人教版高中数学必修五同课异构课件21数列的概念与简单表示法212精讲优练课型

第2课时数列的通项公式与递推公式【知识提炼】数列的递推公式如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且任何一项an与_____________________间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.它的前一项(或前几项)【即时小测】1.思考下列问题(1)所有数列都有递推公式吗？提示：不一定.例如精确到1，0.1，0.01，0.001，…的不足近似值排列成一列数：1，1.4，1.41，1.414，…没有递推公式.2(2)仅由数列{an}的关系式an=an-1+2(n≥2，n∈N*)就能确定这个数列吗？提示：不能.数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的.2.已知数列{an}满足a10，且an+1=an，则数列{an}是()A.递增数列B.递减数列C.常数列D.摆动数列【解析】选B.由a10，且an+1=an，则an0，又1，所以an+1an.因此数列{an}为递减数列.1212n1na1a23.数列的递推公式可以是()A.an=(n∈N*)B.an=(n∈N*)C.an+1=an(n∈N*)D.an+1=2an(n∈N*)【解析】选C.数列从第二项起，后一项是前一项的，故递推公式为an+1=an(n∈N*).111124816，，，，n112n121212124.在数列{an}中，已知a1=1，an=(n≥2)，则a5=__________.【解析】由a1=1，an=得a2=2，a3=，a4=，a5=.答案：n111an111a325385855.若数列{an}中，a1=2，且an+1=(n是正整数)，则数列的通项公式an=__________.【解析】a1=2，a2=22，a3=24，a4=28，猜想an=答案：2nan122.n122【知识探究】知识点递推公式观察图形，根据下面的说明，回答问题：某剧场有9排座位，第一排有7个座位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位(如图).问题1：写出前五排座位数，并考虑第n排与第n+1排座位数有何关系，第n排座位数an与第n+1排座位数an+1能用等式表示吗？问题2：由递推公式给出一个数列需具备几个条件？【总结提升】1.由递推公式给出一个数列的两个条件用递推公式给出一个数列，必须给出：①“基础”——数列{an}的第1项或前几项；②递推关系——数列{an}的任一项an与它的前一项an-1(或前几项)之间的关系，并且这个关系可以用一个公式来表示.2.通项公式与递推公式的异同点不同点相同点通项公式可根据某项的序号，直接用代入法求出该项都可确定一个数列，都可求出数列的任何一项递推公式可根据第1项或前几项的值，通过一次或多次赋值逐项求出数列的项，直至求出所需的项都可确定一个数列，都可求出数列的任何一项【题型探究】类型一由递推公式写数列的项【典例】1.(2015·广州高二检测)在数列{an}中，已知a1=，an=(-1)n·2an-1(n≥2)，则a4等于()A.-2B.2C.-4D.4122.已知数列{an}满足a1=1，以后的各项由公式an+1=给出，试写出这个数列的前5项.nn2aa2【解题探究】1.典例1中，已知a1，怎样求a2？进而怎样求a3，a4？提示：在递推公式中令n=2，3，4，结合a1的值即可以求出数列的前几项.2.典例2中求数列前5项的关键是什么？提示：关键是利用a1及递推关系求解.【解析】1.选C.对n依次取2，3，4得a2=(-1)2×2×=1，a3=(-1)3×2×1=-2，a4=(-1)4×2×(-2)=-4.122.因为a1=1，an+1=，所以a2=a5=故该数列的前5项为nn2aa2112a2a23，32342321222a2a1232aa21a22a252232，，44222a15.2a232521211.3253，，，，【延伸探究】若典例2中“an+1=”变为“an+1=”，其他条件不变，结论如何？nn2aa2nn3aa2【解析】因为a1=1，an+1=，所以a2==1，a3==1，a4=1，a5=1.故该数列的前5项为1，1，1，1，1.nn3aa2113aa2223aa2【方法技巧】由递推公式写出数列的项的方法(1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可.(2)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式.(3)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式.【变式训练】(2015·西安高二检测)数列{an}满足an+1=，若a1=，则a2014=()nnn1n12a0a212aa12，＜，＜，351234A.B.C.D.5555【解析】选A.因为a1=，所以a2=2a1-1=，所以a3=2a2=，a4=2a3=，所以a5=2a4-1=，a6=2a5-1=，a7=2a6=，a8=2a7=，所以an+4=an，n∈N*，所以a2014=a4×503+2=a2=.3152＞1525453515254515【补偿训练】数列{an}中a1=1，a2=3，-an-1·an+1=(-1)n-1(n≥2)，那么a4=__________.