112余弦定理1

课前练习1、在△ABC中，已知2,1,45bcB，求a，A，C。解：∵由正弦定理可得21sin12sin22cBCb又∵cb∴C是锐角30C1804530105A故622sin624sin222bAaB先确定角的范围再确定角具体数值23ABCbaBAA课前练习2、在△中，若，，求角.解：∵b=2a∴2RsinB=4RsinA，即sinB=2sinA3BA又sin()2sin3AA13sincos2sin22AAA即3tan3A整理得06AAABCc=？ab探究：如图，在△ABC中，BC=a，AC=b，边BC与AC的夹角为C，试求AB边的长c.22||||ABCBCA22||||2||||cosCBCACBCAC2222coscababC222CBCACBCA思路2：依条件可知，||,||,CBaCAbABCBCA222coscababC2222coscababCABCc=？ab2222222cos2cosabcbcAbacacB同理可得三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即余弦定理：2222222222cos2cos2cosabcbcAbacacBcababC用法：知两边及其夹角求三角形的第三条边.222222222cos2cos2cos2bcaAbcacbBacabcCab用法：知三边求三角形的三个角.例1：在△ABC中，已知b=60cm，c=34cm，A=41o，解该三角形（角度精确到1°，边长精确到1cm）.解：∵a²=b²+c²-2bccosA=60²+34²-2×60×34×cos41o≈1676.82∴a≈41(cm)故由正弦定理可得.5440.041656.0344141sin34sinsinaAcC∵ca，故C是锐角∴利用计算器可求得C≈33°∴B=180o-(A+C)=180o-(41o+33o)=106°例2，在△ABC中，已知a=134.6cm，b=87.8cm，c=161.7cm，解三角形（角度精确到1′）。解：22222287.8161.7134.6cos0.55432287.8161.7bcaAbc∴A≈56°20′222222134.6161.787.8cos0.839822134.6161.7cabBca∴B≈32°53′'''180()180(56203253)9047CAB利用余弦定理，可以解决以下两类解三角形的问题：（1）已知两边及其夹角，求其它的边和角；（2）已知三边，求三个角.练习：在△ABC中（1）已知a=，c=2，B=150o，求b；（2）已知a=2，b=，c=，求A.33231745o已知在△ABC中，a=8，b=7，B=60o，求c.解：由余弦定理得2222cosbacacB222782860coscc28150cc整理得35cc解得或比较练习：已知在△ABC中，a=1，b=，B=60o，求c.7c=3解三角形问题的四种基本类型：（1）知两角及一边：求法：先求第三角，再用正弦定理求另外两边.（2）知两边及其中一边的对角：求法：①先用正弦定理求剩下两角，再求第三边；②先用余弦定理求第三边，再求剩下两角.（3）知两边及其夹角：求法：先用余弦定理求第三边，再求剩下两角.（4）知三边：求法：用余弦定理求三个角.需要判断解的个数ABCDABCD作业：△ABC中，D在边BC上，且BD＝2，DC＝1，∠B＝60o，∠ADC＝150o，求AC的长。思考：已知在△ABC中，a=8，b=7，B=60o，求c.（要求：不用计算器）ABCDABCD作业：△ABC中，D在边BC上，且BD＝2，DC＝1，∠B＝60o，∠ADC＝150o，求AC的长。解：∵∠B＝60o，∠ADC＝150o∴∠BDA＝30o，∠BAD＝90o，∵BD＝2∴AB=2sin30o=1，AD=2sin60o=3222cosACADDCADDCADC31231cos1507解题小结：在解三角形时，需由已知条件的不同，合理选用正、余弦定理求解，一般应注意以下四种情况：（1）知两角及一边：（2）知两边及其中一边的对角：（3）知两边及其夹角：（4）知三边：特别地，第二种情况还需知道如何判断解的个数.