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当前位置:首页 > 中学教育 > 高中教育 > 人教版高中数学必修五同课异构课件23等差数列的前n项和232探究导学课型
一、等差数列前n项和的最值问题等差数列前n项和公式为当d≠0时,Sn是关于n的二次函数,在一定条件下,Sn有最值.请根据这些条件思考下面的问题:第2课时等差数列习题课探究1:在等差数列{an}中,当a10,d0时,Sn有最大值还是有最小值?a10,d0呢?提示:当a10,d0时,数列为递减数列,所以Sn有最大值;当a10,d0时,数列为递增数列,所以Sn有最小值.探究2:从函数观点分析Sn=的最值情况.提示:当d0时,此二次函数的开口向上,Sn存在最小值;当d0时,此二次函数的开口向下,Sn存在最大值.21ddn(a)n22【探究总结】对等差数列前n项和最值的三点说明(1)等差数列前n项和的最值不一定在顶点处取得.(2)取最值时的n值,一定是正整数.(3)d=0时,数列为常数列,前n项和Sn=na1,是关于n的一次函数.二、数列{|an|}的前n项和问题等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则其前n项和为Sn=na1+.将数列{an}的每一项都取绝对值,得到一新数列{|an|},请思考下面的问题:nn1d2探究1:若等差数列{an}的首项a10,公差为d0,其前n项和为Sn,则数列{|an|}的前n项和如何求?提示:因为等差数列{an}的首项a10,公差为d0,所以存在正整数m,当nm时,有an0,当n≤m时,有an≤0,记数列{|an|}的前n项和为Tn,则当n≤m时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=-Sn,当nm时Tn=|a1|+|a2|+…+|am|+am+1+…+an=-a1-a2-…-am+am+1+…+an=a1+a2+…+am+am+1+…+an-2(a1+a2+…+am)=Sn-2Sm.所以Tn=nnmSnmS2Snm.,,,>探究2:若等差数列{an}的首项a10,公差d0,其前n项和为Sn,则数列{|an|}的前n项和如何求?提示:因为等差数列{an}的首项a10,公差d0,所以存在正整数m,当nm时,有an≤0,当n≤m时有an0,记数列{|an|}的前n项和为Tn,则当n≤m时,Tn=a1+a2+…+an=Sn,当nm时,Tn=a1+a2+…+am+|am+1|+…+|an|=a1+a2+…+am-am+1-…-an=-a1-a2-…-am-am+1-…-an+2(a1+a2+…+am)=-Sn+2Sm.所以Tn=nnmSnmS2Snm.,,,>【探究总结】求等差数列{|an|}的前n项和两点说明(1)当数列中含有负项时,要注意对n的讨论.(2)数列{|an|}的前n项和要以分段的形式表示.类型一求等差数列前n项和的最值1.在递减等差数列{an}中,若a1+a100=0,则其前n项和Sn取最大值时的n值为()A.49B.51C.48D.502.(2014·江西高考)在等差数列{an}中,a1=7,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n=8时Sn取得最大值,则d的取值范围为.3.已知数列{an}的前n项和公式为Sn=2n2-30n.(1)求数列{an}的通项公式an.(2)求Sn的最小值及对应的n值.【解题指南】1.利用等差数列的性质判断出a500,a510可知前多少项的和最大.2.转化为a80,a90.3.(1)注意分n=1和n≥2讨论.(2)利用配方法求最值.【自主解答】1.选D.因为a1+a100=a50+a51=0,且d0,所以a500,a510,所以当n=50时,Sn取最大值.2.由题意得a80且a90,所以7+7d0且7+8d0,解得-1d答案:7.87(1)8,3.(1)因为Sn=2n2-30n,所以当n=1时,a1=S1=-28.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n2-30n)-[2(n-1)2-30(n-1)]=4n-32.当n=1时上式也适合.所以an=4n-32,n∈N*.(2)Sn=2n2-30n=所以当n=7或8时,Sn最小,且最小值为S7=S8=-112.2152252(n)22--,【规律总结】求等差数列前n项和的最值问题的两种方法(1)在等差数列{an}中,当a10,d0时,Sn有最大值,使Sn取到最值的n可由不等式组确定;当a10,d0时,Sn有最小值,使Sn取到最值的n可由不等式组确定.nn1a0a0,nn1a0a0,(2)因为若d≠0,则从二次函数的角度看:当d0时,Sn有最小值;当d0时,Sn有最大值;且n取最接近对称轴的自然数时,Sn取到最值.2n1ddSn(a)n22=+,【变式训练】在等差数列{an}中,a1=25,S9=S17,则前n项和Sn的最大值是.【解析】由S17=S9,得25×17+×(17-1)d=25×9+×(9-1)d,解得d=-2,所以Sn=25n+(n-1)×(-2)=-(n-13)2+169,由二次函数性质可知,当n=13时,Sn有最大值169.因此Sn的最大值为169.