人教版高中数学必修5课件第2章数列21第2课时

数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升第2课时数列的性质和递推关系数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升自主学习新知突破数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．了解递推公式是给出数列的一种方法．2．理解递推公式的含义，能够根据递推公式写出数列的前几项．3．掌握由一些简单的递推公式求数列的通项公式的方法．数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升某剧场有30排座位，第一排有20个座位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位(如图)．数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升[问题1]写出前五排座位数．[提示]20,22,24,26,28.[问题2]第n排与第n＋1排座位数有何关系？[提示]第n＋1排比第n排多2个座位．[问题3]第n排座位数an与第n＋1排座位数an＋1能用等式表示吗？[提示]能．an＋1＝an＋2.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)(n≥2，n∈N*)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．数列的递推公式数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升数列通项公式和递推公式各有什么作用？(1)数列的通项公式是给出数列的主要形式，如果已知数列{an}的通项公式an＝f(n)，可求出数列中的各项与指定项，还可以根据函数的性质，进一步探讨数列的增减性，数列中项的最大值或最小值．(2)数列的递推公式是给出数列的另一重要形式．一般地，只要给出数列的首项或前几项以及数列的相邻两项或几项之间的运算关系，就可以依次求出数列的各项．数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升拓展：通项公式与递推公式的关系示意图数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是()A．an＋1＝an＋n，n∈N*B．an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2C．an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N*，n≥2D．an＝an－1＋(n－1)，n∈N*，n≥2解析：a2＝a1＋2，a3＝a2＋3，a4＝a3＋4，a5＝a4＋5，….∴an＝an－1＋n(n≥2)．答案：B数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．已知数列{an}中，an＋1－an－3＝0，则数列{an}是()A．递增数列B．递减数列C．摆动数列D．常数列解析：an＋1＝an＋3an(n∈N*)，∴数列为递增数列．答案：A数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升3．数列{an}的通项公式为an＝n2－6n，则它的最小项的值是________．解析：∵an＝n2－6n＝(n－3)2－9，∴当n＝3时，an有最小值－9.答案：－9数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升4．设数列满足a1＝1，an＝2＋1an－1(n1)，试写出这个数列的前4项．解析：∵a1＝1，∴an＝2＋1an－1(n1)，∴a2＝2＋1a1＝3，a3＝2＋1a2＝2＋13＝73，∴a4＝2＋1a3＝2＋37＝177.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升合作探究课堂互动数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升由递推公式写数列的项并求通项公式已知数列{an}，a1＝2，an＋1＝2an，写出数列的前4项，猜想an，并加以证明．[思路点拨]由递推公式写出前4项―→猜想an―→探寻an与an＋1的关系―→结论得证数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升[边听边记]由a1＝2，an＋1＝2an，得a2＝2a1＝4＝22，a3＝2a2＝2·22＝23，a4＝2a3＝2·23＝24.猜想an＝2n(n∈N*)．证明如下：由a1＝2，an＋1＝2an，数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升得anan－1＝an－1an－2＝…＝a3a2＝a2a1＝2(n≥2)．∴an＝anan－1·an－1an－2·…·a3a2·a2a1·a1＝2·2·…·2·2＝2n.又当n＝1时，a1＝21＝2成立，∴an＝2n(n∈N*)．数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(1)根据递推公式写出数列的前几项，这类问题要弄清公式中各部分的关系，依次代入计算．(2)由形如an＝f(n)·an－1(n≥2)的数列的递推公式求通项公式时，通常用累乘法或迭代法，形成函数的运动变化的观点，不断地变换递推公式中的“下标”，直到可以利用首项或前几项是解题的关键．数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，以后各项由an＝an－1＋an－2(n≥3)给出．(1)写出此数列的前5项；(2)通过公式bn＝anan＋1构造一个新的数列{bn}，写出数列{bn}的前4项．数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：(1)∵an＝an－1＋an－2(n≥3)，且a1＝1，a2＝2，∴a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝3＋2＝5，a5＝a4＋a3＝5＋3＝8.