不等式选讲知识点归纳及近年高考真题

不等式选讲知识点归纳及近年高考真题考点一：含绝对值不等式的解法例1．(2011年高考辽宁卷理科24)已知函数f（x）=|x-2|-|x-5|.（I）证明：-3≤f（x）≤3；（II）求不等式f（x）≥x2-8x+15的解集.解：（I）3,2,()|2||5|27,25,3,5.xfxxxxxx当25,3273.xx时所以3()3.fx（II）由（I）可知，当22,()815xfxxx时的解集为空集；当225,()815{|535}xfxxxxx时的解集为；当25,()815{|56}xfxxxxx时的解集为.综上，不等式2()815{|536}.fxxxxx的解集为变式练习：1.(2011年高考山东卷理科4)不等式|5||3|10xx的解集为（A）[-5.7]（B）[-4,6]（C）(,5][7,)（D）(,4][6,)【答案】D2.若存在实数x使|||1|3xax成立，则实数a的取值范围是．【答案】42a【解析】|||1|3xax表示在数轴上，a到1的距离小于等于3，即31a，则42a1.已知集合1|349,|4,(0,)AxRxxBxRxttt，则集合AB=________.【答案】52|xRx3.(2011年高考广东卷理科9)不等式130xx的解集是______.【解析】}1|{xx。由题得1)3()1(|3||1|22xxxxx所以不等式的解集为}1|{xx。4．若关于x的不等式12axx存在实数解，则实数a的取值范围是【答案】(,3][3,)【解析】：因为12|12|3xxxx所以12axx存在实数解，有3a3a或3a5.(2011年高考江苏卷21)解不等式：|21|3xx原不等式等价于：43213,23xxxx，解集为4(2,)36.(2011年高考全国新课标卷理科24)设函数0,3)(axaxxf（1）当1a时，求不等式23)(xxf的解集；(2)如果不等式0)(xf的解集为1xx，求a的值。解：（Ⅰ）当1a时，不等式23)(xxf，可化为，21x3,1xx，所以不等式23)(xxf的解集为3,1xxx或（Ⅱ）因为0)(xf，所以，03xax，可化为，0303xxaaxxaxax或即24axaxaxax或因为，0a所以，该不等式的解集是2axx，再由题设条件得2,12aa7．（2010年高考福建卷理科21）已知函数。（Ⅰ）若不等式的解集为，求实数的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。【解析】（Ⅰ）由得，解得，又已知不等式的解集为，所以，解得。（Ⅱ）当时，，设，于是=，所以当时，；当时，；当时，。考点二：不等式的证明与柯西不等式例：已知实数x，y满足：11|||2|36xyxy，，求证：5||18y．【答案】证明：∵3||=|3|=|22|22yyxyxyxyxy，由题设11|||2|36xyxy，，∴1153||=366y。∴5||18y。变式练习：1辽宁24.已知=+1fxaxaR，不等式3fx的解集为-21xx（1）求a的值（2）若-22xfxfk恒成立，求k的取值范围【解析】（1）由+13ax得-42ax，又3fx的解集为-21xx，所以当0a时，不合题意当0a时，42-xaa，得=2a（2）记=-22xhxfxf，则1,-11=-4-3,-1-21-1,-2xhxxxx，所以1hx，因此1k2．设不等式11-x2＜的解集为M．（I）求集合M；（II）若a，b∈M，试比较ab+1与a+b的大小．解：（I）由|21|11211,01.xxx得解得所以{|01}.Mxx（II）由（I）和,abM可知0a1,0b1，所以(1)()(1)(1)0.ababab故1.abab练习：3．已知函数|1||2|)(xxxf．（1）求证：3)(3xf；（2）解不等式xxxf2)(2.解：（1）)2(3)21(12)1(3)(xxxxxf，又当21x时，3123x，∴3)(3xf（2）当1x时，121322—xxxx；当21x时，11111222xxxxx；当2x时，xxx322；综合上述，不等式的解集为：1,14．设函数f(x)=|2x-1|+|2x-3|,x∈R(Ⅰ)解不等式f(x)≤5；(Ⅱ)若mxfxg)(1)(的定义域为R，求实数m的取值范围.5．设函数()|2|4.fxxmx（I）当m=2时，解不等式：()fx≤1；（Ⅱ）若不等式()2fx的解集为{xlx≤—2}，求m的值。