人教版高中数学必修五同课异构课件252等比数列习题课精讲优练课型

第2课时等比数列习题课【题型探究】类型一等比数列的实际应用问题【典例】1.根据市场调查预测，某商场在未来的10年，计算机销售量从a台开始，每年以10%的速度增长，则该商场在未来的这10年大约可以销售计算机总量为()A．10a(1.19-1)台B．a(1.110-1)台C．10a(1.110-1)台D．10a(1.111-1)台2.某企业去年的纯利润为500万元，因设备老化的原因，企业的生产能力将逐年下降.若不能进行设备改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行设备改造，预测在未扣除设备改造资金的情况下，第n年(今年为第一年)的利润为500万元(n为正整数).n1(1)2(1)设从今年起的后n年，若该企业不进行设备改造的累计纯利润为An万元，进行设备改造后的累计纯利润为Bn万元(须扣除设备改造资金)，求An，Bn的表达式.(2)依上述预测，问从今年起该企业经过4年是否能实现BnAn的目标？【解题探究】1.典例1中，10年的计算机销售量构成什么数列？提示：10年的计算机销售量构成首项为a，公比为1.1的等比数列.2.典例2中，从今年起的后n年，若该企业不进行设备改造，每年的纯利润构成什么数列？数列{500}的前n项和如何计算？为分析企业经过4年是否能实现BnAn的目标，需要研究数列{Bn-An}的什么性质？n1(1)2提示：从今年起每年的纯利润构成以500-20为首项，公差为-20的等差数列.数列{500}的前n项和可以分组转化求和，即n1(1)22n2n111500[(1)(1)(1)]222111500[(111)()].222为分析企业经过4年是否能实现BnAn的目标，需要研究数列{Bn-An}的单调性.【解析】1.选C.第一年a台，第二年a(1+10%)=1.1a台，第三年a(1+10%)2=1.12a台，以此类推，可知10年的销售量构成首项为a，公比为1.1的等比数列，前10项的和S10=1010a(11.1)10a(1.11)().11.1台2.(1)依题设，An=(500-20)+(500-40)+…+(500-20n)=490n-10n2，n2nn111B500[(1(1)(1)]600222500500n100.2）(2)Bn-An==10n2+10n--100.易知该式随着n的增大而增大，代入1，2，3，4，…验证知当n≥4时，BnAn.故经过4年，该企业进行设备改造后的累计纯利润能超过不进行设备改造的累计纯利润.2n500(500n100)490n10n2n5002【方法技巧】解答数列应用题的步骤(1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意.(2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的结构和特征.(3)求解——求出该问题的数学解.(4)还原——将所求结果还原到实际问题中.具体解题步骤用框图表示如下：【变式训练】从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，以发展旅游产业.根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少.本年底当地旅游业收入估计为400万元.由于该项目建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an和bn.1514【解题指南】每一年的投入构成首项为800，公比为1-的等比数列；每一年的旅游业收入构成首项为400，公比为1+的等比数列.1514【解析】第一年投入为800万元，第二年投入为800万元，…，第n年投入为800万元，所以n年内的总投入为an=800+800+…+800=4000(1-0.8n)(万元).1(1)5n11(1)51(1)5n11(1)5第一年旅游业收入为400万元，第二年旅游业收入为400万元，…，第n年旅游业收入为400万元，所以，n年内的旅游业总收入为bn=400+400+…+400=1600(1.25n-1)(万元).1(1)4n11(1)41(1)4n11(1)4【补偿训练】某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元；两种方案使用期都是10年，到期一次性归还本息.若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算，试比较两种方案中，哪种纯获利更多？(取1.0510≈1.629，1.310≈13.786，1.510≈57.665)【解析】(1)甲方案获利：1+(1+30%)+(1+30%)2+…+(1+30%)9=≈42.62(万元).银行贷款本息：10×(1+5%)10≈16.29(万元)，故甲方案纯获利：42.62-16.29=26.33(万元).101.310.3(2)乙方案获利：1+(1+0.5)+(1+2×0.5)+…+(1+9×0.5)=10×1+×0.5=32.50(万元)，1092银行本息和：1.05×[1+(1+5%)+(1+5%)2+…+(1+5%)9]=1.05×≈13.21(万元).故乙方案纯获利：32.50-13.21=19.29(万元).综上，甲方案纯获利更多.101.0510.05类型二错位相减法求和【典例】(2015·湖北高考)设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q.已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式.