高二数学人教A必修5练习232等差数列前n项和的性质与应用Word版含解析

课时训练10等差数列前n项和的性质与应用一、等差数列前n项和性质的应用1.等差数列{an}的前n项和为Sn,若S2=2,S4=10,则S6等于()A.12B.18C.24D.42答案:C解析:S2,S4-S2,S6-S4成等差数列,即2,8,S6-10成等差数列,S6=24.2.已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为()A.5B.4C.3D.2答案:C解析:由题意得S偶-S奇=5d=15,∴d=3.或由解方程组{求得d=3,故选C.3.等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=-2015,=2,则S2015=()A.2015B.-2015C.0D.1答案:B解析:由等差数列前n项和性质可知,数列{}是等差数列,设公差为d,则=2d=2,所以d=1.所以+2014d=-2015+2014=-1,所以S2015=-2015.二、等差数列前n项和中的最值问题4.设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和,则下列命题中错误的是()A.若d0,则数列{Sn}有最大项B.若数列{Sn}有最大项,则d0C.若数列{Sn}是递增数列,则对任意n∈N*,均有Sn0D.若对任意n∈N*,均有Sn0,则数列{Sn}是递增数列答案:C解析:由等差数列的前n项和公式Sn=na1+n(n-1)d=n2+(-)n知,Sn对应的二次函数有最大值时d0.故若d0,则Sn有最大值,A,B正确.又若对任意n∈N*,Sn0,则a10,d0,{Sn}必为递增数列,D正确.而对于C项,令Sn=n2-2n,则数列{Sn}递增,但S1=-10.C不正确.5.(2015河南南阳高二期中,10)已知数列{an}为等差数列,若-1,且它们的前n项和Sn有最大值,则使得Sn0的n的最大值为()A.21B.20C.19D.18答案:C解析:由-1,可得0,由它们的前n项和Sn有最大值可得数列的公差d0,∴a100,a11+a100,a110,∴a1+a19=2a100,a1+a20=a11+a100.∴使得Sn0的n的最大值n=19.故选C.6.设数列{an}为等差数列,其前n项和为Sn,已知a1+a4+a7=99,a2+a5+a8=93,若对任意n∈N*,都有Sn≤Sk成立,则k的值为()A.22B.21C.20D.19答案:C解析:对任意n∈N*,都有Sn≤Sk成立,即Sk为Sn的最大值.因为a1+a4+a7=99,a2+a5+a8=93,所以a4=33,a5=31,故公差d=-2,an=a4+(n-4)d=41-2n,则n=1时,a1=39,所以Sn=n2+(-)n=-n2+40n=-(n-20)2+400,即当n=20时Sn取得最大值,从而满足对任意n∈N*,都有Sn≤Sk成立的k的值为20.7.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且S20140,S20150,则当n=时,Sn最大.答案:1007解析:由等差数列的性质知,S2015=2015a10080,所以a10080.又S2014==1007(a1007+a1008)0,所以a1007+a10080,而a10080,故a10070.因此当n=1007时,Sn最大.8.已知数列{an},an∈N*,前n项和Sn=(an+2)2.(1)求证:{an}是等差数列;(2)设bn=an-30,求数列{bn}的前n项和的最小值.(1)证明:由已知得8Sn=(an+2)2,则8Sn-1=(an-1+2)2(n≥2),两式相减,得8an=(an+2)2-(an-1+2)2,即(an+an-1)(an-an-1-4)=0.因为an∈N*,所以an+an-10,所以an-an-1=4(n≥2),故数列{an}是以4为公差的等差数列.(2)解:令n=1,得S1=a1=(a1+2)2,解得a1=2.由(1)知an=2+(n-1)×4=4n-2,所以bn=an-30=2n-31.由bn=2n-310,得n,即数列{bn}的前15项为负值,n≥16时bn0.设数列{bn}的前n项和为Tn,则T15最小,其值为T15=15×(-29)+×2=-225.三、与数列{|an|}前n项和有关的问题9.已知数列{an}的通项公式an=5-n,则当|a1|+|a2|+…+|an|=16时,n=.答案:8解析:由an=5-n,可得n5时,an0;n=5时,a5=0;n5时,an0,而a1+a2+…+a5=10,∴|a1|+|a2|+…+|an|=(a1+a2+…+a5)-(a6+a7+…+an)=16.