高二数学人教A必修5练习第一章解三角形章末检测BWord版含解析

第一章章末检测(B)姓名：________班级：________学号：________得分：________(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．在△ABC中，a＝2，b＝3，c＝1，则最小角为()A.π12B.π6C.π4D.π32．△ABC的三内角A、B、C所对边的长分别是a、b、c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为()A.π6B.π3C.π2D.2π33.在△ABC中，已知|AB|＝4，|AC→|＝1，S△ABC＝3，则AB→·AC→等于()A．－2B．2C．±4D．±24．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c＝2，b＝6，B＝120°，则a等于()A.6B．2C.3D.25．在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则sinBsinC的值为()A.85B.58C.53D.356．已知锐角三角形的边长分别为2,4，x，则x的取值范围是()A．1x5B.5x13C．1x25D．23x257．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB等于()A．－223B.223C．－63D.638．下列判断中正确的是()A．△ABC中，a＝7，b＝14，A＝30°，有两解B．△ABC中，a＝30，b＝25，A＝150°，有一解C．△ABC中，a＝6，b＝9，A＝45°，有两解D．△ABC中，b＝9，c＝10，B＝60°，无解9．在△ABC中，B＝30°，AB＝3，AC＝1，则△ABC的面积是()A.34B.32C.3或32D.32或3410．在△ABC中，BC＝2，B＝π3，若△ABC的面积为32，则tanC为()A.3B．1C.33D.3211．在△ABC中，如果sinAsinB＋sinAcosB＋cosAsinB＋cosAcosB＝2，则△ABC是()A．等边三角形B．钝角三角形C．等腰直角三角形D．直角三角形12．△ABC中，若a4＋b4＋c4＝2c2(a2＋b2)，则角C的度数是()A．60°B．45°或135°C．120°D．30°题号123456789101112答案二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．在△ABC中，若sinAa＝cosBb，则B＝________.14．在△ABC中，A＝60°，AB＝5，BC＝7，则△ABC的面积为________．15．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔64海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为________海里/小时．16．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若(3b－c)cosA＝acosC，则cosA＝________.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)如图，H、G、B三点在同一条直线上，在G、H两点用测角仪器测得A的仰角分别为α，β，CD＝a，测角仪器的高是h，用a，h，α，β表示建筑物高度AB.18．(12分)设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a＝2bsinA.(1)求B的大小．(2)若a＝33，c＝5，求b.19．(12分)如图所示，已知⊙O的半径是1，点C在直径AB的延长线上，BC＝1，点P是⊙O上半圆上的一个动点，以PC为边作等边三角形PCD，且点D与圆心分别在PC的两侧．(1)若∠POB＝θ，试将四边形OPDC的面积y表示为关于θ的函数；(2)求四边形OPDC面积的最大值．20．(12分)为了测量两山顶M、N间的距离，飞机沿水平方向在A、B两点进行测量，A、B、M、N在同一个铅垂平面内(如示意图)．飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M、N间的距离的步骤．21．(12分)在△ABC中，内角A、B、C对边的边长分别是a、b、c.已知c＝2，C＝π3.(1)若△ABC的面积等于3，求a，b.(2)若sinB＝2sinA，求△ABC的面积．22．(12分)如图所示，扇形AOB，圆心角AOB等于60°，半径为2，在弧AB上有一动点P，过P引平行于OB的直线和OA交于点C，设∠AOP＝θ，求△POC面积的最大值及此时θ的值．第一章解三角形章末检测答案(B)1．B[∵abc，∴C最小．∵cosC＝a2＋b2－c22ab＝22＋32－122×2×3＝32，又∵0Cπ，∴C＝π6.]2．B[∵p∥q，∴(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0.∴c2＝a2＋b2－ab，∵c2＝a2＋b2－2abcosC，∴cosC＝12，又∵0Cπ，∴C＝π3.]∴|AB|·|AC→|·sinA＝12×4×1×sinA＝3.∴sinA＝32.又∵0°A180°，∴A＝60°或120°.AB·AC→＝|AB→|·|AC→|cosA＝4×1×cosA＝±2.]4．