(2)当d1时，记cn=，求数列{cn}的前n项和Tn.nnab【解题探究】典例(1)求通项公式的基本步骤是什么？(2)数列{cn}的结构特征是什么？应选择什么求和方法？提示：(1)由题意可列出方程组求解首项、公差、公比，再代入通项公式即可求得.(2)由(1)结合d1，可得an=2n-1，bn=2n-1，于是cn=易发现{cn}的通项是一个等差数列和一个等比数列相乘而得的，对其进行求和直接运用错位相减法即可得出结论.1110a45d100ad2，，n12n12，【解析】(1)由题意有，1110a45d100ad2，，1111nnn1n1nna92a9d20a12ad2d2d.91a2n79a2n192b2.b9().9，，，即解得或，，，，故或(2)由d1，知an=2n-1，bn=2n-1，故cn=于是n12n12，n234n1n2345n35792n1T1222221135792n1T.2222222，①②①-②可得n2n2nnnn111112n12n3T232222222n3T6.2，故【延伸探究】1.(变换条件)将典例条件“cn=”改为“cn=anbn”，其他条件不变，求Tn.nnab【解析】因为cn=(2n-1)2n-1，所以Tn=1×20+3×21+5×22+…+(2n-1)×2n-1，2Tn=1×21+3×22+5×23+…+(2n-1)×2n，两式相减得-Tn=1+22+23+…+2n-(2n-1)×2n=-(2n-3)×2n-3，所以Tn=(2n-3)2n+3，n∈N*.2.(变换条件、改变问法)将数列{an}满足的条件改为“数列{an}的前n项和Sn满足2Sn=3n+3”，将数列{bn}满足的条件改为“anbn=log3an”，求数列{bn}的前n项和Tn.【解析】Sn=当n=1时，a1=S1==3.当n≥2时，an=Sn-Sn-1，即an=所以an=当n=1时，a1b1=3b1=1，所以b1=；当n≥2时，anbn=3n-1×bn=log33n-1=n-1，n332，62nn1n13333322，n13n13n2.，，，13所以bn=故bn=当n=1时，T1=b1=；当n≥2时，Tn=b1+b2+b3+b4+…+bnn1n13，n11n13n1n2.3，，，1323n1n2234n1123n13333311123n1T.333333，则两式相减得所以Tn=因为T1=符合上式，所以{bn}的前n项和Tn=n23n1n221111n1T3933333n1nn11[1()]21131133n1()(n)()193182313，n1132n11()().124313n1132n11()().1243【方法技巧】1.错位相减法的使用范围及注意事项(1)适用范围：主要适用于{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{anbn}的前n项和.(2)注意事项：①利用“错位相减法”时，在写出Sn与qSn的表达式时，应注意使两式对齐，以便于作差，正确写出(1-q)Sn的表达式；②利用此法时要注意讨论公比q是否等于1.2.错位相减法进行求和的基本步骤(1)在等式Sn=a1+a2+a3+…+an两边同乘以等比数列的公比q.(2)两式相减：左边为(1-q)Sn，右边为q的同次式对齐相减.(3)右边去掉最后一项(有时需要去掉第一项)剩下的各项组成等比数列，可以采用公式求和.【补偿训练】(2014·安徽高考)数列{an}满足a1=1，nan+1=(n+1)an+n(n+1)，n∈N*.(1)证明：数列是等差数列.(2)设bn=3n·，求数列{bn}的前n项和Sn.na{}nna【解析】(1)由已知可得所以是以1为首项，1为公差的等差数列.n1nn1naaaa11n1nn1n，na{}n(2)由(1)得=1+(n-1)=n，所以an=n2，从而bn=n·3n，Sn=1·31+2·32+3·33+…+n·3n，3Sn=1·32+2·33+3·34+…+(n-1)·3n+n·3n+1.nan将以上两式联立可得-2Sn=31+32+33+…+3n-n·3n+1nn1n1n1n31312n33n31322n133S.4，所以【延伸探究】1.(变换条件)将本题数列{an}满足的条件改为“a1+3a2+32a3+…+3n-1an=，n∈N*”，数列{bn}满足的条件改为“bn=”，其他条件不变，求Sn.n3nna【解析】因为a1+3a2+32a3+…+3n-1an=，①所以当n≥2时，a1+3a2+32a3+…+3n-2an-1=，②①-②得3n-1an=，所以an=.在①中，令n=1，得a1=，适合an=，所以an=.因为bn=，所以bn=n·3n.n3n1313n1313n13n13nna所以Sn=3+2×32+3×33+…+n·3n，③所以3Sn=32+2×33+3×34+…+n·3n+1.④④-③得2Sn=n·3n+1-(3+32+33+…+3n)，即2Sn=n·3n+1-所以Sn=n31313，n12n133.442.(变换条件、改变问法)将数列{an}满足的条件改为“数列{an}是等差数列，a2+a4=10，2a2+a3=11”，求数列的前n项和.nna{}3【解析】设等差数列{an}的公差为d，由2a3=a2+a4=10得a3=5，又因为2a2+a3=11，所以2a2=6，a2=3，所以d=a3-a2=5-3=2，所以an=a2+(n-2)d=3+2(n-2)=2n-1，因为所以Tn=则两式相减，得nnna2n1nN*33，2n1n132n32n13333，n23nn11132n32n1T33333，n23nn1211112n1T2()3333332nn1nnn11112