人教版高中数学必修五同课异构课件12应用举例121探究导学课型

1.2应用举例第1课时解三角形的实际应用举例——距离问题一、测量两点间的距离问题探究1：结合图①探究下面的问题(1)A，B两点之间不可到达，在点A的一侧，需要测出哪些量，可以求A，B两点的距离？提示：测量者在点A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离，∠BAC的大小，∠ACB的大小三个量.(2)根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较恰当？提示：根据测量出的两个角一个边，然后根据三角形的内角和定理很容易通过两个已知角算出边AC的对角，再应用正弦定理算出边AB.因此运用正弦定理比较恰当.探究2：结合图②探究下面的问题(1)A，B两点都在河的对岸，不可到达，结合图象，需要测出哪些量，可以求出A，B两点间的距离？提示：结合图象，需要测出CD的长，∠BCD的大小，∠BDC的大小，就可以计算出BC的长，同理可以计算出AC的长，再算出AB的长.故只需测量出图中CD的长，角α，β，γ，δ的大小.(2)分析求解过程中主要利用了哪些定理？提示：主要应用了正弦定理和余弦定理.【探究总结】对测量不可到达两种距离的说明(1)测量从一个可到达点到一个不可到达点之间的距离问题，一般可转化为已知两个角和一条边解三角形的问题，从而得到运用正弦定理去解决的方法.(2)测量两个不可到达点之间的距离问题，一般是把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长的问题，然后把求未知的另外边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题，然后运用正弦定理解决.二、航行中的距离问题探究1：根据方向角的含义完成下列填空，明确方向角的表示方法(1)如图所示，图①的m°角描述为.①(2)如图②的n°角描述为.②答案：(1)北偏西m°(2)南偏东n°探究2：根据方位角的定义完成下面的填空，明确方位角的表示方法如图图③的方位角为；图④的方位角为.答案：130°200°【探究总结】对方向角、方位角的两点说明(1)方向角指的是四正(正北、正南、正东、正西)方向线与目标方向线所成角；方位角指的是从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角.(2)表示方向的角除方位角外，也可用一些通俗的说法，如方位角120°也可以说成“南偏东60°”，方位角270°也可称“正西方向”，方位角45°也可称“东北方向”等.【拓展延伸】解三角形应用题的两种情况(1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之.(2)已知量与未知量涉及两个或多个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解.类型一测量从一个可到达点到一个不可到达的点之间的距离1.(2014·四川高考)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于()A.240(-1)mB.180(-1)mC.120(-1)mD.30(+1)m23332.如图，为了测量河的宽度，在岸边选定两点A，B，望对岸岸边的标记物C，测得∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120m，则河的宽度是m.【解题指南】1.先求AC，再由正弦定理求BC即可.2.利用三角形内角和定理，三角形为等腰三角形，求出一边再求河宽.【自主解答】1.选C.设气球的高度为AD，交CB延长线于点D，在Rt△ACD中，AC=120m，在△ABC中，由正弦定理知，BC=·sin∠BAC=·sin45°==120(-1)(m).ACsinABC120sin105602sin(6045)32.作CD⊥AB，垂足为D.因为∠ACB=180°-30°-75°=75°=∠ABC，所以AB=AC=120m，因为∠CAD=30°，所以在Rt△CDA中，CD=ACsin30°=120×sin30°=60(m).答案：60【规律总结】测量从一个可到达点到一个不可到达的点之间距离的技巧如图所示，A可到达，B不可到达，欲求AB，可在A的同侧选一点C，测出AC的长及∠BAC与∠ACB的大小，然后用正弦定理求解.【变式训练】如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°，求A，B两点的距离.【解析】由三角形内角和定理知∠B=180°-∠C-∠A=180°-45°-105°=30°，在△ABC中，由正弦定理得故AB=ABACsinCsinB，ACsinC50sin45502m.sinBsin30类型二测量两个不可到达的点之间的距离1.如图，CD是京九铁路线上的一条穿山隧道，开凿前，在CD所在水平面上的山体外取点A，B，并测得四边形ABCD中，∠ABC=∠BAD=AB=BC=400米，AD=250米，则应开凿的隧道CD的长为米.3，23，2.如图，隔河看两目标A，B，但不能到达，在岸边选取相距km的C，D两点，并测得∠ACB=75°，∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°(A，B，C，D在同一平面内)，求两目标A，B之间的距离.3【解题指南】1.测量两个不可到达的点之间的距离，一般是把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长问题求解.2.要求出A，B之间的距离，可以在△ABC(或△ADB)中去找关系，求出有关量的值，然后解三角形可得.【自主解答】1.在△ABC中，AB=BC=400米，∠ABC=所以△ABC为等边三角形，∠BAC=又∠BAD=故∠CAD=所以在△ACD中，由余弦定理得，CD2=AC2+AD2-2AC·ADcos∠CAD=4002+2502-2×400×250×cos=122500，所以CD=350(米).