高中数学选修12211同步练习高中数学练习试题

1高中数学人教A版选修1-2同步练习1.已知{bn}为等比数列，b5＝2，且b1b2b3…b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为()A．a1a2a3…a9＝29B．a1＋a2＋…＋a9＝29C．a1a2…a9＝2×9D．a1＋a2＋…＋a9＝2×9解析：选D.由等差数列的性质，有a1＋a9＝a2＋a8＝…＝2a5.易知D成立．2.我们把1，4，9，16，25，…这些数称为正方形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正方形(如图)．由此可推得第n个正方形数应为()A．n(n－1)B．n(n＋1)C．n2D．(n＋1)2解析：选C.观察前5个正方形数，正好是序号的平方，所以第n个正方形数应为n2.3.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．解析：由平面和空间的知识，可知很多比值在平面中成平方关系，在空间中成立方关系，故若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为1∶8.答案：1∶84.(2011·高考陕西卷)观察下列等式1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49…照此规律，第五个等式应为________．解析：每行最左侧数分别为1、2、3、…，所以第n行最左侧的数应为n；每行数的个数分别为1、3、5、…，所以第n行数的个数应为2n－1.所以第5行数依次是5、6、7、…、13，其和为5＋6＋7＋…＋13＝81.答案：5＋6＋7＋…＋13＝81[A级基础达标]1.鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．该过程体现了()A．归纳推理B．类比推理C．没有推理D．以上说法都不对解析：选B.推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程，上述过程是推理，由性质类比可知是类比推理．2.下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子的颜色应该是()2A．白色B．黑色C．白色可能性大D．黑色可能性大解析：选A.由图知：三白二黑周而复始相继排列，因36÷5＝7余1，所以第36颗应与第1颗珠子的颜色相同，即为白色．3.把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，结论仍然正确的是()A．如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则也与另一条相交B．如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则也与另一条垂直C．如果两条直线同时与第三条直线相交，则这两条直线相交或平行D．如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行解析：选B.推广到空间以后，对于A，还有可能异面；对于C，还有可能异面；对于D，还有可能异面．4.(2012·湛江高二检测)图(1)所示的图形有面积关系：S△PA′B′S△PAB＝PA′·PB′PA·PB，则图(2)所示的图形有体积关系：VP－A′B′C′VP－ABC＝________．解析：由三棱锥的体积公式V＝13Sh及相似比可知，VP－A′B′C′VP－ABC＝PA′·PB′·PC′PA·PB·PC答案：PA′·PB′·PC′PA·PB·PC5.某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2，3，4，…堆最底层(第一层)分别按图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，…，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f(n)表示第n堆的乒乓球总数，则f(3)＝________，f(6)＝________．解析：f(3)＝1＋3＋6＝10，f(6)＝1＋3＋6＋10＋15＋21＝56.答案：10566.设n∈N*且sinx＋cosx＝－1，求sinnx＋cosnx的值．(先观察n＝1，2，3，4时的值，再归纳猜测sinnx＋cosnx的值)解：当n＝1时，sinx＋cosx＝－1；当n＝2时，有sin2x＋cos2x＝1；当n＝3时，有sin3x＋cos3x＝(sinx＋cosx)(sin2x＋cos2x－sinxcosx)，而sinx＋cosx＝－1，∴1＋2sinxcosx＝1，sinxcosx＝0.∴sin3x＋cos3x＝－1.当n＝4时，有sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2xcos2x＝1.由以上可以猜测，当n∈N*时，可能有sinnx＋cosnx＝(－1)n成立．[B级能力提升]7.设f(n)0(n∈N*)且f(2)＝4，对任意n1，n2∈N*，有f(n1＋n2)＝f(n1)·f(n2)恒成立，则猜想f(n)的一个表达式为()A．f(n)＝n2B．f(n)＝2n－13C．f(n)＝2nD．f(n)＝22n解析：选C.对任意n1，n2∈N*，有f(n1＋n2)＝f(n1)·f(n2)，符合指数型函数特征，结合f(2)＝4，可知f(n)＝2n.故选C.8.(2012·苏州高二期中测试)类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是()①各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角相等；②各个面是全等的正三角形，相邻的两个面所成的二面角相等；③各个面是全等的正三角形，同一顶点上的任意两条棱的夹角相等；④各棱长相等，相邻的两个面所成的二面角相等．A．①④B．①②C．①③D．③④解析：选B.类比推理的原则是：类比前后保持类比规律的一致性，而③④违背了这一原则，只有①②符合．9.半径为r的圆的面积S(r)＝πr2，周长C(r)＝2πr，若将r看作(0，＋∞)上的变量，则(πr2)′＝2πr，①①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R的球，若将R看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①的式子：________________，②②式可以用语言叙述为：________________________________________________________________________.解析：半径为R的球的体积V(R)＝43πR3，表面积S(R)＝4πR2，则43πR3′＝4πR2.答案：43πR3′＝4πR2球的体积函数的导数等于球的表面积函数10.已知椭圆具有以下性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，若直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．试对双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)写出具有的类似性质，并加以证明．解：类似的性质为：若M、N是双曲线x2a2－y2b2＝1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，若直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．证明如下：设点M、P的坐标为(m，n)、(x，y)，则N(－m，－n)．∵点M(m，n)在已知双曲线上，∴n2＝b2a2m2－b2.同理y2＝b2a2x2－b2.则kPM·kPN＝y－nx－m·y＋nx＋m＝y2－n2x2－m2＝b2a2·x2－m2x2－m2＝b2a2(定值)．11.(创新题)有一个雪花曲线序列，如图所示．其产生规则是：将正三角形P0的每一边三等分，而以其居中的那一条线段为一底边向外作等边三角形，再擦去中间的那条边，便得到第1条雪花曲线P1；再将P1的每一边三等分，并重复上述作法，便得到第2条雪花曲线P2；…；把Pn－1的每一边三等分，而以其居中的那一条线段为一底边向外作等边三角形，再擦去中间的那条边，便得到第n条雪花曲线Pn(n＝1，2，3，4，…)．(1)设P0的周长为L0，即正三角形的周长，求Pn，即第n条雪花曲线的周长Ln；4(2)设P0的面积为S0，即正三角形的面积，求Pn，即第n条雪花曲线所围成的面积Sn.解：(1)在雪花曲线序列中，前后两条曲线之间的基本关系如图所示．易得一雪花曲线的长为相邻的前一个长的43.设第n条雪花曲线的长为Ln，则Ln＝43Ln－1＝…＝43nL0(n∈N*)．(2)对P0进行操作，容易看出P1的边数为3×4；同样，对P1进行操作，得到P2的边数为3×42；从而不难看出Pn的边数为3×4n，已知P0的面积为S0，比较P1和P0，容易看出P1在P0的每条边上增加了一个小等边三角形，其面积为S032，而P0有3条边，故S1＝S0＋3·S032＝S0＋S03.再比较P2与P1，可知P2在P1的每条边上增加了一个等边三角形，其面积为132·S032，而P1有3×4条边，故S2＝S1＋3×4×S034＝S0＋S03＋4S033，类似地有：S3＝S2＋3×42×S036＝S0＋S03＋4S033＋42S035，…，Sn＝S0＋S03＋4S033＋42S035＋43S037＋…＋4n－1S032n－1＝S0＋131－49n1－49S0＝85－35·49nS0.