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当前位置:首页 > 中学教育 > 高中教育 > 人教版高中数学必修五同课异构课件332简单的线性规划问题2探究导学课型
第2课时简单线性规划的应用类型一线性规划的实际应用问题1.(2013·湖北高考)某旅行社租用A,B两种型号的客车安排900名客人旅行,A,B两种车辆的载客量分别为36人和60人,租金分别为1600元/辆和2400元/辆,旅行社要求租车总数不超过21辆,且B型车不多于A型车7辆.则租金最少为()A.31200元B.36000元C.36800元D.38400元2.某家具厂有木料90m3,五合板600m2,准备加工成书桌和书橱出售.已知生产每张书桌需要方木料0.1m3,五合板2m2,生产每个书橱需要方木料0.2m3,五合板1m2,出售一张书桌可获利润80元,出售一个书橱可获利润120元.(1)如果只安排生产书桌,可获利润多少.(2)如果只安排生产书橱,可获利润多少.(3)怎样安排生产可使所获利润最大.【解题指南】1.把实际问题转化为线性规划问题求解.2.设生产书桌x张,生产书橱y个,可得目标函数为z=80x+120y.(1)求当y=0时的最大利润,(2)求当x=0时的最大利润,(3)找出约束条件,画出可行域,利用线性规划解题.【自主解答】1.选C.设A型、B型车辆的数量分别为x,y辆,则相应的租金为1600x+2400y,依题意,x,y还需满足:x+y≤21,y≤x+7,36x+60y≥900,于是问题等价于求满足约束条件且使目标函数z=1600x+2400y达到最小xy21yx736x60y900xy0xyN,,,,,,,的x,y,作可行域如图所示,可行域的三个顶点坐标分别为P(5,12),Q(7,14),R(15,6),由图可知,当直线z=1600x+2400y经过可行域的点P时,直线z=1600x+2400y在y轴上的截距最小,即z取得最小值.故应配备A型车5辆,B型车12辆.zmin=1600x+2400y=1600×5+2400×12=36800(元).z24002.设生产书桌x张,生产书橱y个,利润为z元,则目标函数为z=80x+120y,根据题知,约束条件为画出可行域如图所示,0.1x0.2y90x2y9002xy6002xy600x0y0x0y0xNyNxNyN,,,,即,,,,,,,,(1)若只生产书桌,则y=0,此时目标函数z=80x,由图可知zmax=80×300=24000,即只生产书桌,可获利润24000元.(2)若只生产书橱,则x=0,此时目标函数z=120y,由图可知zmax=120×450=54000,即只生产书橱,可获利润54000元.(3)作直线l:80x+120y=0,并平移直线l,由图可知,当直线l过点C时,z取得最大值,解得C(100,400),所以zmax=80×100+120×400=56000,即生产100张书桌,400个书橱,可获得最大利润.x2y9002xy600,,【规律总结】解决线性规划的实际问题的步骤(1)转化:设出未知数,写出线性约束条件与目标函数,将实际应用问题转化为数学上的线性规划问题.(2)求解:解这个线性规划问题.(3)作答:根据应用题提出的问题作答.【拓展延伸】解答线性规划的实际应用问题应注意的问题(1)在线性规划问题的应用中,常常是题中的条件较多,因此认真审题非常重要.(2)线性约束条件中有无等号要依据条件加以判断.(3)结合实际问题,判断未知数x,y等是否有限制,如x,y为正整数、非负数等.(4)分清线性约束条件和线性目标函数,线性约束条件一般是不等式,而线性目标函数却是一个等式.(5)图对于解决线性规划问题至关重要,关键步骤基本上是在图上完成的,所以作图应尽可能准确,图上操作尽可能规范.【变式训练】某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用A原料3吨,B原料2吨;生产每吨乙产品要用A原料1吨,B原料3吨,销售每吨甲产品可获得利润5万元,销售每吨乙产品可获得利润3万元.该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨,B原料不超过18吨.那么该企业可获得最大利润是多少?