高二数学人教A必修5练习251等比数列的前n项和Word版含解析

课时训练13等比数列的前n项和一、等比数列前n项和公式的应用1.已知等比数列的公比为2,且前5项和为1,那么前10项的和等于()A.31B.33C.35D.37答案:B解析:∵S5=1,∴--=1,即a1=.∴S10=--=33.2.设首项为1,公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn,则()A.Sn=2an-1B.Sn=3an-2C.Sn=4-3anD.Sn=3-2an答案:D解析:Sn=------=3-2an,故选D.3.(2015福建厦门高二期末,7)设Sn为等比数列{an}的前n项和,若27a2-a5=0,则等于()A.-27B.10C.27D.80答案:B解析:设等比数列{an}的公比为q,则27a2-a2q3=0,解得q=3,∴----=1+q2=10.故选B.4.(2015课标全国Ⅰ高考,文13)在数列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn为{an}的前n项和.若Sn=126,则n=.答案:6解析:∵an+1=2an,即=2,∴{an}是以2为公比的等比数列.又a1=2,∴Sn=--=126.∴2n=64,∴n=6.5.设数列{an}是首项为1,公比为-2的等比数列,则a1+|a2|+a3+|a4|=.答案:15解析:由数列{an}首项为1,公比q=-2,则an=(-2)n-1,a1=1,a2=-2,a3=4,a4=-8,则a1+|a2|+a3+|a4|=1+2+4+8=15.二、等比数列前n项和性质的应用6.一个等比数列的前7项和为48,前14项和为60,则前21项和为()A.180B.108C.75D.63答案:D解析:由性质可得S7,S14-S7,S21-S14成等比数列,故(S14-S7)2=S7·(S21-S14).又∵S7=48,S14=60,∴S21=63.7.已知数列{an},an=2n,则+…+=.答案:1-解析:由题意得:数列{an}为首项是2,公比为2的等比数列,由an=2n,得到数列{an}各项为:2,22,…,2n,所以+…++…+.所以数列{}是首项为,公比为的等比数列.则+…++…+[-()]-=1-.8.在等比数列{an}中,a1+an=66,a2·an-1=128,Sn=126,求n和q.解:∵a2an-1=a1an,∴a1an=128.解方程组{得{①或{②将①代入Sn=--=126,可得q=,由an=a1qn-1,可得n=6.将②代入Sn=--=126,可得q=2,由an=a1qn-1可解得n=6.综上可得,n=6,q=2或.三、等差、等比数列的综合应用9.已知数列{an}是以1为首项,2为公差的等差数列,{bn}是以1为首项,2为公比的等比数列,设cn=,Tn=c1+c2+…+cn,当Tn2013时,n的最小值为()A.7B.9C.10D.11答案:C解析:由已知an=2n-1,bn=2n-1,∴cn==2×2n-1-1=2n-1.∴Tn=c1+c2+…+cn=(21+22+…+2n)-n=2×---n=2n+1-n-2.∵Tn2013,∴2n+1-n-22013,解得n≥10,∴n的最小值为10,故选C.10.已知公差不为0的等差数列{an}满足S7=77,a1,a3,a11成等比数列.(1)求an;(2)若bn=,求{bn}的前n项和Tn.解:(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0),由S7==77可得7a4=77,则a1+3d=11①.因为a1,a3,a11成等比数列,所以=a1a11,整理得2d2=3a1d.又d≠0,所以2d=3a1②,联立①②,解得a1=2,d=3,所以an=3n-1.(2)因为bn==23n-1=4·8n-1,所以{bn}是首项为4,公比为8的等比数列.所以Tn=---.(建议用时:30分钟)1.在等比数列{an}中,a1=3,an=96,Sn=189,则n的值为()A.5B.4C.6D.7答案:C解析:显然q≠1,由an=a1·qn-1,得96=3×qn-1.又由Sn=--,得189=--.∴q=2.∴n=6.2.等比数列{an}的前n项和为Sn,若S1,S3,S2成等差数列,则{an}的公比等于()A.1B.C.-D.√答案:C解析:设等比数列{an}的公比为q,由2S3=S1+S2,得2(a1+a1q+a1q2)=a1+a1+a1q,整理得2q2+q=0,解得q=-或q=0(舍去).故选C.3.等比数列{an}中,a3=3S2+2,a4=3S3+2,则公比q等于()A.2B.C.4D.答案:C解析:a3=3S2+2,a4=3S3+2,等式两边分别相减得a4-a3=3a3即a4=4a3,∴q=4.4.设Sn为等比数列{an}的前n项和,8a2+a5=0,则=()A.11B.5C.-8D.-11答案:D解析:设等比数列的首项为a1,公比为q,则8a1q+a1q4=0,解得q=-2.∴------=-11.5.设{an}是任意等比数列,它的前n项和,前2n项和与前3n项和分别为X,Y,Z,则下列等式中恒成立的是()A.X+Z=2YB.Y(Y-X)=Z(Z-X)C.Y2=XZD.Y(Y-X)=X(Z-X)答案:D解析:Sn=X,S2n-Sn=Y-X,S3n-S2n=Z-Y,不妨取等比数列{an}为an=2n,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列,∴(Y-X)2=X(Z-Y),整理得D正确.6.某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植树的棵数是前一天的2倍,则需要的最少天数n(n∈N*)等于.答案:6解析:由题意知每天植树的棵数组成一个以2为首项,2为公比的等比数列,所以Sn=--=2(-1+2n)≥100,∴2n≥51,∴n≥6.7.已知{an}是首项为1的等比数列,Sn是{an}的前n项和,且9S3=S6,则数列{}的前5项和为.答案:解析:易知公比q≠1.由9S3=S6,得9×----,解得q=2.∴{}是首项为1,公比为的等比数列.∴其前5项和为-()-.8.在等比数列{an}中,若a1=,a4=-4,则公比q=;|a1|+|a2|+…+|an|=.答案:-22n-1-解析:设等比数列{an}的公比为q,则a4=a1q3,代入数据解得q3=-8,所以q=-2;等比数列{|an|}的公比为|q|=2,则|an|=×2n-1,所以|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=(1+2+22+…+2n-1)=(2n-1)=2n-1-.9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足a2=4,a3+a4=17.(1)求{an}的通项公式;(2)设bn=,证明数列{bn}是等比数列并求其前n项和Tn.(1)解:设等差数列{an}的公差为d.由题意知{解得a1=1,d=3,∴an=3n-2(n∈N*).(2)证明:由题意知,bn==23n(n∈N*),bn-1=23(n-1)=23n-3(n∈N*,n≥2),∴--=23=8(n∈N*,n≥2),又b1=8,∴{bn}是以b1=8,公比为8的等比数列.∴Tn=--(8n-1).10.已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1为a(a∈R),且成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)对n∈N*,试比较+…+与的大小.解:(1)设等差数列{an}的公差为d,由题意可知(),即(a1+d)2=a1(a1+3d),从而a1d=d2,因为d≠0,∴d=a1=a.故通项公式an=na.(2)记Tn=+…+,因为=2na,所以Tn=(…)=[-()]-[-()].从而,当a0时,Tn;当a0时,Tn.