人教版高中数学必修五同课异构课件311不等关系与比较大小探究导学课型

第三章不等式3.1不等关系与不等式第1课时不等关系与比较大小1.了解日常生活中存在的不等关系.2.会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系.3.会比较两个数(代数式)的大小.1.不等式中文字语言与数学符号之间的关系文字语言数学符号文字语言数学符号文字语言数学符号文字语言数学符号大于__大于等于___至多___不少于___小于__小于等于___至少___不多于___≥≤≥≤≥≤2.比较两实数大小的依据a-b0⇔____，a-b=0⇔____，a-b0⇔____.aba=bab1.设M=x2，N=x-1，则M与N的大小关系为()A.MNB.M=NC.MND.与x有关【解析】选A.因为M-N=x2-(x-1)=x2-x+1所以MN.213(x)0.24－2.如图，数轴上的点A，B，C所对应的数a，b，c的大小关系是.【解析】由图知，bac.答案：bac3.若x-30，则x与3的关系是.【解析】由x-30，所以x3.答案：x3一、用不等式表示不等关系现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系，在数学中，我们怎样来表示这些不等关系呢？请思考下面的问题：探究1：今天的天气预报说：明天早晨最低温度为7℃，明天白天的最高温度是13℃，这一天的温度T可用不等式表示为.提示：明天的温度范围用不等式表示为7℃≤T≤13℃.答案：7℃≤T≤13℃探究2：△ABC的两边之和大于第三边，用不等式可表示为.提示：两边之和大于第三边可表示为AB+BCAC，AB+ACBC，AC+BCAB.答案：AB+BCAC，AB+ACBC，AC+BCAB探究3：a是一个非负实数，可用不等式表示为.提示：因为a是一个非负实数，所以a≥0.答案：a≥0【探究总结】关于不等式与不等关系的三点说明(1)不等关系强调的是变量与变量之间的关系，可用符号“，，≠，≥，≤”表示，而不等式是用来表示不等关系的，不等关系是通过不等式来体现的.(2)在用不等式表示不等关系时，应特别注意不等式能否取等号的问题.(3)解决含有多个不等关系的问题时，要注意根据题设条件将所有的不等关系都找出来.【拓展延伸】同向不等式和异向不等式按不等号的开口方向分：在两个不等式中，如果每一个不等式的左边都大于右边，或每一个不等式的左边都小于右边，这样的两个不等式叫同向不等式，如果一个不等式的左边大于右边，而另一个不等式的左边小于右边，那么这两个不等式叫做异向不等式.二、实数的运算性质与大小顺序间的关系探究1：(1)对于两个实数a，b，其大小关系有哪几种可能？提示：两个实数a，b，其大小关系有三种，即：ab，a=b，ab.(2)任何一个实数都对应数轴上的一个点，假如：b0a，那么a与b所对应的点A，B的相对位置关系如何？提示：A与B在数轴上的位置关系如图：探究2：(1)如果a-b是正数，那么这两个实数的大小关系如何？反之成立吗？提示：如果a-b是正数，则ab，反之也成立，用数学语言可描述为：a-b0⇔ab.(2)如果a-b是负数，那么这两个实数的大小关系如何？反之成立吗？提示：如果a-b是负数，则ab，反之也成立，用数学语言可描述为：a-b0⇔ab.【探究总结】实数大小比较的两点说明(1)数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大.(2)对于任意两个实数a，b，在a=b，ab，ab三种关系中有且仅有一种关系成立.类型一用不等式(组)表示不等关系1.一辆汽车原来每天行驶xkm，如果该汽车每天行驶的路程比原来多19km，那么在8天内它的行程将超过2200km，用不等式表示为.2.制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目.根据预测，甲、乙项目可能的最大亏损分别为30%和10%.投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元.请用不等式或不等式组把此实例中的不等关系表示出来.【解题指南】1.解答本题的关键是理解超过2200km的含义.2.根据投资金额不超过10万元，两项目最大亏损不超过1.8万元建立不等关系.【自主解答】1.