2|0.120＝0.36(J)．8．汽车以每小时32km的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以加速度a＝－1.8m/s2刹车，则从开始刹车到停车，汽车所走的路程约为________．(保留小数点后两位)答案21.95m解析t＝0时，v0＝32km/h＝32×10003600m/s＝809m/s.刹车后减速行驶，v(t)＝v0＋at＝809－1.8t．停止时，v(t)＝0，则809－1.8t＝0，得t＝40081s，所以汽车所走的路程s＝40080v(t)dt＝809t－12t2×1.8|40080≈21.95(m)．9．把一个带＋q电量的点电荷放在r轴上坐标原点处，形成一个电场，已知在该电场中，距离坐标原点为r处的单位电荷受到的电场力由公式F＝kqr2(其中k为常数)确定．在该电场中，一个单位正电荷在电场力的作用下，沿着r轴的方向从r＝a处移动到r＝b(ab)处，则电场力对它所作的功为________．答案kqa－kqb解析W＝ʃbakqr2dr＝－kqr|ba＝kqa－kqb.10.如图所示，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置lm处，则克服弹簧力所做的功为________．答案12kl2J解析在弹性限度内，拉伸(压缩)弹簧所需的力与弹簧拉伸(压缩)的长度成正比，即F(x)＝kx，其中k为比例系数．由变力做功公式得W＝ʃl0kxdx＝12kx2|l0＝12kl2(J)．11．一物体按规律x＝bt3作直线运动，其中x为时间t内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方，试求物体由x＝0运动到x＝a时，阻力所做的功．解物体的速度v＝x′(t)＝(bt3)′＝3bt2，媒质的阻力F阻＝kv2＝k·(3bt2)2＝9kb2t4(其中k为比例常数，k0)．当x＝0时，t＝0；当x＝a时，t＝(ab)13.所以阻力所做的功为W阻＝ʃa0F阻dx＝13()0abkv2·vdt＝13()0ab9kb2t4·3bt2dt＝13()0ab27kb3t6dt＝277kb3t7|13()0ab＝277k23b·73a.故物体由x＝0运动到x＝a时，阻力所做的功为277k23b·73a.12．物体A以速度vA＝3t2＋1(米/秒)在一直线上运动，同时物体B也以速度vB＝10t(米/秒)在同一直线上与物体A同方向运动，问多长时间物体A比B多运动5米，此时，物体A，B运动的距离各是多少？解依题意知物体A，B均作变速直线运动，所以可借助变速直线运动的路程公式求解．设a秒后物体A比B多运动5米，则A从开始到a秒末所走的路程为sA＝ʃa0vAdt＝ʃa0(3t2＋1)dt＝a3＋a；B从开始到a秒末所走的路程为sB＝ʃa0vBdt＝ʃa010tdt＝5a2.由题意得sA＝sB＋5，即a3＋a＝5a2＋5，得a＝5.此时sA＝53＋5＝130(米)，sB＝5×52＝125(米)．故5秒后物体A比B多运动5米，此时，物体A，B运动的距离分别是130米和125米．三、探究与拓展13．有一动点P沿x轴运动，在时间t时的速度为v(t)＝8t－2t2(速度的正方向与x轴正方向一致)．求(1)P从原点出发，当t＝6时，求点P离开原点的路程和位移；(2)P从原点出发，经过时间t后又返回原点时的t值．解(1)由v(t)＝8t－2t2≥0得0≤t≤4，即当0≤t≤4时，P点向x轴正方向运动，当t4时，P点向x轴负方向运动．故t＝6时，点P离开原点的路程s1＝ʃ40(8t－2t2)dt－ʃ64(8t－2t2)dt＝(4t2－23t3)|40－(4