《3.2二倍角的三角函数(二)》教学案

《3.2二倍角的三角函数（二）》教学案第2课时二倍角的三角函数的应用(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)能用倍角公式推导出半角公式．(2)能运用三角函数的公式进行简单的恒等变换．(3)会用三角函数解决一些简单的实际问题．2．过程与方法让学生由倍角公式导出半角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣；通过例题讲解，总结方法，通过做练习，巩固所学知识．3．情感、态度与价值观通过本节的学习，使学生对三角函数各个公式之间有一个全新的认识；理解掌握三角函数各个公式的各种变形，增强学生灵活运用数学知识的能力、逻辑推理能力和综合分析能力，提高逆用思维的能力．●重点难点重点：角的和、差、倍公式的综合应用．难点：运用所学公式解决简单的实际问题．教学方案设计(教师用书独具)●教学建议关于半角公式的教学教学时，建议教师从让学生回忆二倍角的三个余弦公式出发，提出问题“如何用角θ的三角函数值，表示角θ2的三角函数值”．在此基础上，让学生自主归纳探究，并总结出半角公式，然后结合半角公式的特点，师生共同总结出公式记忆方法，最后通过典型例题及题组训练熟悉并掌握半角公式．整个教学立足于体现一种“以思导学”的知识生成过程．●教学流程创设问题情境，引导学生推导出降幂公式与半角公式，并总结公式的特点及作用.⇒通过例1及其互动探究，使学生掌握利用降幂公式进行三角函数式的化简与证明的方法.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握利用和、差、倍角公式研究函数的性质的解题方法.⇒通过例3及其变式训练，使学生掌握解决三角函数实际应用问题的思路及方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课前自主导学课标解读1.能用二倍角公式导出半角公式．2.能运用所学三角函数的公式进行简单的恒等变换．(重点)3.会用三角函数解决一些简单的实际问题．(难点)降幂公式与半角公式【问题导思】已知cosα的值，如何求sinα2的值？【提示】由cosα＝1－2sin2α2得sin2α2＝1－cosα2，∴sinα2＝±1－cosα2.(1)降幂公式①sin2α2＝1－cosα2；②cos2α2＝1＋cosα2；③tan2α2＝sin2α2cos2α2＝1－cosα1＋cosα.(2)半角公式①sinα2＝±1－cosα2；②cosα2＝±1＋cosα2；③tanα2＝±1－cosα1＋cosα＝sinα1＋cosα＝1－cosαsinα.课堂互动探究三角函数式的化简与证明例1化简cos2(θ＋15°)＋cos2(θ－15°)－32cos2θ.【思路探究】此式中出现了θ＋15°，θ－15°与2θ，要达到角的统一，需将角θ＋15°，θ－15°向角2θ进行转化，因此，可考虑降幂公式．【自主解答】cos2(θ＋15°)＋cos2(θ－15°)－32cos2θ＝1＋θ＋2＋1＋θ－2－32cos2θ＝1＋12[cos(2θ＋30°)＋cos(2θ－30°)]－32cos2θ＝1＋12(cos2θcos30°－sin2θsin30°＋cos2θcos30°＋sin2θsin30°)－32cos2θ＝1＋12×2cos2θcos30°－32cos2θ＝1＋32cos2θ－32cos2θ＝1.规律方法1．应用降幂公式可将“二次式”转化为“一次式”．2．三角函数式的化简，一般从减少角的种类、减少函数的种类、改变函数运算的结构入手，常采用化弦法、化切法、异角化同角、异次化同次、异名化同名等方法，达到化简的目的．互动探究如将本例改为“sin2(θ＋15°)＋sin2(θ－15°)＋32cos2θ”，如何化简？【解】原式＝1－θ＋2＋1－θ－2＋32cos2θ＝1－12[cos(2θ＋30°)＋cos(2θ－30°)]＋32cos2θ＝1－12()2cos2θ·cos30°＋32cos2θ＝1－32cos2θ＋32cos2θ＝1.