【解析】令n=2，得-a1·a3=-1，所以a3=10.令n=3，得-a2a4=(-1)2，所以a4=33.答案：332na22a23a类型二由数列的递推公式求通项公式【典例】1.已知数列{an}满足a1=1，an=an-1+(n≥2)，则an=__________.2.已知数列{an}中，a1=1，且an+1=3an(n∈N*).(1)写出这个数列的前5项.(2)猜想数列{an}的通项公式并加以证明.1n(n1)【解题探究】1.典例1中，可对递推公式作何种变形？提示：将递推公式作移项，将其变形为an-an-1=再分别令n=2，3，4，…，n-1，n后将这n-1个等式相加.111n(n1)n1n，2.典例2中，递推公式反映了数列有何特征？提示：将an+1=3an变形为=3，数列中后一项与前一项的比是常数3.n1naa【解析】1.由an=an-1+(n≥2)，可得，an-an-1=(n≥2)，所以a2-a1=1-，a3-a2=-，a4-a3=-，…an-an-1=将各式累加得an-a1=1-，又因为a1=1，所以an=2-.又a1=2-=1，符合上式，所以an=2-.答案：2-1n(n1)111n(n1)n1n121213131411n1n，1n1n111n1n2.(1)因为a1=1，且an+1=3an所以a2=3×1=31，a3=3×3=32，a4=3×9=33，a5=3×27=34.(2)由(1)猜想数列{an}的通项公式an=3n-1(n∈N*).证明：因为an=3an-1(n≥2)，所以=3，所以=3n-1，又a1=1，符合上式，所以an=3n-1(n∈N*).nn1aann12n1n21aaaaaa【延伸探究】1.(变换条件)若典例2中“a1=1，且an+1=3an”变为“a1=2，且an+1=an”，则通项公式如何？13【解析】因为an=an-1(n≥2)，所以所以所以an=2·又a1=2，符合上式，所以an=2·(n∈N*).nn1a1a3，n1nn12n1n21aaa1()aaa3，n11().3n11()3132.(变换条件)若典例2中“an+1=3an”变为“an+1=·an”，通项公式如何？【解析】方法一：累乘法因为所以所以又因为a1=1，所以an=nn1n1nanan1，3524n1234n1aaaaa1234n1aaaaa2345n，n1a1.an111a.nn方法二：迭代法因为an+1=an，所以an=·an-1=··an-2=···an-3=···…·a1=a1.又因为a1=1，所以an=.nn1n1nn1nn2n1n1nn2n1n3n2n1nn2n1n3n2121n1n方法三：构造特殊数列法因为，所以(n+1)an+1=nan，所以数列{nan}是常数列，所以nan=1·a1=1，所以an=.n1nanan11n【方法技巧】1.由递推公式写出通项公式的步骤(1)先根据递推公式写出数列的前几项(至少是前3项).(2)根据写出的前几项，观察归纳其特点，并把每一项统一形式.(3)写出一个通项公式并证明.2.递推公式的常见类型及通项公式的求法(1)求形如an+1=an+f(n)的通项公式.将原来的递推公式转化为an+1-an=f(n)，再用累加法(逐差相加法)求解，即an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=a1+f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n-1).(2)求形如an+1=f(n)an的通项公式.将原递推公式转化为=f(n)，再利用累乘法(逐商相乘法)求解，即由=f(1)，=f(2)，…，=f(n-1)，累乘可得=f(1)f(2)…f(n-1).n1naa21aa32aann1aan1aa【补偿训练】在数列{an}中，a1=2，且an+1=an+log2(1+)，则an=__________.1n【解析】由an+1=an+log2(1+)知，an+1-an=log2(1+)，则a2-a1=log2()，a3-a2=log2()，a4-a3=log2()，…an-an-1=log2().1n1n2132431n1累加得，an-a1=log2()+log2()+log2()+…+log2()=log2()=log2n，所以an=2+log2n.答案：2+log2n2132431n134n223n1易错案例由递推公式求数列中的项【典例】(2015·烟台高二检测)在数列{an}中，若a1=2，且对所有n∈N*满足an=an+1+2，则a2016=_____.【失误案例】【错解分析】分析解题过程，你知道错在哪里吗？提示：求通项公式时，采用累加法漏掉了a1，错解为an=-2n+2.【自我矫正】由题意知an+1-an=-2，所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+…+(a2-a1)+a1=-2(n-1)+2=-2n+4，所以a2016=-2×2016+4=-4028.答案：-4028【防范措施】解决与递推公式相关问题的两个关注点(1)明确递推公式类型：因为数列是一个特殊的函数，有时可以借助于函数知识，记住类型找方法，如本例中an+1-an=-2即为an+1-an=f(n)的类型，求通项公式时要写成an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+…+(a2-a1)+a1的形式.(2)明确项数：在采用“累加法”或“累乘法”时，要注意有多少项.如本题中，采用累加法共有(n-1)个-2，而不是n个.