答案:16917292n2类型二求数列{|an|}的前n项和1.已知数列{an}的通项公式为an=2n-30,Sn是{|an|}的前n项和,则S10=.2.(2015·北京高二检测)Sn表示等差数列{an}的前n项和,且S4=S9,a1=-12.(1)求数列的通项an及Sn.(2)求和:Tn=|a1|+|a2|+…+|an|.【解题指南】1.先判断前10项的正负,再根据求和公式求解.2.(1)由S4=S9,a1=-12,可以求得a1与d的关系,可求得d与an.(2)由d0,先判断该数列从第几项大于零,从第几项小于零,再根据等差数列前n项和的性质求解.【自主解答】1.an=2n-30,令an0得n15,即{an}中,前14项均为负数,所以S10=-(a1+a2+a3+…+a10)=-(a1+a10)=-5[(-28)+(-10)]=190.答案:1901022.(1)设公差为d,因为S4=S9,a1=-12,所以4×(-12)+6d=9×(-12)+36d⇒d=2,所以an=-12+2(n-1)=2n-14,Sn=-12n+n(n-1)=n2-13n.(2)当n≤7时,Tn=-(a1+a2+a3+…+an)=-Sn=13n-n2,当n≥8时,an≥0,Tn=-(a1+a2+a3+a4+a5+a6)+(a7+…+an)=Sn-2S6=n2-13n+84.综上,Tn=2213nnn7n13n84n8.,,,【规律总结】求数列{|an|}的前n项和的步骤(1)求出数列的通项公式.(2)判断出an的符号.(3)找出数列{an}中项的正负界点.(4)利用拆项法求和.【变式训练】已知等差数列{an}前三项的和为-3,前三项的积为8.(1)求等差数列{an}的通项公式.(2)若a1·a2=a32,求数列{|an|}的前n项和.【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,则a2=a1+d,a3=a1+2d,由题意得解得或所以由等差数列通项公式得an=2-3(n-1)=-3n+5,或an=-4+3(n-1)=3n-7.故an=-3n+5或an=3n-7.11113a3d3aada2d8-,,1a2d3,1a4d3.,(2)当an=-3n+5时,a2,a3,a1分别为-1,-4,2,不满足a1·a2=a32;当an=3n-7时,a2,a3,a1分别为-1,2,-4,满足a1·a2=a32.故|an|=|3n-7|=记数列{|an|}的前n项和为Sn.3n7n123n7n3,,,,,当n=1时,S1=|a1|=4;当n=2时,S2=|a1|+|a2|=5;当n≥3时,Sn=S2+|a3|+|a4|+…+|an|=5+(3×3-7)+(3×4-7)+…+(3n-7)当n=2时,满足此式.综上,Sn=2(n2)2(3n7)3115nn10.222-[-]=-+24n1311nn10n1.22,,,类型三等差数列的综合应用1.已知数列{an}中,a3=2,a7=1,且数列是等差数列,则a11等于()A.-B.C.D.52.(2014·浙江高考)已知等差数列{an}的公差d0,设{an}的前n项和为Sn,a1=1,S2·S3=36.(1)求d及Sn.(2)求m,k(m,k∈N*)的值,使得am+am+1+am+2+…+am+k=65.n1{}a1251223【解题指南】1.分别求出得到等差数列的两项,求出公差和第11项进而求出a11.2.利用已知条件先求出d,然后再求解其他问题.3711a1a1,,【自主解答】1.选B.设的公差为d,则有解得d=,所以即解得a11=.2.(1)由题意知,(2a1+d)(3a1+3d)=36,解得d=2或d=-5(舍去).所以Sn=na1+d=n+n(n-1)=n2.n1{}a173114da1a1=+,124113118da1a1=+,11111a1213=+,12n(n1)2-(2)由(1)知,am+am+1+am+2+…+am+k=(2m+k-1)(k+1),所以(2m+k-1)(k+1)=65,由m,k∈N*知,2m+k-1k+11,故所以2mk113k15-,,m5k4.,【规律总结】裂项相消法求和当数列的通项是分式形式,分母是两个式子的乘积,且两个式子的差为常数,这时可以把通项分裂成两项之差,如an=在求和时,中间很多项都会相互抵消,只剩首尾若干项,从而求出数列的和.n1111111a()nn1nn12n12n122n12n1,,【变式训练】在等差数列{an}中,2a1+3a2=11,2a3=a2+a6-4,其前n项和为Sn.(1)求数列{an}的通项公式.(2)设数列{bn}满足求数列{bn}的前n项和Tn.nn1bSn,【解析】(1)2a1+3a2=2a1+3(a1+d)=5a1+3d=11,2a3=a2+a6-4,即2(a1+2d)=a1+d+a1+5d-4,得d=2,a1=1,则an=a1+(n-1)d=1+(n-1)×2=2n-1.(2)因为Sn=na1+n(n-1)d=n2,所以所以n2n11111bSnnnnn1nn1,n1111111nT1.1223nn1n1n112
本文标题:人教版高中数学必修五同课异构课件23等差数列的前n项和232探究导学课型
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