利用和、差、倍角公式研究函数的性质例2求函数f(x)＝53cos2x＋3sin2x－4sinxcosx，x∈[π4，7π24]的最小值，并求其单调减区间．【思路探究】化简fx的解析式→fx＝Aωx＋φ＋B→ωx＋φ的范围→求最小值，单调减区间【自主解答】f(x)＝53·1＋cos2x2＋3·1－cos2x2－2sin2x＝33＋23cos2x－2sin2x＝33＋4(32cos2x－12sin2x)＝33＋4(sinπ3cos2x－cosπ3sin2x)＝33＋4sin(π3－2x)＝33－4sin(2x－π3)，∵π4≤x≤7π24，∴π6≤2x－π3≤π4.∴sin(2x－π3)∈[12，22]．∴当2x－π3＝π4，即x＝7π24时，f(x)取最小值为33－22.∵y＝sin(2x－π3)在[π4，7π24]上单调递增，∴f(x)在[π4，7π24]上单调递减．规律方法1．研究函数性质的一般步骤：(1)对函数式化简；(2)借用函数图象，运用数形结合法研究函数的性质．2．对三角函数式化简的常用方法：(1)降幂化倍角；(2)升幂角减半；(3)利用f(x)＝asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)(其中tanφ＝ba)，化同名函数．变式训练(2013·济宁高一检测)已知函数f(x)＝2cos2x＋23sinxcosx＋3，x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)在(0，π3]上的最小值与最大值．【解】(1)f(x)＝2cos2x＋23sinxcosx＋3＝cos2x＋3sin2x＋4＝2sin(2x＋π6)＋4.所以函数f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)∵0＜x≤π3，∴π6＜2x＋π6≤5π6，当x＝π3时，2x＋π6＝5π6，函数f(x)取得最小值为5.当x＝π6时，2x＋π6＝π2，函数f(x)取得最大值为6.三角函数的实际应用例3点P在直径AB＝1的半圆上移动，过P作圆的切线PT，且PT＝1，∠PAB＝α，问α为何值时，四边形ABTP的面积最大？【思路探究】首先根据题意画出图形，然后根据圆的几何性质和四边形面积的求法，将四边形的面积表示为三角函数的形式，最后利用三角函数的性质解决．【自主解答】如图，∵AB为直径，∴∠APB＝90°，PA＝cosα，PB＝sinα.又PT切圆于P点，∴∠TPB＝∠PAB＝α，∴S四边形ABTP＝S△PAB＋S△TPB＝12PA·PB＋12PT·PBsinα＝12sinαcosα＋12sin2α＝14sin2α＋1－cos2α4＝14(sin2α－cos2α)＋14＝24sin(2α－π4)＋14.∵0＜α＜π2，∴－π4＜2α－π4＜3π4.∴当2α－π4＝π2，即当α＝3π8时，四边形ABTP的面积最大，最大为1＋24.规律方法解决实际问题时，应首先设定主变量角α以及相关的常量与变量，建立含有角α的三角函数的关系式，再利用三角变换、三角函数的性质等进行求解．一般地，求最值的问题需利用三角函数的有界性来解决．变式训练某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1m，求割出的长方形桌面的最大面积为________．【解析】如图，连结OC，设∠COB＝θ，则0°＜θ＜45°，OC＝1，∵AB＝OB－OA＝cosθ－AD＝cosθ－BC＝cosθ－sinθ，∴S矩形ABCD＝AB·BC＝(cosθ－sinθ)sinθ＝－sin2θ＋sinθcosθ＝－12(1－cos2θ)＋12sin2θ＝12(sin2θ＋cos2θ)－12＝22cos(2θ－π4)－12，当2θ－π4＝0，即θ＝π8时，Smax＝2－12(m2)，∴割出的长方形桌面的最大面积为2－12m2.【答案】2－12m2易错易误辨析三角函数式化简时忽视角的范围致误典例已知3π2＜α＜2π，化简12＋1212＋12cosα.