高中数学新人教版选修22课时作业第一章导数及其应用章末检测卷Word版含解析

章末检测卷（一）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知曲线y＝x2＋2x－2在点M处的切线与x轴平行，则点M的坐标是()A．(－1,3)B．(－1，－3)C．(－2，－3)D．(－2,3)答案B解析∵f′(x)＝2x＋2＝0，∴x＝－1.f(－1)＝(－1)2＋2×(－1)－2＝－3.∴M(－1，－3)．2．函数y＝x4－2x2＋5的单调递减区间是()A．(－∞，－1)和(0,1)B．(－1,0)和(1，＋∞)C．(－1,1)D．(－∞，－1)和(1，＋∞)答案A解析y′＝4x3－4x＝4x(x2－1)，令y′0得x的范围为(－∞，－1)∪(0,1)，故选A.3．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，在x＝－3时取得极值，则a等于()A．2B．3C．4D．5答案D解析f′(x)＝3x2＋2ax＋3.∵f(x)在x＝－3时取得极值，即f′(－3)＝0，∴27－6a＋3＝0，∴a＝5.4．函数y＝ln1|x＋1|的大致图象为()答案D解析函数的图象关于x＝－1对称，排除A、C，当x－1时，y＝－ln(x＋1)为减函数，故选D.5．一物体在变力F(x)＝5－x2(力单位：N，位移单位：m)作用下，沿与F(x)成30°方向作直线运动，则由x＝1运动到x＝2时F(x)作的功为()A.3JB.233JC.433JD．23J答案C解析由于F(x)与位移方向成30°角．如图：F在位移方向上的分力F′＝F·cos30°，W＝ʃ21(5－x2)·cos30°dx＝32ʃ21(5－x2)dx＝32(5x－13x3)|21＝32×83＝433(J)．6．二次函数y＝f(x)的图象过原点，且它的导函数y＝f′(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y＝f(x)的图象的顶点所在象限是()A．一B．二C．三D．四答案C解析∵y＝f′(x)的图象过第一、二、三象限，故二次函数y＝f(x)的图象必然先下降再上升且对称轴在原点左侧，又因为其图象过原点，故顶点在第三象限．7．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－3]∪3，＋∞)B．－3，3]C．(－∞，－3]∪3，＋∞)D．－3，3]答案B解析在f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)恒成立，Δ＝4a2－12≤0⇒－3≤a≤3.8．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝12x＋2，f(1)＋f′(1)的值等于()A．1B.52C．3D．0答案C解析由已知切点在切线上，所以f(1)＝12＋2＝52，切点处的导数为切线斜率，所以f′(1)＝12，所以f(1)＋f′(1)＝3.9．曲线y＝sinx，y＝cosx与直线x＝0，x＝π2所围成的平面区域的面积为()A．π20(sinx－cosx)dxB．2π40(sinx－cosx)dxC．π20(cosx－sinx)dxD．2π40(cosx－sinx)dx答案D解析如图所示，两阴影部分面积相等，所示两阴影面积之和等于0xπ4阴影部分面积的2倍．故选D.10．设函数f(x)＝13x－lnx(x0)，则y＝f(x)()A．在区间(1e，1)，(1，e)内均有零点B．在区间(1e，1)，(1，e)内均无零点C．在区间(1e，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点D．在区间(1e，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点答案C解析由题意得f′(x)＝x－33x，令f′(x)0得x3；令f′(x)0得0x3；f′(x)＝0得x＝3，故知函数f(x)在区间(0,3)上为减函数，在区间(3，＋∞)上为增函数，在点x＝3处有极小值1－ln30；又f(1)＝130，f(e)＝e3－10，f(1e)＝13e＋10.11．方程2x3－6x2＋7＝0在(0,2)内根的个数为()A．0B．1C．2D．3答案B解析令f(x)＝2x3－6x2＋7，∴f′(x)＝6x2－12x，由f′(x)0得x2或x0；由f′(x)0得0x2；又f(0)＝70，f(2)＝－10，∴方程在(0,2)内只有一实根．12．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则log2014x1＋log2014x2＋…＋log2014x2015的值为()A．－log20142013B．－1C．(log20142013)－1D．1答案B解析∵y′|x＝1＝n＋1，∴切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0，得x＝1－1n＋1＝nn＋1，即xn＝nn＋1.所以log2014x1＋log2014x2＋…＋log2014x2013＝log2014(x1·x2·…·x2013)＝log201412·23·…·20132014＝log201412014＝－1.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若曲线y＝kx＋lnx在点(1，k)处的切线平行于x轴，则k＝________.答案－1解析∵y′＝k＋1x，∴y′|x＝1＝k＋1＝0，∴k＝－1.14．已知函数f(x)＝－x3＋ax在区间(－1,1)上是增函数，则实数a的取值范围是________．答案a≥3解析由题意应有f′(x)＝－3x2＋a≥0，在区间(－1,1)上恒成立，则a≥3x2，x∈(－1,1)恒成立，故a≥3.15．在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为________答案(－2,15)解析y′＝3x2－10＝2⇒x＝±2，又点P在第二象限内，∴x＝－2，得点P的坐标为(－2,15)16．函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2，在x＝1时有极值10，那么a，b的值分别为________．答案4，－11解析f′(x)＝3x2＋2ax＋b，f′(1)＝2a＋b＋3＝0，f(1)＝a2＋a＋b＋1＝10，2a＋b＝－3a2＋a＋b＝9，解得a＝－3b＝3，或a＝4b＝－11，当a＝－3时，x＝1不是极值点，a，b的值分别为4，－11.