111正弦定理1

一、复习引入1、三个角的关系：2、三条边的关系：3、边与角的关系：ABC大边对大角，小边对小角ABC任意两边和(差)大于(小于)第三边三角形中的边角关系sinaAsinbBsincCbcac已知在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c,，是否成立?初中学过锐角三角函数定义:sinA=sinB=∠C=90°,BCAcba那么，在任意三角形中，这一关系式是否成立呢？sinsinabcAB1sinCsinsinsinabcABC当△ABC是锐角三角形时,sinsinsinabcABC在任思考：意三角形中，是否成立？ABCacbD设边AB上的高是CD,根据三角函数的定义,sinCDaB，sinCDbA得到BbAasinsin同理,在△ABC中,CcBbsinsin当△ABC是钝角三角形时，以上等式仍然成立吗?.sinsinsinabcABC在锐角三角形中，等式成立当△ABC是钝角三角形时,以上等式仍然成立吗?ABCabcD过点C作CD⊥AB,AbCDsin则BasinBbAasinsinE过点A作AE⊥BC,BcAEsin则)sin(CbCcBbsinsinCbsin.sinsinsin也成立在钝角三角形中，等式CcBbAa这就是说，对于锐角三角形、直角三角形、钝角三角形来说，上面的关系式均成立.因此.我们得到下面的定理.正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即.sinsinsinabcABC①正弦定理的叙述适合于任何三角形②也可以利用三角形的面积证明。2.sinsinsinabcRABC（R为△ABC外接圆半径）③可以证明ABCacb111222sinsinsinSacBabCbcA二、基础知识讲解.2sinsinsin1RCcBbAa：形式,sinsin2BbAa：形式,sinsinCcBb.sinsinCcAa,sin23ARa：形式,sin2BRbCRcsin2正弦定理二、基础知识讲解一般地，把三角形的三个角A,B,C和它的对边a,b,c叫做三角形的元素,已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形..2sinsinsin1RCcBbAa：形式,sinsin2BbAa：形式,sinsinCcBb.sinsinCcAa,sin23ARa：形式,sin2BRbCRcsin2问题：由形式2可以得到，正弦定理可以解什么类型的三角形问题?类型1:已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角类型2:已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角。每个等式可视为一个方程：知三求一正弦定理二、基础知识讲解类型1:已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角3208184291...ABCABacm在中例、，已知，，，解三角形。根据三角形解：内角和定理，429818801320sin.sin..()sinsin.aBbcmA根据正弦定理，)(1.740.32sin2.66sin9.42sinsincmACac根据正弦定理，练习：P51(1)三、正弦定理的应用举例180180320818662()(..).CAB先确定第三个角，再用正弦定理确定剩下的两边例2、在△ABC中，已知a=20cm，b=28cm，A=40，解三角形(角度精确到1°，边长精确到1cm)。类型2:已知两边和其中一边的对角，求三角形其他的边和角116,64,1800BBB或所以因为164180180406476()()(),BCAB当时，21161801804011624()()(),BCAB当时，这两个角是否都符合要求呢?28400899920sinsinsin..bABa根据正弦定理，4090Aab解且：，AB练习:P52(1)20763040sinsin().sinsinaCccmA20241340sinsin().sinsinaCccmA可先求另一边的对角，再确定剩下的边和角四、课时小结正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即.sinsinsinabcABCABCacb作业：课本P10A组1(1)、2(2)2()sinsinsinabcRRABCABC在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即为外接圆半径.OACBabc在△ABC中,已知BC=a,AC=b,AB=c.作△ABC的外接圆，O为圆心，连接BO并延长交圆于B’，B’设BB’=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对圆周角相等可以得到:,90'BAB'CB，RcBC2'sinsin2sincRC，RBbRAa2sin,2sin同理可得.2sinsinsin成立等式RCcBbAa