【错解】12＋1212＋12cosα＝12＋121＋cosα2＝12＋12cos2α2＝12＋12cosα2＝1＋cosα22＝cos2α4＝cosα4.【错因分析】上述错解在于运用倍角公式从里到外去根号时，没有顾及角的范围而选择正、负号，只是机械地套用公式．【防范措施】应根据三角函数式的值的符号去掉绝对值，因此在去掉三角函数式的绝对值符号时，要注意角的范围问题．【正解】12＋1212＋12cosα＝12＋121＋cosα2＝12＋12cos2α2＝12＋12|cosα2|.因为3π2＜α＜2π，所以3π4＜α2＜π，所以cosα2＜0，所以原式＝12－12cosα2＝1－cosα22＝sin2α4＝|sinα4|.因为3π2＜α＜2π，所以3π8＜α4＜π2，所以sinα4＞0，所以原式＝sinα4.(1)二倍角余弦公式变形用来升幂降幂，应灵活掌握：sin2α＝1－cos2α2，cos2α＝1＋cos2α2.(2)解决有关的化简、求值、证明时注意二倍角公式的综合运用．(3)对于三角函数在实际问题中的应用，其求解策略为引入恰当的辅助角，建立有关辅助角的三角函数表达式，并利用和、差、倍角公式进行化简整理．由于引入辅助角的恰当与否直接影响该题的计算量，故求解时多注意分析题设，恰当引入．当堂双基达标1．若cosα＝13，且α∈(0，π)，则sinα2的值为________．【解析】∵α∈(0，π)，∴α2∈(0，π2)，∴sinα2＝1－cosα2＝13＝33.【答案】332．已知cosα＝－35，且π＜α＜3π2，则cosα2＝________.【解析】∵π＜α＜32π，∴π2＜α2＜34π，∴cosα2＝－1＋cosα2＝－1－352＝－55.【答案】－553．已知tanα2＝3，则cosα＝________.【解析】由tanα2＝1－cosα1＋cosα＝3可得：1－cosα1＋cosα＝9，则cosα＝－45.【答案】－454．化简：＋sinθ＋cosθθ2－cosθ22＋2cosθ(0＜θ＜π)．【解】原式＝θ2cosθ2＋2cos2θ2θ2－cosθ24cos2θ2＝cosθ22θ2－cos2θ2|cosθ2|＝－cosθ2cosθ|cosθ2|.∵0＜θ＜π，∴0＜θ2＜π2.∴cosθ2＞0.∴原式＝－cosθ.课后知能检测一、填空题1．sinπ8＝________.【解析】sinπ8＝1－cosπ42＝1－222＝2－22.【答案】2－222.－23＋43cos215°＝________.【解析】原式＝－23＋43×1＋cos30°2＝－23＋23＋23cos30°＝33.【答案】333．5πθ6π，cosθ2＝a，则sinθ4＝________.【解析】∵5πθ6π，∴5π4θ43π2，∴sinθ40.sinθ4＝－1－cosθ22＝－1－a2.【答案】－1－a24．函数f(x)＝2cosx(sinx＋cosx)的最小正周期为________．【解析】f(x)＝2cosx(sinx＋cosx)＝2cosxsinx＋2cos2x＝sin2x＋cos2x＋1＝2sin(2x＋π4)＋1.故最小正周期为T＝2π2＝π.【答案】π5.2＋2cos8＋21－sin8的化简结果是________．【解析】原式＝2|cos4|＋2|sin4－cos4|.∵54π＜4，∴cos4＜0，sin4＜cos4.∴原式＝－2cos4＋2cos4－2sin4＝－2sin4.【答案】－2sin46．在△ABC中，角A、B、C满足4sin2A＋C2－cos2B＝72，则角B的度数为________．【解析】在△ABC中，A＋B＋C＝180°，由4sin2A＋C2－cos2B＝72，得4·1－A＋C2－2cos2B＋1＝72，∴4cos2B－4cosB＋1＝0.∴cosB＝12，B＝60°.【答案】60°7．(2013·四川高考)设sin2α＝－sinα，α∈(π2，π)，则tan2α的值是________．【解析】∵sin2α＝－sinα，∴2sinαcosα＝－sinα.∵α∈