∴20+-=16,解得n=8.10.在公差为d的等差数列{an}中,已知a1=10,且5a3·a1=(2a2+2)2.(1)求d,an;(2)若d0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|.解:(1)因为5a3·a1=(2a2+2)2,所以d2-3d-4=0,解得d=-1或d=4.故an=-n+11或an=4n+6.(2)设数列{an}的前n项和为Sn.因为d0,所以由(1)得d=-1,an=-n+11.则当n≤11时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=Sn=-n2+n;当n≥12时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=-Sn+2S11=n2-n+110.综上所述,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|={--(建议用时:30分钟)1.若等差数列{an}的前3项和S3=9,则a2等于()A.3B.4C.5D.6答案:A解析:S3==9,∴a1+a3=2a2=6.∴a2=3.故选A.2.设{an}是公差为-2的等差数列,如果a1+a4+…+a97=50,那么a3+a6+a9+…+a99等于()A.-182B.-78C.-148D.-82答案:D解析:由a1+a4+a7+…+a97=50,①令a3+a6+a9+…+a99=x,②②-①得2d×33=x-50,而d=-2,∴x=-132+50=-82.故选D.3.等差数列{an}的前n项和记为Sn,若a2+a4+a15的值为确定的常数,则下列各数中也是常数的是()A.S7B.S8C.S13D.S15答案:C解析:a2+a4+a15=a1+d+a1+3d+a1+14d=3(a1+6d)=3a7=3×S13.于是可知S13是常数.4.设{an}为等差数列,a10,a6+a70,a6·a70,则使其前n项和Sn0成立的最大自然数n是()A.11B.12C.13D.14答案:B解析:∵a6+a7=a1+a12,∴S12==6(a6+a7)0.由已知得a60,a70,又S13=13a70,∴使Sn0成立的最大自然数n为12,故选B.5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=1,S3n-Sn=5,则S4n=()A.4B.6C.10D.15答案:C解析:由Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n成等差数列,设公差为d,则S2n-Sn=Sn+d,S3n-S2n=Sn+2d.∴S3n-Sn=2Sn+3d=5.又∵Sn=1,∴d=1.∴S4n=Sn+(S2n-Sn)+(S3n-S2n)+(S4n-S3n)=1+2+3+4=10.6.等差数列{an}前9项的和等于前4项的和.若a1=1,ak+a4=0,则k=.答案:10解析:S9=S4,∴a5+a6+a7+a8+a9=0,∴a7=0,从而a4+a10=2a7=0,∴k=10.7.等差数列前12项和为354,在前12项中的偶数项的和与奇数项的和之比为32∶27,则公差d=.答案:5解析:由已知{奇偶偶奇解得{偶奇又∵此等差数列共12项,∴S偶-S奇=6d=30.∴d=5.8.等差数列{an}与{bn},它们的前n项和分别为An,Bn,若-,则=.答案:解析:-.9.在等差数列{an}中,已知a1=20,前n项和为Sn,且S10=S15,求当n取何值时,Sn有最大值,并求出它的最大值.解:设等差数列{an}的公差为d,∵a1=20,S10=S15,∴10a1+d=15a1+d.解得d=-.解法一:由以上得an=20-(n-1)=-n+.由an≥0得-n+≥0,∴n≤13.所以数列前12项或前13项的和最大,其最大值为S12=S13=12a1+d=130.解法二:由以上得Sn=20n+-(-)=-n2+n+20n=-n2+n=-(n2-25n)=-(-).∴当n=12或13时,Sn最大,最大值为S12=S13=130.10.等差数列{an}中,a1=-60,a17=-12,求数列{|an|}的前n项和.解:等差数列{an}的公差d=-----=3,∴an=a1+(n-1)d=-60+(n-1)×3=3n-63.由an0,得3n-630,即n21.∴数列{an}的前20项是负数,第20项以后的项都为非负数.设Sn,Sn'分别表示数列{an},{|an|}的前n项和,当n≤20时,Sn'=-Sn=-[--]=-n2+n;当n20时,Sn'=-S20+(Sn-S20)=Sn-2S20=-60n+-×3-2×(-)=n2-n+1260.∴数列{|an|}的前n项和为Sn'={--