数学建模～插值与拟合

插值与拟合一、插值的基本原理二、拟合的基本原理三、插值与拟合的关系四、插值的MATLAB实现五、拟合的Matlab实现我们经常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，例如数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。此类问题在MATLAB中有很多现成的函数可以调用，熟悉MATLAB，这些方法都能游刃有余的用好。一、概述数据拟合在很多赛题中有应用，与图形处理有关的问题很多与插值和拟合有关系，例如98年美国赛A题，生物组织切片的三维插值处理，94年A题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，2003年吵的沸沸扬扬的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的走向进行处理，2005年的雨量预报的评价的插值计算。2001年的公交车调度拟合问题，2003年的饮酒驾车拟合问题。预测点和实测点的图形插值后的图形喝两瓶酒的拟合曲线喝1-5瓶酒的拟合曲线在实际中，常常要处理由实验或测量所得到的一些离散数据。插值与拟合方法就是要通过这些数据去确定某一类已知函数的参数或寻求某个近似函数，使所得到的近似函数与已知数据有较高的拟合精度。如果要求这个近似函数（曲线或曲面）经过所已知的所有数据点，则称此类问题为插值问题。（不需要函数表达式）二、基本概念如果不要求近似函数通过所有数据点，而是要求它能较好地反映数据变化规律的近似函数的方法称为数据拟合。（必须有函数表达式）近似函数不一定（曲线或曲面）通过所有的数据点。1、联系都是根据实际中一组已知数据来构造一个能够反映数据变化规律的近似函数的方法。2、区别插值问题不一定得到近似函数的表达形式，仅通过插值方法找到未知点对应的值。数据拟合要求得到一个具体的近似函数的表达式。三、插值与拟合的区别和联系四、插值的使用及求解当数据量不够，需要补充，且认定已有数据可信时,通常利用函数插值方法。实际问题当中碰到的函数f(x)是各种各样的，有的表达式很复杂，有的甚至给不出数学的式子，只提供了一些离散数据，警如，某些点上的函数值和导数值。4.1引言选用不同类型的插值函数，逼近的效果就不同，一般有：（1）拉格朗日插值（lagrange插值）（2）分段线性插值（3）Hermite（4）三次样条插值。4.2插值方法Matlab实现：实现分段线性插值不需要编制函数程序，它自身提供了内部的功能函数interp1(一维插值)interp2(二维)interp3(三维)intern(n维)4.3MATLAB实现插值用MATLAB作插值计算一维插值函数：yi=interp1(x，y，xi，'method')插值方法被插值点插值节点xi处的插值结果‘nearest’最邻近插值；‘linear’线性插值；‘spline’三次样条插值；‘cubic’立方插值；缺省时分段线性插值．注意：所有的插值方法都要求x是单调的，并且xi不能够超过x的范围．例：从1点12点的11小时内，每隔1小时测量一次温度，测得的温度的数值依次为：5，8，9，15，25，29，31，30，22，25，27，24．试估计每隔1/10小时的温度值．hours=1:12;temps=[589152529313022252724];h=1:0.1:12;t=interp1(hours,temps,h,'spline');plot(hours,temps,'k+',h,t,'b',hours,temps,'r:')%作图xlabel('Hour'),ylabel('DegreesCelsius')xy机翼下轮廓线X035791112131415Y01.21.72.02.12.01.81.21.01.6例已知飞机下轮廓线上数据如下，求x每改变0.1时的y值．•x0=[035791112131415];•y0=[01.21.72.02.12.01.81.21.01.6];•x=0:0.1:15;•y1=interp1(x0,y0,x,'cubic');•y2=interp1(x0,y0,x);•y3=interp1(x0,y0,x,'spline');•subplot(3,1,1)•plot(x0,y0,'k+',x,y1,'r')•grid•title('cubic')•subplot(3,1,2)•plot(x0,y0,'k+',x,y2,'r')•grid•title('piecewiselinear')•subplot(3,1,3)•plot(x0,y0,'k+',x,y3,'r')•grid•title('spline')返回要求x0,y0单调；x，y可取为矩阵，或x取行向量，y取为列向量，x,y的值分别不能超出x0,y0的范围．z=interp2(x0,y0,z0,x,y,’method’)被插值点插值方法用MATLAB作网格节点数据的插值插值节点被插值点的函数值‘nearest’最邻近插值；‘linear’双线性插值；‘cubic’双三次插值；缺省时双线性插值.例：测得平板表面3×5网格点处的温度分别为：828180828479636165818484828586试作出平板表面的温度分布曲面z=f(x,y)的图形．输入以下命令：x=1:5;y=1:3;temps=[8281808284;7963616581;8484828586];mesh(x,y,temps)1.先在三维坐标画出原始数据，画出粗糙的温度分布曲线图.2．以平滑数据,在x、y方向上每隔0.2个单位的地方进行插值.再输入以下命令:xi=1:0.2:5;yi=1:0.2:3;zi=interp2(x,y,temps,xi',yi,'cubic');mesh(xi,yi,zi)画出插值后的温度分布曲面图.例山区地貌：在某山区测得一些地点的高程如下表。平面区域为1200=x=4000,1200=y=3600)试作出该山区的地貌图和等高线图，并对几种插值方法进行比较。