高二数学人教选修12同步练习222反证法Word版含解析

2.2.2反证法一、基础过关1．反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是()①与已知条件矛盾②与假设矛盾③与定义、公理、定理矛盾④与事实矛盾A．①②B．①③C．①③④D．①②③④2．否定：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为()A．a，b，c都是偶数B．a，b，c都是奇数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数3．有下列叙述：①“ab”的反面是“ab”；②“x＝y”的反面是“xy或xy”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”．其中正确的叙述有()A．0个B．1个C．2个D．3个4．用反证法证明命题：“a、b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为()A．a，b都能被5整除B．a，b都不能被5整除C．a，b不都能被5整除D．a不能被5整除5．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有有理根，那么a，b，c中存在偶数”时，否定结论应为()A．a，b，c都是偶数B．a，b，c都不是偶数C．a，b，c中至多一个是偶数D．至多有两个偶数6．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是___________________________．7．用反证法证明命题“若a2＋b2＝0，则a，b全为0(a、b为实数)”，其反设为__________________．二、能力提升8．已知x10，x1≠1且xn＋1＝xn·x2n＋33x2n＋1(n＝1,2，…)，试证：“数列{xn}对任意的正整数n都满足xnxn＋1”，当此题用反证法否定结论时应为()A．对任意的正整数n，有xn＝xn＋1B．存在正整数n，使xn＝xn＋1C．存在正整数n，使xn≥xn＋1D．存在正整数n，使xn≤xn＋19．设a，b，c都是正数，则三个数a＋1b，b＋1c，c＋1a()A．都大于2B．至少有一个大于2C．至少有一个不小于2D．至少有一个不大于210．若下列两个方程x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是________．11．已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数．12．已知a，b，c∈(0,1)，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不可能都大于14.三、探究与拓展13．已知函数f(x)＝ax＋x－2x＋1(a1)，用反证法证明方程f(x)＝0没有负数根．答案1．D2．D3．B4．B5．B6．存在一个三角形，其外角最多有一个钝角7．a，b不全为08．D9．C10．a≤－2或a≥－111．证明假设a，b，c，d都是非负数，因为a＋b＝c＋d＝1，所以(a＋b)(c＋d)＝1，又(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd1，这与上式相矛盾，所以a，b，c，d中至少有一个是负数．12．证明假设三个式子同时大于14，即(1－a)b14，(1－b)c14，(1－c)a14，三式相乘得(1－a)a·(1－b)b·(1－c)c143，①又因为0a1，所以0a(1－a)≤(a＋1－a2)2＝14.同理0b(1－b)≤14，0c(1－c)≤14，所以(1－a)a·(1－b)b·(1－c)c≤143②①与②矛盾，所以假设不成立，故原命题成立．13．证明假设方程f(x)＝0有负数根，设为x0(x0≠－1)．则有x00，且f(x0)＝0.∴ax0＋x0－2x0＋1＝0⇔ax0＝－x0－2x0＋1.∵a1，∴0ax01，∴0－x0－2x0＋11.解上述不等式，得12x02.这与假设x00矛盾．故方程f(x)＝0没有负数根．