【解析】设生产甲产品x吨,生产乙产品y吨,则有关系:A原料用量B原料用量甲产品x吨3x2x乙产品y吨y3y则有目标函数z=5x+3y,作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标,可知当x=3,y=4时可获得最大利润为27万元.x0y03xy132x3y18,,,,类型二线性规划中的最优整数解问题1.富民鲜花店向禾青四组花卉种植户预定两种花卉:百合、玫瑰,其中每株收购价百合为4元,玫瑰为3元,鲜花店需要百合在1100~1400株之间,玫瑰在800~1200株之间.已知种植户只有资金5000元去购买花苗在自家90m2的温室中培育.每株花苗价格百合2.5元,玫瑰2元.由于百合与玫瑰的生长所需要的采光条件不同,百合每株大约占地0.05m2,玫瑰大约占地0.03m2,若种植户要获得最大利润,应种植百合株,种植玫瑰株.2.某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物,集装箱的体积、重量、可获利润和托运能力限制数据见下表,那么为了获得最大利润,甲、乙两种货物应各托运多少箱.货物每箱体积/m3每箱重量/kg每箱利润/百元甲5220乙4510托运能力限制数2413【解题指南】1.设出百合与玫瑰种植的数量,建立数学模型,利用线性规划求解.2.设甲货物x箱,乙货物y箱,根据题意列出目标函数与约束条件,利用线性规划求解.【自主解答】1.设种植百合x株,玫瑰y株,则种植户所获得的利润为z=(4-2.5)x+(3-2)y=1.5x+y,约束条件为作出不等式组表示的可行域,2.5x2y50005x4y100000.05x0.03y905x3y90001100x14001100x1400800y1200800y1200xyNxyN,,,,,即,,,,,,,如图所示,作出直线l:1.5x+y=0,把直线l向上平移,由图可知,当直线z=1.5x+y过C点时,z取得最大值.由得C(1200,1000),即当种植百合1200株,玫瑰1000株时,种植户可获得最大利润.答案:120010005x4y100005x3y9000,2.设甲货物托运x箱,乙货物托运y箱,利润为z,由题意得z=20x+10y,5x4y242x5y13x0y0xNyN,,,,,,作出可行域如图所示,作直线l:20x+10y=0,当直线z=20x+10y经过可行域上的点A时,z最大,又A(4.8,0)不是整点,解方程组得点B(4,1)为整点.所以甲货物托运4箱,乙货物托运1箱,可获得最大利润.5x4y242x5y13,【延伸探究】在题2中,若托运甲货物为每箱10(百元),托运乙货物为每箱40(百元),其他条件不变,那么甲、乙两种货物应各托运多少箱,可获得最大利润.【解析】目标函数为z=10x+40y,由图可知,当直线z=10x+40y经过点C时,z最大.又点C(0,)不是整点,而整点(0,2),(1,2),(3,1),(4,1)都在可行域内,将各点代入z=10x+40y,可知当时,z最大,即甲货物托运1箱,乙货物托运2箱,可获得最大利润.135x1y2,【规律总结】求线性规划中最优整数解的三种方法(1)平移直线法:先在可行域内打网格,再描整点,平移直线,最先经过或最后经过的整点坐标便是整点最优解.(2)筛选优值法:当可行域内整点个数较少时,也可将整点坐标逐一代入目标函数求值,经比较得最优解.(3)调整最优值法:先求非整点最优解及最优值,再借助不定方程的知识调整最优值,最后筛选出最优解.提醒:在应用线性规划解决实际问题时,要考虑到未知量的实际意义,特别是有些未知量为整数这一限制条件.【变式训练】求z=600x+300y的最大值,使x,y满足约束条件且x,y均为整数.【解题指南】画出约束条件表示的平面区域即可行域,再分析求解.3xy300x2y252x0y0,,,,【解析】约束条件表示的可行域如图所示,由z=600x+300y,得y=-2x+平移直线y=-2x,由图可知,直线越往上平移z的值越大.易求A(0,126),B(100,0),由方程组解得z300,3xy300x2y252,,348x5456y5,,即点C的坐标为因为题设要求整点(x,y),使z=600x+300y取得最大值,而整点(69,91),(70,90)都在可行域内,将两点坐标代入z=600x+300y,可知当时,z取得最大值,所以zmax=600×70+300×90=69000.31(6991).55,x70y90,
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