故数列{an}的前5项依次为a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(2)∵bn＝anan＋1，且a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8，∴b1＝a1a2＝12，b2＝a2a3＝23，b3＝a3a4＝35，b4＝a4a5＝58.故b1＝12，b2＝23，b3＝35，b4＝58.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升已知数列{an}的通项公式为an＝nn2＋1，写出它的前5项，并判断该数列的单调性．数列的单调性问题[思路点拨]用序号代替通项公式中的n，就可求出相应的项，比较an＋1与an的大小来判断数列的单调性．数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：对于公式an＝nn2＋1，依次取n＝1,2,3,4,5，得到数列的前5项为a1＝12，a2＝25，a3＝310，a4＝417，a5＝526.而an＋1－an＝n＋1n＋12＋1－nn2＋1＝1－n2－n[n＋12＋1]n2＋1.因为n∈N*，所以1－n2－n0，所以an＋1－an0，即an＋1an.故该数列为递减数列．数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升单调性是数列的一个重要性质．判断数列的单调性，通常是运用作差或作商的方法判断an＋1与an(n∈N*)的大小，若an＋1an恒成立，则{an}为递增数列；若an＋1an恒成立，则{an}为递减数列．用作差法判断数列增减性的步骤为：①作差；②变形；③定号；④结论．数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．判断数列n3n＋1的增减性．解析：∵an＝n3n＋1，∴an＋1＝n＋13n＋1＋1＝n＋13n＋4.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升方法一：an＋1－an＝n＋13n＋4－n3n＋1＝n＋13n＋1－n3n＋43n＋43n＋1＝13n＋43n＋1，∵n∈N*，∴an＋1－an0，即an＋1an，∴数列n3n＋1为递增数列．数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升方法二：∵n∈N*，∴an0，∵an＋1an＝n＋13n＋4n3n＋1＝n＋13n＋13n＋4n＝3n2＋4n＋13n2＋4n＝1＋13n2＋4n1，∴an＋1an，∴数列n3n＋1为递增数列．数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升方法三：令f(x)＝x3x＋1(x≥1)，则f(x)＝133x＋1－13x＋1＝131－13x＋1，∴函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数，∴数列n3n＋1是递增数列．数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升数列的最大项、最小项问题已知数列{an}的通项公式是an＝(n＋1)1011n，试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由．[思路点拨]数列{an}的通项――→对任意n∈N*计算an＋1－an――→判断正、负确定增减性――→根据单调性求解最大、小项数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升[规范解答]方法一：∵an＋1－an＝(n＋2)1011n＋1－(n＋1)1011n＝1011n×9－n11，4分当n9时，an＋1－an0，即an＋1an；6分当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；8分当n9时，an＋1－an0，即an＋1an.∴a1a2a3…a9＝a10a11a12…，10分∴该数列有最大项，为第9,10项，且a9＝a10＝10×10119.12分数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升方法二：根据题意，令an－1≤anan≥an＋12分即n×1011n－1≤n＋11011nn＋11011n≥n＋21011n＋1，4分解得9≤n≤10.6分又n∈N*，∴n＝9或n＝10.10分∴该数列有最大项，为第9,10项，且a9＝a10＝10×10119.12分数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(1)由于数列是特殊函数，因此可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等；此时要注意数列的定义域为正整数集(或其子集)这一条件．(2)可以利用不等式组an－1≤an，an≥an＋1，找到数列的最大项；利用不等式组an－1≥an，an≤an＋1，找到数列的最小项．数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升3．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4.(1)数列中有多少项是负数？(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值．解析：(1)由n2－5n＋40，解得1n4.∵n∈N*，∴n＝2,3.∴数列中有两项是负数．数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(2)方法一：∵an＝n2－5n＋4＝n－522－94，可知对称轴方程为n＝52＝2.5.又因n∈N*，故n＝2或3时，an有最小值，其最小值为22－5×2＋4＝－2.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升方法二：设第n项最小，由an≤an＋1，an≤an－1，得n2－5n＋4≤n＋12－5n＋1＋4，n2－5n＋4≤n－12－5n－1＋4.解这个不等式组得2≤n≤3，∴n＝2,3，∴a2＝a3且最小，∴a2＝a3＝22－5×2＋4＝－2.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升◎设数列{an}的通项公式为an＝n2＋λn，且{an}满足a1a2a3…anan＋1…，则实数λ的取值范围是________．【错解】由an＝n2＋λn＝n＋λ22－λ24，利用二次函数的图象易知图象的对称轴为n＝－λ