高中数学新人教版选修22课时作业第二章推理与证明23数学归纳法Word版含解析

【创新设计】2016-2017学年高中数学第二章推理与证明2.3数学归纳法课时作业新人教版选修2-2明目标、知重点1．了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．1．数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：①(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；②(归纳递推)假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．2．应用数学归纳法时特别注意：(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题．(2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．(3)步骤②的证明必须以“假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立”为条件．情境导学]多米诺骨牌游戏是一种用木制、骨制或塑料制成的长方形骨牌，玩时将骨牌按一定间距排列成行，保证任意两相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下．只要推倒第一块骨牌，就必然导致第二块骨牌倒下；而第二块骨牌倒下，就必然导致第三块骨牌倒下…，最后不论有多少块骨牌都能全部倒下．请同学们思考所有的骨牌都一一倒下蕴涵怎样的原理？探究点一数学归纳法的原理思考1多米诺骨牌游戏给你什么启示？你认为一个骨牌链能够被成功推倒，靠的是什么？答(1)第一张牌被推倒；(2)任意相邻两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下．结论：多米诺骨牌会全部倒下．所有的骨牌都倒下，条件(2)给出了一个递推关系，条件(1)给出了骨牌倒下的基础．思考2对于数列{an}，已知a1＝1，an＋1＝an1＋an，试写出a1，a2，a3，a4，并由此作出猜想．请问这个结论正确吗？怎样证明？答a1＝1，a2＝12，a3＝13，a4＝14，猜想an＝1n(n∈N*)．以下为证明过程：(1)当n＝1时，a1＝1＝11，所以结论成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，结论成立，即ak＝1k，则当n＝k＋1时ak＋1＝ak1＋ak(已知)＝1k1＋1k(代入假设)＝1kk＋1k(变形)＝1k＋1(目标)即当n＝k＋1时，结论也成立．由(1)(2)可得，对任意的正整数n都有an＝1n成立．思考3你能否总结出上述证明方法的一般模式？答一般地，证明一个与正整数n有关的命题P(n)，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．思考4用数学归纳法证明1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2，如采用下面的证法，对吗？若不对请改正．证明：(1)n＝1时，左边＝1，右边＝12＝1，等式成立．(2)假设n＝k时等式成立，即1＋3＋5＋…＋(2k－1)＝k2，则当n＝k＋1时，1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝k＋1×[1＋2k＋1]2＝(k＋1)2等式也成立．由(1)和(2)可知对任何n∈N*等式都成立．答证明方法不是数学归纳法，因为第二步证明时，未用到归纳假设．从形式上看这种证法，用的是数学归纳法，实质上不是，因为证明n＝k＋1正确时，未用到归纳假设，而用的是等差数列求和公式．探究点二用数学归纳法证明等式例1用数学归纳法证明12＋22＋…＋n2＝nn＋12n＋16(n∈N*)．证明(1)当n＝1时，左边＝12＝1，右边＝1×1＋1×2×1＋16＝1，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即12＋22＋…＋k2＝kk＋12k＋16，那么，12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2＝kk＋12k＋16＋(k＋1)2＝kk＋12k＋1＋6k＋126＝k＋12k2＋7k＋66＝k＋1k＋22k＋36＝k＋1[k＋1＋1][2k＋1＋1]6，即当n＝k＋1时等式也成立．根据(1)和(2)，可知等式对任何n∈N*都成立．反思与感悟(1)用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关．由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．跟踪训练1求证：1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n(n∈N*)．证明当n＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝12，所以等式成立．假设n＝k(k∈N*)时，1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k成立．那么当n＝k＋1时，1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k＋12k＋1－1－12k＋1＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k＋12k＋1－12k＋1＝1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋12k＋1＋1k＋1－12k＋1]＝1k＋1＋1＋1k＋1＋2＋…＋1k＋1＋k＋12k＋1，所以n＝k＋1时，等式也成立．综上所述，对于任何n∈N*，等式都成立．探究点三用数学归纳法证明数列问题例2已知数列11×4，14×7，17×10，…，13n－23n＋1，…，计算S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明．解S1＝11×4＝14；S2＝14＋14×7＝27；S3＝27＋17×10＝310；S4＝310＋110×13＝413.可以看出，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n一致，分母可用项数n表示为3n＋1.于是可以猜想Sn＝n3n＋1.下面我们用数学归纳法证明这个猜想．