人教版高中数学必修五同课异构课件21数列的概念与简单表示法211精讲优练课型

第二章数列2.1数列的概念与简单表示法第1课时数列的概念与简单表示法【知识提炼】1.数列的概念(1)数列：按照一定_____排列的一列数称为数列.(2)项：数列中的_________叫做这个数列的项，第1项通常也叫做_____，排在第n位的数称作这个数列的_______，记作__.顺序每一个数首项第n项an(3)表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}.2.数列的分类分类标准名称含义按项的个数有穷数列项数_____的数列无穷数列项数_____的数列有限无限分类标准名称含义按项的变化趋势递增数列从第__项起，每一项都_____它的前一项的数列递减数列从第__项起，每一项都_____它的前一项的数列常数列_________的数列摆动数列从第__项起，有些项_____它的前一项，有些项_____它的前一项的数列2大于2小于各项相等大于小于23.数列的通项公式如果数列{an}的第n项与_____n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做数列的通项公式.序号【即时小测】1.思考下列问题(1)所有自然数能构成数列吗？提示：能.如将所有自然数按从小到大的顺序排列.(2)同一个数在数列中能重复出现？提示：能.数列中的数可以重复出现.2.把五个自然数：①排成1，2，3，4，5；②排成5，4，3，2，1；③排成3，1，4，2，5；④排成2，3，1，4，5，那么可以叫做数列的个数为()A.1B.2C.3D.4【解析】选D.按照数列定义得出四种形式均为数列.3.已知数列…，根据前三项给出的规律，则实数对(a，b)可能是()A.(19，3)B.(19，-3)C.()D.()3579ab246ab10，，，，，19322，19322，【解析】选C.由前三项可知，该数列的通项公式可能为an=.所以即2n12nab8ab11，19a23b.24.已知数列的通项公式为an=n2-8n+15，则3()A.不是数列{an}中的项B.只是数列{an}中的第2项C.只是数列{an}中的第6项D.是数列{an}中的第2项或第6项【解析】选D.令an=3，即n2-8n+15=3，解得n=2或6，故3是数列{an}中的第2项或第6项.5.若数列{an}的通项公式是an=3-2n，则=_____.【解析】因为an=3-2n，所以答案：23aa2233a321.a32515【知识探究】知识点1数列的概念观察如图所示内容，回答下列问题：问题1：数列定义中的关键词是什么？问题2：数列中an和{an}是否相同？【总结提升】对数列概念的三点说明(1)数列的定义中要把握两个关键词：“一定顺序”与“一列数”.也就是说构成数列的元素是“数”，并且这些数是按照“一定顺序”排列着的，即确定的数在确定的位置.(2)项an与序号n是不同的，数列的项是这个数列中的一个确定的数，而序号是指项在数列中的位次.(3){an}与an是不同概念：{an}表示数列a1，a2，a3，…，an，…；而an表示数列{an}中的第n项.知识点2数列的通项公式观察如图所示内容，回答下列问题：问题1：在上面的数列中，你能表示项an与项的序号n之间的关系吗？问题2：任何数列都有通项公式吗？【总结提升】对数列的通项公式的四点说明(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集为定义域的函数表达式，即an=f(n).(2)已知数列的通项公式，依次用1，2，3…去替代公式中的n，就可以求出这个数列的各项；同时利用通项公式也可以判断某数是不是某数列中的项，是第几项.(3)同函数的关系式一样，并不是所有的数列都有通项公式.如精确到1，0.1，0.01，…的不足近似值排成数列就不能用通项公式表示.(4)有的数列的通项公式在形式上不一定是唯一的.如摆动数列：-1，1，-1，1，-1，1，…，通项公式可以写成an=(-1)n，也可以写成an=1n1n.，为奇数，，为偶数【题型探究】类型一数列的概念及分类【典例】1.下列说法正确的是()A.数列1，2，3，5，7可表示为{1，2，3，5，7}B.数列1，0，-1，-2与数列-2，-1，0，1是相同的数列C.数列的第k项是1+D.数列0，2，4，6，8，…可记为{2n}n1{}n1k2.下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是()111A12343Bsin0sinsinsinsin222111C1248D12319．，，，，．，，，，，．，，，，．，，，，【解题探究】1.典例1中处理数列的概念应注意哪些问题？提示：数列不能用集合表示，数列中的项是有序的，数列中的n∈N*.2.典例2中，递增、递减数列的概念是什么？提示：在数列{an}中，若anan+1，则数列{an}是递增数列；若anan+1，则数列{an}是递减数列.【解析】1.选C.{1，2，3，5，7}是一个集合，所以A错；由于数列的项是有顺序的，所以B错；数列{}的第k项是C正确；而D中数列应表示为{2(n-1)}.2.选C.A是递减数列，B是摆动数列，D是有穷数列，故选C.n1nk111kk，【方法技巧】处理数列分类问题的技巧(1)有穷数列与无穷数列.判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需观察数列是有限项还是无限项.若数列含有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列.(2)数列的单调性.若满足anan+1，(n∈N*)则是递增数列；若满足anan+1，(n∈N*)则是递减数列；若满足an=an+1，(n∈N*)则是常数列；若an与an+1(n∈N*)的大小不确定时，则是摆动数列.【变式训练】已知数列{}，那么这个数列是()A.递增数列B.递减数列C.摆动数列D.常数列2n3n1【解析】选A.