答案：3503，3，23，3，32.在△ACD中，因为∠ADC=30°，∠ACD=120°，所以∠CAD=30°.所以AC=CD=km.在△BDC中，∠CBD=180°-45°-75°=60°，由正弦定理，可得BC=由余弦定理，可得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠BCA，所以AB2=所以AB=(km).故两目标A，B间的距离为km.33sin7562.sin6022262623()23()cos755.2255【规律总结】1.测量不可到达的两点之间距离的技巧首先把求不可到达的两点A，B之间的距离转化为利用正、余弦定理求三角形的边长问题，之后再转化成一个可到达点到另一个不可到达点的距离的问题.2.测量不可到达的两点之间的距离问题的关键(1)选取的基线既易于测量，又简单恰当.(2)要根据实际需要选取合适的基线长度，测量工具要有较高的精确度.【拓展延伸】解决有关距离问题的思路解决有关距离问题的方法是建立数学模型，即构造三角形，转化为解三角形问题.通常是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形得到所求的量，从而得到实际问题的解.解题时应认真审题，结合图形去选择定理，使解题过程简捷.【变式训练】某地出土一块类似三角形刀状的古代玉佩(如图)，其一角已破损，现测得如下数据：BC=2.57cm，CE=3.57cm，BD=4.38cm，B=45°，C=120°.为了复原，请计算原玉佩两边的长(结果精确到0.01cm).【解析】将BD，CE分别延长相交于一点A，在△ABC中，BC=2.57cm，B=45°，C=120°，A=180°-(B+C)=180°-(45°+120°)=15°.因为所以AC=利用计算器算得AC≈7.02cm.同理，AB≈8.60cm.故原玉佩两边的长分别约为7.02cm、8.60cm.BCACsinAsinB，BCsinB2.57sin45.sinAsin15类型三航行中的距离问题1.一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4h后，船到B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为km.2.如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3+)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点至少需要多长时间？33【解题指南】1.由题意画出示意图，然后利用正弦定理即可求出船与灯塔的距离.2.(1)已知速度，要求时间，只要求出路程，即CD的长即可.(2)观察CD所在的三角形，有△ADC和△BDC，确定用△BDC来求CD.(3)在△BDC中，找出已知量，确定是用正弦定理还是用余弦定理求解.【自主解答】1.如图所示，依题意有AB=15×4=60，∠MAB=30°，∠AMB=45°，在△AMB中，由正弦定理得解得BM=(km).答案：60BMsin45sin30，3023022.由题意知AB=5(3+)海里，因为∠DAB=90°-45°=45°，∠DBA=90°-60°=30°，所以∠ADB=180°-(45°+30°)=105°，在△ADB中，由正弦定理得所以DB==(海里)，3DBABsinDABsinADB，ABsinDABsinADB533sin45533sin45sin105sin45cos60cos45sin602533533121032631442又因为∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+(90°-60°)=60°，BC=海里，所以在△DBC中，由余弦定理得CD2=BD2+BC2-2BD·BCcos∠DBC=300+1200-2×=900，所以CD=30(海里)，所以需要的时间t==1(小时)，即救援船到达D点至少需要1小时.203110320323030【延伸探究】题2中若不知救援船的速度，其他条件不变，要求救援船必须在40分钟内到达，则救援船的最小速度为多少？【解析】设救援船的速度为v海里/小时，由题2解析可求得CD=30海里，由得v≥45.即救援船的最小速度为45海里/小时.3040v60【规律总结】1.航行问题的解题技巧(1)在航行等问题中，通常是把方位角(方向角)与几何图形结合起来，求出几何图形的有关角.(2)几何图形的应用是解答实际问题的重要辅助手段，一是从图形的完整性方面画出图形；二是把多边形向三角形转化.2.解斜三角形应用题的一般步骤(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图.(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型.(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解.(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.【变式训练】如图，货轮在海上以40km/h的速度由B向C航行，航行的方位角∠NBC=140°，A处有灯塔，方位角∠NBA=110°.在C处观察灯塔A的方位角∠N′CA=35°，由B到C需要航行半小时，则C到灯塔A的距离是()A.106kmB.102kmC.1062kmD.1062km【解析】选C.在△ABC中根据题意可得，∠ABC=30°，∠ACB=75°，∠BAC=75°，BC=20km，根据正弦定理得，所以AC=·sin∠ABC=·sin30°.=(km)，故选C.BCACsinBACsinABC，BCsinBAC20sin7510(62)