(1)当n＝1时，左边＝S1＝14，右边＝n3n＋1＝13×1＋1＝14，猜想成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时猜想成立，即11×4＋14×7＋17×10＋…＋13k－23k＋1＝k3k＋1，那么，11×4＋14×7＋17×10＋…＋13k－23k＋1＋1[3k＋1－2][3k＋1＋1]＝k3k＋1＋13k＋13k＋4＝3k2＋4k＋13k＋13k＋4＝3k＋1k＋13k＋13k＋4＝k＋13k＋1＋1，所以，当n＝k＋1时猜想也成立．根据(1)和(2)，可知猜想对任何n∈N*都成立．反思与感悟归纳法分为不完全归纳法和完全归纳法，数学归纳法是“完全归纳”的一种科学方法，对于无穷尽的事例，常用不完全归纳法去发现规律，得出结论，并设法给予证明，这就是“归纳——猜想——证明”的基本思想．跟踪训练2数列{an}满足Sn＝2n－an(Sn为数列{an}的前n项和)，先计算数列的前4项，再猜想an，并证明．解由a1＝2－a1，得a1＝1；由a1＋a2＝2×2－a2，得a2＝32；由a1＋a2＋a3＝2×3－a3，得a3＝74；由a1＋a2＋a3＋a4＝2×4－a4，得a4＝158.猜想an＝2n－12n－1.下面证明猜想正确：(1)当n＝1时，由上面的计算可知猜想成立．(2)假设当n＝k时猜想成立，则有ak＝2k－12k－1，当n＝k＋1时，Sk＋ak＋1＝2(k＋1)－ak＋1，∴ak＋1＝122(k＋1)－Sk]＝k＋1－12(2k－2k－12k－1)＝2k＋1－12k＋1－1，所以，当n＝k＋1时，等式也成立．由(1)和(2)可知，an＝2n－12n－1对任意正整数n都成立．1．若命题A(n)(n∈N*)在n＝k(k∈N*)时命题成立，则有n＝k＋1时命题成立．现知命题对n＝n0(n0∈N*)时命题成立，则有()A．命题对所有正整数都成立B．命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立C．命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立D．以上说法都不正确答案C解析由已知得n＝n0(n0∈N*)时命题成立，则有n＝n0＋1时命题成立；在n＝n0＋1时命题成立的前提下，又可推得n＝(n0＋1)＋1时命题也成立，依此类推，可知选C.2．用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋a2n＋1＝1－a2n＋21－a(a≠1)”．在验证n＝1时，左端计算所得项为()A．1＋aB．1＋a＋a2C．1＋a＋a2＋a3D．1＋a＋a2＋a3＋a4答案C解析将n＝1代入a2n＋1得a3，故选C.3．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的过程如下：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝1－2k＋11－2＝2k＋1－1.所以当n＝k＋1时等式也成立．由此可知对于任何n∈N*，等式都成立．上述证明的错误是________．答案未用归纳假设解析本题在由n＝k成立，证n＝k＋1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上假设条件，这与数学归纳法的要求不符．4．用数学归纳法证明1＋n2≤1＋12＋13＋…＋12n≤12＋n(n∈N*)证明(1)当n＝1时，左式＝1＋12，右式＝12＋1，所以32≤1＋12≤32，命题成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，命题成立，即1＋k2≤1＋12＋13＋…＋12k≤12＋k，则当n＝k＋1时，1＋12＋13＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋2k1＋k2＋2k·12k＋1＝1＋k＋12.又1＋12＋13＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋2k12＋k＋2k·12k＝12＋(k＋1)，即当n＝k＋1时，命题成立．由(1)和(2)可知，命题对所有的n∈N*都成立．呈重点、现规律]在应用数学归纳法证题时应注意以下几点：(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1；(2)递推是关键：正确分析由n＝k到n＝k＋1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障；(3)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明.一、基础过关1．某个命题与正整数有关，如果当n＝k(k∈N*)时，该命题成立，那么可推得n＝k＋1时，该命题也成立．现在已知当n＝5时，该命题成立，那么可推导出()A．当n＝6时命题不成立B．当n＝6时命题成立C．当n＝4时命题不成立D．当n＝4时命题成立答案B2．一个与正整数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k时命题成立可以推得n＝k＋2时命题也成立，则()A．该命题对于n2的自然数n都成立B．该命题对于所有的正偶数都成立C．该命题何时成立与k取值无关D．以上答案都不对答案B解析由n＝k时命题成立可以推出n＝k＋2时命题也成立．且n＝2，故对所有的正偶数都成立．3．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为12n(n－3)条时，第一步验证n等于()A．1B．2C．3D．0答案C解析因为是证凸n边形，所以应先验证三角形，故选C.4．若f(n)＝1＋12＋13＋…＋12n＋1(n∈N*)，则n＝1时f(n)是()A．1B.13C．1＋12＋13D．以上答案均不正确答案C5．已知f(n)＝1n＋1n＋1＋1n＋2＋…＋1n2，则()A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝12＋13B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝12＋13＋14C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝12＋13D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝12＋13＋14答案D解析观察分母的首项为n，最后一项为n2，公差为1，∴项数为n2－n＋1.6．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an3an＋1(n∈N*)，依次计算a2，a3，a4，归纳推测出an的通项表达式为()A.24n－3B.26n－5C.24n＋3D.22n－1答案B解析a1＝2，a2＝27，a3＝213，a4＝219，…，可推测an＝26n－5，故选B.7．用数学归纳法证明(1－13)(1－14)(1－15)…(1－1n＋2)＝2n＋2(n∈N*)．证明(1)当n＝1时