因为an+1-an=0,所以an+1an，故该数列是递增数列.2(n1)2n23(n1)13n1(3n4)(3n1)【补偿训练】下列说法正确的是()A.数列3，5，7与数列7，5，3是相同数列B.数列2，3，4，4可以记为{2，3，4}C.数列1，…可以记为{}D.数列{2n+1}的第5项是1011123n，，，，1n【解析】选C.A.数列是有序的，B.数列与数集是两个不同的概念，D.当n=5时，a5=2×5+1=11.类型二用观察法求数列的通项公式【典例】1.(2015·郑州高二检测)观察以下公式①an=②an=(-1)n③an=可以作为数列，0，，0，，0，…通项公式的是_________.n1(1)；n1(1)；2n0n.，为奇数，，为偶数2222.写出下列数列的一个通项公式，使其前几项分别是下列各数.(1)(2)-1，3，-5，7，-9，…(3)a，b，a，b，a，b，…(4)9，99，999，9999，…123412342345，，，，【解题探究】1.典例1中，如何判断一个公式是否可以作为一个数列的通项公式？提示：把n依次换为1，2，3，…进行验证，看是否与数列中对应的项相同即可.2.典例2(1)是带分数如何处理？(2)中一负一正怎样处理？(3)中数列可看成是哪两个数列对应项的和？(4)中每一项加1会得到什么结果？再观察有何特点？提示：(1)把每一项分成整数和分数两部分.(2)一正一负可通过(-1)n来实现转换.(3)可看作是数列a，0，a，0，…与数列0，b，0，b，…对应项的和.(4)得到：10，100，1000，…，可以写成10n的形式.【解析】1.分别令n=1，2，3，…可以看出①③公式可以作为已知数列的通项公式.答案：①③2.(1)这个数列各项的整数部分分别为1，2，3，4，…，恰好是序号n；分数部分分别为…，与序号n的关系是，所以这个数列的一个通项公式是an=(2)数列各项的绝对值为1，3，5，7，9，…，是连续的正奇数；考虑(-1)n具有转换符号的作用，所以数列的一个通项公式为an=(-1)n(2n-1).12342345，，，，nn12nn2nn.n1n1(3)数列1，0，1，0，…的通项公式为，数列0，1，0，1…的通项公式为，因此数列a，0，a，0…的通项公式为，数列0，b，0，b，…的通项公式为，所以数列a，b，a，b，a，b，…的通项公式为an=n1(1)12n(1)12n1(1)1a2n1n(1)1(1)1ab.22n(1)1b2(4)各项加1后，变为10，100，1000，10000，…，此数列的通项公式为10n，可得原数列的通项公式为an=10n-1.【方法技巧】根据数列的前几项求通项公式的解题思路(1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等.(2)分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式.(3)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(-1)n或(-1)n+1处理符号.(4)对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等.【变式训练】写出下列数列的一个通项公式：(1)(2)(3)(4)5，55，555，5555，…13715312481632，，，，，192528222，，，，，31313123456，，，，，，【解析】(1)分母依次是2，4，8，…即2n，而分子比分母少1，所以通项公式为an=(2)将分母统一为2，分子恰为平方数，所以通项公式为an=nn21.22n.2(3)此数列的每一项分为三部分：分子、分母、符号.奇数项都为负，且分子都是1，偶数项都为正，且分子都是3，分母依次是1，2，3，4，…正负号可以用(-1)n调整.n1(n2k1)na.3(n2k)kN*n，，其中由于1=2-1，3=2+1，所以数列的通项公式可合写成an=(4)将数列各项写为所以数列的通项公式为an=(10n-1).nn2(1)(1).n999999999955559999，，，，59【补偿训练】数列1，的一个通项公式为__________.【解析】奇数项为正，偶数项为负，可由(-1)n-1来实现，分子全为1，分母依次为20，21，22，23，…，所以an=，即an=所以通项公式为an=答案：an=111124816，，，，n1n1(1)2n11().2n11().2n11().2类型三数列通项公式的简单应用【典例】1.已知数列则0.96是该数列的()A.第22项B.第24项C.第26项D.第28项1234n2345n1，，，，，，2.已知数列{an}的通项公式为an=(1)写出数列的第4项和第6项.(2)试问是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由.24.n3n110【解题探究】1.典例1中如何判断给出的数值是该数列的项？提示：先假定它是数列中的第n项，列方程求n，根据n∈N*判断.2.典例2中如何根据数列的通项公式求数列的项数或项？提示：已知数列的通项公式，只要将数列中的项或项数代入通项公式，就可以求出项数或项.【解析】1.选B.因为通项公式为an=，则有解得n=24.nn1n240.96n125，2.(1)因为an=，所以a4=a6=(2)令则n2+3n-40=0，解得n=5或n=-8，注意到n∈N*，故将n=-8舍去，所以是该数列的第5项.24n3n2414347，242.63627241n3n10，110【延伸探究】1.(变换条件)若将典例2(2)中的“”变为“”，其他条件不变，结果如何？【解析】令，则4n2+12n-27=0，解得n=或n=-，注意到n∈N*，所以不是此数列中的项.11016272416n3n27329216272.(改变问法)若典例2条件不变，试判断数列{an}的增减性.【解析】an+1-an==故an+1an，故数列{an}为递减数列.22224444(n1)3(n1)n3nn5n4n3n22224(n3nn5n4)(n5n4)(