人教版高中数学必修五同课异构课件34基本不等式第2课时基本不等式的应用教学能手示范课

abab21.掌握“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”的定理.了解它的变式：(1)a2+b2≥2ab(a，b∈R)；(2)(a，b∈R+)；(3)(ab＞0)；(4)(a，b∈R).以上各式当且仅当a＝b时取等号，并注意各式中字母的取值要求.abba22baab22222baba2.理解四个“平均数”的大小关系；a，b∈R+，则．其中当且仅当a＝b时取等号.2222babaabbaab2复习:变式x0,当x取什么值时,的值最大?最大值是多少?xx1解:因为x0,所以2121xxxx当且仅当时,即x=1时取等号,所以当x=1时,的值最小,最小值为2.xx1xx1练习1.x0,当x取什么值时,的值最小?最小值是多少?xx1解:因为x0,所以-x0.2)1()(2)1()(xxxx当且仅当时,即x=-1时取等号,所以当x=-1时,的值最大,最大值为-2.xx1xx12)]1()[(1xxxx故变式x0,当x取什么值时,的值最大?最大值是多少?xx1已知x,y都是正数,求证:(1)如果积xy是定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值(2)如果和x+y是定值S,那么当x=y时,积xy有最大值;2P.412S证明:∵x,y都是正数,∴.2xyyx(1)积xy为定值P时,有.2,2PyxPyx上式当x=y时取”=”号,因此,当x=y时,和x+y有最小值;2P(2)和x+y为定值S时,有.41,22Sxyyxxy上式当x=y时取”=”号,因此,当x=y时,积xy有最大值.412S极值定理:(1)如果积xy是定值P,那么当xy时,和xy有最小值2P;2(2)如果和xy是定值S,那么当xy时,1积xy有最大值S.4注意：用均值不等式求最值的条件:一正二定三相等用均值不等式求最值的规则:和定积最大,积定和最小例1:2281.已知x0,求x的最小值.x解:,0x,81,22Rxx1881281,2222xxxx得由平均不等式,3,8122时当且仅当xxx.188122的最小值为xx如果给定条件为X≧4结论有变化吗?等号成立，4下列函数中，最小值为的是xxxfA4)(.xxxfBsin4sin)(.xxxfC343)(..()lg4log10xDfxxC,E练习:1.()(2)2Efxxxx225.()1xFfxx极值定理可以理解为:;22)(,)1(minPxyyxyxyxPxyyx有最小值和时且是定值的积与当两个正数.41)2()(,,)2(22maxSyxxyxyyxSyxyx有最大值积时且为定值的和当两个正数用极值定理求最值的三个必要条件:一“正”、二“定”、三“相等”.,最大值定值相加最小值定值相乘2ab(1)已知a,b,x,yR且1,xy求证：xy(ab).解:ybxxaybaybxayxyxyx))((1)(2)(2bayxbxayba2minayxbxa,,(xy)(ab)xyyb当且仅当即时等号成立，例2:,,21,11322,xyRxyxy(2)已知且求证：并指出等号成立的条件。练习1:.)21(,210的最大值求函数已知xxyx解:,210x02x1,12x0,＜＜)21(221xxy.81)2212(212xx.,41,212等号成立时当且仅当xxx.81,41函数的最大值为时当x练习2:40,23.xxx已知求的最大值是_____解,4,3,0Rxxx,3443243xxxx,342)43(2432xxxx42343x,x,23xx3x243.当且仅当时等号成立，的最大值是,3____.abababab2.若均为正数，且，则的取值范围是,,,()()____.acbdabcdbdac1.若均为正数，则的最小值为4ab≥92220,0,1,21babaab3.设求的最大值。练习3:4．(2004年湖北高考)已知4254)(,252xxxxfx则有（）A．最大值45B．最小值45C．最大值1D．最小值15．已知ab，a·b=1则baba22的最小值是.D例3:其容积体无盖贮水池某工厂要建造一个长方,?,,1201,1501,3,4800223最低总造价是多少造价最低问怎样设计水池能使总元的造价为池壁每元的造价为如果池底每深为为mmmm解:,,34800,元水池总造价为则另一边的长为为设水池底面一边的长度ymxxm)348003232(12034800150xxxxy得依题意,)1600(720240000xx.29760016002720240000xx.297600,40,1600有最小值时即当且仅当yxxx.297600,,40,元最低总造价为水池的总造价最低的正方形时当水池的底面是边长为因此mA''''A'''A'A'''A''B练习3:一段长为lm的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,问这个矩形的长,宽各为多少时,菜园的面积最大,最大面积是多少?xxl2解:,)2(,mxlxm则另一边为设矩形靠墙一边的长为)2(xlxS依题意矩形的面积为)2(221)2(xlxxlxS.81)22(412122lxlxl2xl2x,x,.4当且仅当时等号成立，矩形的面积最大练习4:.21,,:2dd这个正方形的面积等于大的为正方形面积最的圆的内接矩形中在直径为求证dx22,,xdx则另一边长为设矩形的一边长为如图证明一)(22222xdxxdxS面积2222221)2(dxdx.22,222时等号成立当且仅当dxxdx.21,2d其最大面积为时即当这个矩形为正方形练习:.21,,:2dd这个正方形的面积等于大的为正方形面积最的圆的内接矩形中在直径为求证证明二dcossin,,dd和则矩形的两边分别为角为设矩形一边与直径的夹如图cossinddS矩形的面积,2sin21cossin22122dd2max1sin21,,Sd42当且仅当时等号成立，.21,2d其最大面积为时即当这个矩形为正方形练习:.21,,:2dd这个正方形的面积等于大的为正方形面积最的圆的内接矩形中在直径为求证.,,,222xySdyxyx面积则设矩形的边长为如图证明三2max1xy,Sd2当且仅当时等号成立，.21,2d其最大面积为时即当这个矩形为正方形dxy,222xyyx222212dyxxyS算术平均数与几何平均数个数的算术平均数叫做这nnaaan21个数的几何平均数叫做这naaann21n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数23求函数y2x,(x0)的最小值.x如:3322243212321232xxxxxxxxy解:3min43y(错解:原因是取不到等号)正解:33322236232932323232323232xxxxxxxxy23min3332x,x,y36.2x22当且仅当时等号成立，