因为该汽车每天的行驶的路程比原来多19km，所以汽车每天行驶的路程为(x+19)km，则在8天内它的行程为8(x+19)km，因此，不等关系“在8天内它的行程将超过2200km”可以用不等式8(x+19)2200来表示.答案：8(x+19)22002.设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目，由题意，知xy100.3x0.1y1.8x0y0.，，，【规律总结】用不等式(组)表示实际问题中不等关系的方法(1)首先要读懂题意，设出未知量，寻找不等关系的根源，将不等关系用未知量表示出来，即得到不等式或不等式组.(2)当问题中同时满足几个不等关系时，应用不等式组表示它们之间的不等关系，若问题有几个变量，则选用几个字母分别表示这些变量即可.(3)若有表格、图象等，读懂表格、图象对解决问题很关键.【变式训练】某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲种产品1t需消耗A种矿石10t、B种矿石5t、煤4t；生产乙种产品1t需消耗A种矿石4t、B种矿石4t、煤9t.工厂现有A种矿石300t、B种矿石200t、煤360t，写出满足上述所有不等关系的不等式(组).【解析】设工厂可以生产甲、乙两种产品分别为xt，yt.由题意知，有如下不等关系：(1)消耗A种矿石总量不超过300t.(2)消耗B种矿石总量不超过200t.(3)煤的消耗量不超过360t.(4)甲、乙两种产品数量均为非负数.所以列不等式组为10x4y3005x4y2004x9y360x0y0.，，，，类型二数(式)大小的比较1.(2014·北京高一检测)如果a＞b＞0，t＞0，设那么()A.M＞NB.M＜NC.M=ND.M与N的大小关系随t的变化而变化2.设m≠n，x=m4-m3n，y=n3m-n4，比较x与y的大小.aMb，atNbt，【解题指南】1.先作差，再通分提公因式，借助于条件ab0，t0判断.2.解答本题可先作出x与y的差，然后对差式进行变形，直到可判断符号为止.【自主解答】1.选A.M-N=已知ab0，t0，所以0，所以MN.2.x-y=(m4-m3n)-(n3m-n4)=m3(m-n)-n3(m-n)=(m-n)(m3-n3)=(m-n)2(m2+mn+n2)，因为m≠n，所以(m-n)20，又因为m2+mn+n2=所以(m-n)2(m2+mn+n2)0，所以x-y0，所以xy.abtbatabtaatbbtbbtbbt，abtbbt22n3n(m)024＞，【延伸探究】题2中的条件m≠n若去掉，其他条件不变，结论又如何呢？【解析】因为x-y=(m-n)2(m2+mn+n2)=(m-n)2①当m=n时，x-y=0，即x=y.②当m≠n时，x-y0，即xy.综上所述，x≥y.22n3n[(m)]24，【规律总结】作差法比较两个数大小的步骤及变形方法(1)作差法比较的步骤：作差→变形→定号→结论.(2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④对数与指数的运算性质；⑤分母或分子有理化；⑥分类讨论.【变式训练】(2014·银川高二检测)设x∈R，比较x3与x2-x+1的大小(写出比较过程).【解析】x3-(x2-x+1)=(x3-x2)+(x-1)=(x-1)(x2+1)，因为x2+10，所以当x1时，x3x2-x+1；当x=1时，x3=x2-x+1；当x1时，x3x2-x+1.【拓展类型】作商法比较两个数的大小1.若m2，比较mm与2m的大小.2.已知a0，b0，试比较与的大小.abbaab【解题指南】1.因为m2，故mm与2m均大于0，因此可以用作商法比较mm与2m的大小关系.2.因为与均大于0，所以可以采用作商，判断与1的大小.abbaab【解析】1.因为又因为m2，所以1，所以所以mm2m.2.当且仅当a=b时取等号.因为0，0，所以(当且仅当a=b时取等号).mmmmm()22，m2m0mm()()122，33ab(a)(b)(ab)(abab)baabab(ab)ab(ab)－22abab(ab)ab(ab)11ababab－－－，abbaabababba【规律总结】作商法比较大小的步骤及适用范围(1)作商法比较大小的三个步骤.①作商变形；②与1比较大小；③得出结论.(2)作商法比较大小的适用范围.①要比较的两个数同号；②比较“幂、指数、对数、含绝对值”的两个数的大小时，常用作商法.