XY12001600200024002800320036004000120011301250128012301040900500700160013201450142014001300700900850200013901500150014009001100106095024001500120011001350145012001150101028001500120011001550160015501380107032001500155016001550160016001600155036001480150015501510143013001200980通过此例对最近邻点插值、双线性插值方法和双三次插值方法的插值效果进行比较．•x=1200:400:4000;•y=1200:400:3600;•z=[11301250128012301040900500700;...•13201450142014001300700900850;...•139015001500140090011001060950;...•15001200110013501450120011501010;...•15001200110015501600155013801070;...•15001550160015501600160016001550;...•1480150015501510143013001200980];•输入原始数据:•figure(1);•meshz(x,y,z)•xlabel('X'),ylabel('Y'),zlabel('Z')••xi=1200:50:4000;•yi=1200:50:3600;••figure(2)•z1i=interp2(x,y,z,xi,yi','nearest');•surfc(xi,yi,z1i)•xlabel('X'),ylabel('Y'),zlabel('Z')••figure(3)•z2i=interp2(x,y,z,xi,yi');•surfc(xi,yi,z2i)•xlabel('X'),ylabel('Y'),zlabel('Z')••figure(4)•z3i=interp2(x,y,z,xi,yi','cubic');•surfc(xi,yi,z3i)•xlabel('X'),ylabel('Y'),zlabel('Z')••figure(5)•subplot(1,3,1),contour(xi,yi,z1i,10,'r');•subplot(1,3,2),contour(xi,yi,z2i,10,'r');•subplot(1,3,3),contour(xi,yi,z3i,10,'r');注:surfc函数功能在矩形区域内显示三维带阴影曲面图,且在曲面下面画出等高线。meshc函数生成带等高线网线图meshz函数生成带垂帘的网线图数据插值与图形绘制:插值函数griddata格式为:cz=griddata（x，y，z，cx，cy，‘method’）用MATLAB作散点数据的插值计算要求cx取行向量，cy取为列向量．被插值点插值方法插值节点被插值点的函数值‘nearest’最邻近插值‘linear’双线性插值‘cubic’双三次插值'v4'-MATLAB提供的插值方法缺省时,双线性插值例在某海域测得一些点(x,y)处的水深z由下表给出，船的吃水深度为5英尺，在矩形区域（75，200）×（-50，150）里的哪些地方船要避免进入．xyz129140103.588185.51951057.5141.52314722.5137.585.54868688xyz157.5107.57781162162117.5-6.5-81356.5-66.584-33.599889494.作出水深小于5的海域范围,即z=5的等高线.2.在矩形区域(75,200)×(-50,150)进行插值。1.输入插值基点数据3.作海底曲面图%程序一：插值并作海底曲面图x=[129.0140.0103.588.0185.5195.0105.5157.5107.577.081.0162.0162.0117.5];y=[7.5141.523.0147.022.5137.585.5-6.5-813.056.5-66.584.0-33.5];z=[48686889988949];x1=75:1:200;y1=-50:1:150;[x1,y1]=meshgrid(x1,y1);z1=griddata(x,y,z,x1,y1,'v4');meshc(x1,y1,z1)海底曲面图%程序二：插值并作出水深小于5的海域范围。x1=75:1:200;y1=-50:1:150;[x1,y1]=meshgrid(x1,y1);z1=griddata(x,y,z,x1,y1,'v4');%插值z1(z1=5)=nan;%将水深大于5的置为nan，这样绘图就不会显示出来meshc(x1,y1,z1)水深小于5的海域范围5.1引言对于情况较复杂的实际问题（因素不易化简，作用机理不详）可直接使用数据组建模，寻找简单的因果变量之间的数量关系，从而对未知的情形作预报。这样组建的模型为拟合模型。拟合模型的组建主要是处理好观测数据的误差，使用数学表达式从数量上近似因果变量之间的关系。拟合模型的组建是通过对有关变量的观测数据的观察、分析和选择恰当的数学表达方式得到的。五、拟合的使用及求解5.2拟合模型的分类5.2.1直线拟合5.2.2曲线拟合5.2.3观察数据修匀对于已给一批实测数据，由于实测方法、实验环境等一些外界因素的影响，不可避免地会产生随机干扰和误差。我们自然希望根据数据分布的总趋势去剔除观察数据中的偶然误差，这就是所谓的数据修匀（或称数据平滑）问题。直线拟合问题引例1温度t(ºC)20.532.751.073.095.7电阻R()7658268739421032已知热敏电阻数据：求60ºC时的电阻R．2040608010070080090010001100设R=at+ba,b为待定系数曲线拟合问题引例2t(h)0.250.511.523468c(g