D[由正弦定理得bsinB＝csinC，∴sinC＝c·sinBb＝2sin120°6＝12，∵cb，∴C为锐角．∴C＝30°，∴A＝180°－120°－30°＝30°.∴a＝c＝2.]5．D[由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA，即72＝52＋AC2－10AC·cos120°，∴AC＝3.由正弦定理得sinBsinC＝ACAB＝35.]6．D[由题意，x应满足条件22＋42－x2022＋x2－420解得：23x25.]7．D[由正弦定理得15sin60°＝10sinB.∴sinB＝10·sin60°15＝33.∵ab，A＝60°，∴B60°.∴cosB＝1－sin2B＝1－332＝63.]8．B[A：a＝bsinA，有一解；B：A90°，ab，有一解；C：absinA，无解；D：cbcsinB，有两解．]9．D[由余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB，∴12＝(3)2＋BC2－2×3×BC×32.整理得：BC2－3BC＋2＝0.∴BC＝1或2.当BC＝1时，S△ABC＝12AB·BCsinB＝12×3×1×12＝34.当BC＝2时，S△ABC＝12AB·BCsinB＝12×3×2×12＝32.]10．C[由S△ABC＝12BC·BAsinB＝32得BA＝1，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB，∴AC＝3，∴△ABC为直角三角形，其中A为直角，∴tanC＝ABAC＝33.]11．C[由已知，得cos(A－B)＋sin(A＋B)＝2，又|cos(A－B)|≤1，|sin(A＋B)|≤1，故cos(A－B)＝1且sin(A＋B)＝1，即A＝B且A＋B＝90°，故选C.]12．B[由a4＋b4＋c4＝2c2a2＋2b2c2，得cos2C＝a2＋b2－c222ab2＝a4＋b4＋c4＋2a2b2－2c2a2－2b2c24a2b2＝12⇒cosC＝±22.∴角C为45°或135°.]13．45°解析由正弦定理，sinAa＝sinBb.∴sinBb＝cosBb.∴sinB＝cosB.∴B＝45°.14．103解析设AC＝x，则由余弦定理得：BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosA，∴49＝25＋x2－5x，∴x2－5x－24＝0.∴x＝8或x＝－3(舍去)．∴S△ABC＝12×5×8×sin60°＝103.15．86解析如图所示，在△PMN中，PMsin45°＝MNsin120°，∴MN＝64×32＝326，∴v＝MN4＝86(海里/小时)．16.33解析由(3b－c)cosA＝acosC，得(3b－c)·b2＋c2－a22bc＝a·a2＋b2－c22ab，即b2＋c2－a22bc＝33，由余弦定理得cosA＝33.17．解在△ACD中，∠DAC＝α－β，由正弦定理，得ACsinβ＝DCsinα－β，∴AC＝asinβsinα－β∴AB＝AE＋EB＝ACsinα＋h＝asinβsinαsinα－β＋h.18．解(1)∵a＝2bsinA，∴sinA＝2sinB·sinA，∴sinB＝12.∵0Bπ2，∴B＝30°.(2)∵a＝33，c＝5，B＝30°.由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB＝(33)2＋52－2×33×5×cos30°＝7.∴b＝7.19．解(1)在△POC中，由余弦定理，得PC2＝OP2＋OC2－2OP·OC·cosθ＝5－4cosθ，所以y＝S△OPC＋S△PCD＝12×1×2sinθ＋34×(5－4cosθ)＝2sinθ－π3＋534.(2)当θ－π3＝π2，即θ＝5π6时，ymax＝2＋534.答四边形OPDC面积的最大值为2＋534.20．解①需要测量的数据有：A点到M、N点的俯角α1、β1；B点到M、N点的俯角α2、β2；A、B的距离d(如图所示)．②第一步：计算AM，由正弦定理AM＝dsinα2sinα1＋α2；第二步：计算AN.由正弦定理AN＝dsinβ2sinβ2－β1；第三步：计算MN，由余弦定理MN＝AM2＋AN2－2AM×ANcosα1－β1.21．解(1)由余弦定理及已知条件得a2＋b2－ab＝4.又因为△ABC的面积等于3，所以12absinC＝3，由此得ab＝4.联立方程组a2＋b2－ab＝4，ab＝4，解得a＝2，b＝2.(2)由正弦定理及已知条件得b＝2a.联立方程组a2＋b2－ab＝4，b＝2a，解得a＝233，b＝433.所以△ABC的面积S＝12absinC＝233.22．解∵CP∥OB，∴∠CPO＝∠POB＝60°－θ，∠OCP＝120°.在△POC中，由正弦定理得OPsin∠PCO＝CPsinθ，∴2sin120°＝CPsinθ，∴CP＝43sinθ.又OCsin60°－θ＝2sin120°，∴OC＝43sin(60°－θ)．因此△POC的面积为S(θ)＝12CP·OCsin120°＝12·43sinθ·43sin(60°－θ)×32＝43sinθsin(60°－θ)＝43sinθ32cosθ－12sinθ＝2sinθ·cosθ－23sin2θ＝sin2θ＋33cos2θ－33＝233sin2θ＋π6－33∴θ＝π6时，S(θ)取得最大值为33.