空间点到直线距离的多种解法

1空间点到直线距离的多种解法摘要在空间解析几何中，空间点、直线、平面之间的关系是学习的重点，点和直线的位置关系包括两种：点在直线上，点在直线外.当点在直线外时，点到直线距离的计算随之出现.关于解决点到直线距离的问题，涵盖了空间解析几何中两点间距离、向量运算、直线方程、平面方程等诸多知识点.本文将对一具体例题，介绍点到直线距离的多种解法.关键词点、直线、距离、向量、平面、解法例：求点A（2，4，1）到直线L：32221zyx的距离1运用向量积的计算及向量积的几何意义已知直线方程111xxyyzzXYZ，直线外一点A000,,xyz，直线上一点111,,xyz，以v和A构成平行四边形，这里v为直线的方向向量.显然直线外一点A到直线的距离d就是这平行四边形的对应于以v为底的高.即d=vvA=222101010101010ZYXYXyyxxXZxxzzZYzzyy解：如图（1），过点A作直线L的垂线，垂足为B.设（-1，0，2）为L上任一点，v={2，2，-3}为L的方向向量.以v和A为两边构成平行四边形S=vA，显然点A到直线L的距离AB就是这平行四边形的对应于以v为底的高即AB=vS=vvA=222222322224323313214=32运用平面方程、参数方程及线面交点的方法由点法式得到过线外一点A且与直线垂直的平面方程.将直线方程2111xxyyzzXYZ转化成参数方程111xXtxyYtyzZtz由此设出垂足B坐标，又因为垂足B在平面方程上，即可得出B点坐标.再由两点间距离公式得出点到直线的距离.解：先求过点A与直线L垂直的平面方程.用点法式，得2（x-2）+2(y-4)-3(z-1)=0即2x+2y-3z-9=0将直线L方程用参数方程表示为23212tztytx由此设垂足B的坐标为（2t-1，2t,-3t+2）因B在垂面上得4t-2+4t+9t-6-9=0即t=1所以点B坐标为（1，2，-1）所以AB=222)11()24()12(=33运用两点间距离公式及参数方程的方法将直线方程111xxyyzzXYZ转化成参数方程，可设出直线上任一点坐标.由两点间距离公式得出A的表达式，用取A最小值的方法即得出点到直线的距离.解：由直线L的参数方程23212tztytx可设L上任一点的坐标为（2t-1,2t,-3t+2）由两点距离公式得A=222)13()42()32(ttt=2634172tt=91172t可得当t=1时，A最小值为33所以点到直线距离为34运用两向量垂直，数量积为零的结论由直线方程111xxyyzzXYZ可设出垂足B的坐标，显然vAB,由vAB=0得到点B的坐标，由两点距离公式得到点到直线的距离.解：由直线L的参数方程，可设垂足B的坐标为（2t-1,2t,-3t+2）直线L的方向向量v={2，2，-3}AB={2t-3,2t-4,-3t+1}显然ABv，得ABv=0即2(2t-3)+2(2t-4)-3(-3t+1)=0得t=1所以点B坐标为（1，2，-1）即AB=222)11()24()12(=35运用向量及三角函数的方法连接直线上的点与线外点A得到与直线的夹角，则cos=vAvA，sin=21cos，d=Asin即得点到直线的距离解：如图（1），A={3，4，-1}，v={2，2，-3}cos=vAvA=2617sin=21cos=263A=222)1(43=26AB=Asin=36利用点到平面距离公式的方法确定线外点A和直线所确定的平面并作出一个过直线且垂直于点和直线所4确定平面的另一平面，所求d即为点到作出平面的距离.解：如图(2),设点A和直线L所确定的平面为，过直线L且垂直于的平面为.于是所求距离d即为点A到平面的距离.设平面的法向量为n，则nv另一方面，nn（n为平面的法向量）因此n=nv而n=vA所以n=（vA）v=AvvvvA=3,2,23,2,21,4,3-1,4,33,2,23,2,2=172,2,1不妨取n=2,2,1.得平面的方程为-(x+1)-2y-2(z-2)=0即x+2y+2z-3=0d=222221312422=37运用点与点关与直线对称的方法.找出直线外一点A的对称点A，可知vAA=0得到一个式子（1），又因AA中点在直线上可得到另一个式子（2），解出由（1）（2）两式所组成的方程组，即得A的坐标，由d=2AA得出点到直线的距离.解：设点A关于直线L的对称点为zyxA,,，则vAA=0即zyx134222=0⑴又AA的中点21,24,22zyxa在直线L上5即32212242122zyx⑵解⑴⑵式组成的方程组，得A的坐标为3,0,0.AA=4,4,2d=222442212AA=38运用求极限的方法.对于直线上任一点，由直线方程111xxyyzzXYZ得出的坐标，得到AM的表达式，利用取极小值的方法，即得点到直线的距离.解：设为直线L上一点由32221zyx知点坐标为243,,1yyy.AM=222)1243()4()21(yyy=26174172yy对于26174172yyx因417＞0故x有极小值.极小值为抛物线26174172yyx顶点的纵坐标.x=9AM有极小值3d=3.9运用球面和直线相切的方法以直线外一点为中心作一球面并与直线相切，中心到切点的距离即半径也就是点到直线的距离.解：设球面方程为2222142dzyx6v,0134222111zyx1又为球面上一点2212121142dzyx2又32221111zyx3由123消去111zyx得d=3所以点到直线距离为3.参考文献：[1]吕林根.许子道.解析几何.高等教育出版社.2006.5[2]焦曙光.点到直线的距离.高等数学研究[3]傅文德.求点到直线距离的几种方法.高等数学研究.[4]刘桂香.田素芳.空间点到直线距离的几种求法.周口师专学报.3期