高二数学人教A必修5练习32一元二次不等式及其解法二Word版含解析

§3.2一元二次不等式及其解法(二)【课时目标】1．会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式．2．会解与一元二次不等式有关的恒成立问题．1．一元二次不等式的解集：判别式Δ＝b2－4acΔ0x1x2Δ＝0Δ0ax2＋bx＋c0(a0){x|xx1或xx2}{x|x∈R且x≠－b2a}Rax2＋bx＋c0(a0){x|x1xx2}∅∅2．节分是不等式的同解变形法则：(1)fxgx0⇔f(x)·g(x)0；(2)fxgx≤0⇔fx·gx≤0gx≠0；(3)fxgx≥a⇔fx－agxgx≥0.3．处理不等式恒成立问题的常用方法：(1)一元二次不等式恒成立的情况：ax2＋bx＋c0(a≠0)恒成立⇔a0Δ0；ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立⇔a0Δ≤0.(2)一般地，若函数y＝f(x)，x∈D既存在最大值，也存在最小值，则：af(x)，x∈D恒成立⇔af(x)max；af(x)，x∈D恒成立⇔af(x)min.一、选择题1．不等式x－2x＋30的解集是()A．(－3,2)B．(2，＋∞)C．(－∞，－3)∪(2，＋∞)D．(－∞，－2)∪(3，＋∞)答案C解析解不等式x－2x＋30得，x2或x－3.2．不等式(x－1)x＋2≥0的解集是()A．{x|x1}B．{x|x≥1}C．{x|x≥1或x＝－2}D．{x|x≤－2或x＝1}答案C解析当x＝－2时，0≥0成立．当x－2时，原不等式变为x－1≥0，即x≥1.∴不等式的解集为{x|x≥1或x＝－2}．3．不等式x2－2x－2x2＋x＋12的解集为()A．{x|x≠－2}B．RC．∅D．{x|x－2或x2}答案A解析原不等式⇔x2－2x－22x2＋2x＋2⇔x2＋4x＋40⇔(x＋2)20，∴x≠－2.∴不等式的解集为{x|x≠－2}．4．不等式x＋5x－12≥2的解是()A．[－3，12]B．[－12，3]C．[12，1)∪(1,3]D．[－12，1)∪(1,3]答案D解析x＋5x－12≥2⇔x＋5≥2x－12x－1≠0⇔－12≤x≤3，x≠1，∴x∈[－12，1)∪(1,3]．5．设集合A＝{x|(x－1)23x＋7，x∈R}，则集合A∩Z中元素的个数是()A．4B．5C．6D．7答案C解析解不等式(x－1)23x＋7，然后求交集．由(x－1)23x＋7，得－1x6，∴集合A为{x|－1x6}，∴A∩Z的元素有0,1,2,3,4,5，共6个元素．6．对任意a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，则x的取值范围是()A．1x3B．x1或x3C．1x2D．x1或x2答案B解析设g(a)＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)，g(a)0恒成立且a∈[－1,1]⇔g1＝x2－3x＋20g－1＝x2－5x＋60⇔x1或x2x2或x3⇔x1或x3.二、填空题7．若关于x的不等式x－ax＋10的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，则实数a＝________.答案4解析x－ax＋10⇔(x＋1)(x－a)0⇔(x＋1)(x－4)0∴a＝4.8．若不等式－x2＋2x－a≤0恒成立，则实数a的取值范围是________．答案a≥1解析∵Δ＝4－4a≤0，∴a≥1.9．若全集I＝R，f(x)、g(x)均为x的二次函数，P＝{x|f(x)0}，Q＝{x|g(x)≥0}，则不等式组fx0，gx0的解集可用P、Q表示为________．答案P∩∁IQ解析∵g(x)≥0的解集为Q，所以g(x)0的解集为∁IQ，因此fx0，gx0的解集为P∩∁IQ.10．如果A＝{x|ax2－ax＋10}＝∅，则实数a的取值范围为________．答案0≤a≤4解析a＝0时，A＝∅；当a≠0时，A＝∅⇔ax2－ax＋1≥0恒成立⇔a0Δ≤0⇔0a≤4，综上所述，实数a的取值范围为0≤a≤4.三、解答题11．某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价值24000元，为了减小耕地损失，决定按耕地价格的t%征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少52t万亩，为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9000万元，t%应在什么范围内变动？解由题意可列不等式如下：20－52t·24000·t%≥9000⇔3≤t≤5.所以t%应控制在3%到5%范围内．12．关于x的不等式组x2－x－20，2x2＋2k＋5x＋5k0的整数解的集合为{－2}，求实数k的取值范围．解由x2－x－20，可得x－1或x2.∵x2－x－20，2x2＋2k＋5x＋5k0的整数解的集合为{－2}，方程2x2＋(2k＋5)x＋5k＝0的两根为－k与－52，①若－k－52，则不等式组的整数解的集合就不可能为{－2}；②若－52－k，则应有－2－k≤3，∴－3≤k2.综上，所求的k的取值范围为－3≤k2.【能力提升】13．已知x1、x2是方程x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5＝0(k∈R)的两个实数根，则x21＋x22的最大值为()A．18B．19C.509D．不存在答案A解析由已知方程有两实数根得，Δ≥0，即(k－2)2－4(k2＋3k＋5)≥0.解得－4≤k≤－43，又x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝－(k＋5)2＋19，∴当k＝－4时，x21＋x22有最大值，最大值为18.14．已知不等式x2＋px＋12x＋p.(1)如果不等式当|p|≤2时恒成立，求x的取值范围；(2)如果不等式当2≤x≤4时恒成立，求p的取值范围．解(1)不等式化为(x－1)p＋x2－2x＋10，令f(p)＝(x－1)p＋x2－2x＋1，则f(p)的图象是一条直线．又∵|p|≤2，∴－2≤p≤2，于是得：f－20，f20.即x－1·－2＋x2－2x＋10，x－1·2＋x2－2x＋10.即x2－4x＋30，x2－10.∴x3或x－1.故x的取值范围是x3或x－1.(2)不等式可化为(x－1)p－x2＋2x－1，∵2≤x≤4，∴x－10.∴p－x2＋2x－1x－1＝1－x.由于不等式当2≤x≤4时恒成立，∴p(1－x)max.而2≤x≤4，∴(1－x)max＝－1，于是p－1.故p的取值范围是p－1.1．解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式(组)求解．若不等式含有等号时，分母不为零．2．对于有的恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因为将参数予以分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时，经常要用到下述简单结论：(1)af(x)恒成立⇔af(x)max；(2)af(x)恒成立⇔af(x)min.