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)设函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax＋8，其中a∈R.已知f(x)在x＝3处取得极值．(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在点A(1,16)处的切线方程．解(1)f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a.∵f(x)在x＝3处取得极值，∴f′(3)＝6×9－6(a＋1)×3＋6a＝0，解得a＝3.∴f(x)＝2x3－12x2＋18x＋8.(2)A点在f(x)上，由(1)可知f′(x)＝6x2－24x＋18，f′(1)＝6－24＋18＝0，∴切线方程为y＝16.18．(12分)已知f(x)＝log3x2＋ax＋bx，x∈(0，＋∞)，是否存在实数a、b，使f(x)同时满足下列两个条件：(1)f(x)在(0,1)上是减函数，在1，＋∞)上是增函数；(2)f(x)的最小值是1，若存在，求出a、b，若不存在，说明理由．解设g(x)＝x2＋ax＋bx，∵f(x)在(0,1)上是减函数，在1，＋∞)上是增函数，∴g(x)在(0,1)上是减函数，在1，＋∞)上是增函数，∴g′1＝0g1＝3，∴b－1＝0a＋b＋1＝3，解得a＝1b＝1经检验，a＝1，b＝1时，f(x)满足题设的两个条件．19．(12分)设函数f(x)＝lnx＋ln(2－x)＋ax(a0)．(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在(0,1]上的最大值为12，求a的值．解函数f(x)的定义域为(0,2)，f′(x)＝1x－12－x＋a.(1)当a＝1时，f′(x)＝－x2＋2x2－x，所以f(x)的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，2)．(2)当x∈(0,1]时，f′(x)＝2－2xx2－x＋a0，即f(x)在(0,1]上单调递增，故f(x)在(0,1]上的最大值为f(1)＝a，因此a＝12.20．(12分)某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为30元，并且每件产品需向总公司缴纳a元(a为常数，2≤a≤5)的管理费，根据多年的管理经验，预计当每件产品的售价为x元时，产品一年的销售量为kex(e为自然对数的底数)万件．已知每件产品的售价为40元时，该产品的一年销售量为500万件，经物价部门核定每件产品的售价x最低不低于35元，最高不超过41元．(1)求分公司经营该产品一年的利润L(x)(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L(x)最大？并求出L(x)的最大值．解(1)由于年销售量为Q(x)＝kex，则ke40＝500，所以k＝500e40，则年售量为Q(x)＝500e40ex万件，则年利润L(x)＝(x－a－30)500e40ex＝500e40·x－a－30ex(35≤x≤41)．(2)L′(x)＝500e40·31＋a－xex.①当2≤a≤4时，33≤a＋31≤35，当35≤x≤41时，L′(x)≤0；所以x＝35时，L(x)取最大值为500(5－a)e5.②当4a≤5时，35a＋31≤36，令L′(x)＝0，得x＝a＋31，易知x＝a＋31时，L(x)取最大值为500e9－a.综上所述，当2≤a≤4，每件产品的售价为35元时，该产品一年的利润最大，最大利润为500(5－a)e5万元；当4a≤5，每件产品的售价为(31＋a)元时，该产品一年的利润最大，最大利润为500e9－a万元．21．(12分)设f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)．(1)确定a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值．解(1)因为f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，故f′(x)＝2a(x－5)＋6x.令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－16a＝(6－8a)(x－1)，由点(0,6)在切线上可得6－16a＝8a－6，故a＝12.(2)由(1)知，f(x)＝12(x－5)2＋6lnx(x0)，f′(x)＝x－5＋6x＝x－2x－3x.令f′(x)＝0，解得x1＝2，x2＝3.当0x2或x3时，f′(x)0，故f(x)在(0,2)和(3，＋∞)上为增函数；当2x3时，f′(x)0，故f(x)在(2,3)上为减函数．由此可知，f(x)在x＝2处取得极大值f(2)＝92＋6ln2，在x＝3处取得极小值f(3)＝2＋6ln3.22．(12分)已知函数f(x)＝ax3－32x2＋1(x∈R)，其中a0.(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)若在区间－12，12]上，f(x)0恒成立，求a的取值范围．解(1)当a＝1时，f(x)＝x3－32x2＋1，f(2)＝3.f′(x)＝3x2－3x，f′(2)＝6，所以曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－3＝6(x－2)，即y＝6x－9.(2)f′(x)＝3ax2－3x＝3x(ax－1)．令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝1a.以下分两种情况讨论：①若0a≤2，则1a≥12.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－12，0)0(0，12)f′(x)＋0－f(x)f(x)单调递增极大值单调递减当x∈－12，12]时，f(x)0等价于f－120，f120，即5－a805＋a80.解不等式组得－5a5.因此0a≤2.②若a2，则01a12.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－12，0)0(0，1a)1a(1a，12)f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增当x∈－12，1