泛函分析第2章-度量空间与赋范线性空间

第二章度量空间与赋范线性空间第2章度量空间与赋范线性空间度量空间在泛函分析中是最基本的概念。事实上，它是n维欧几里得空间nR的推广，它为统一处理分析学各分支的重要问题提供了一个共同的基础。它研究的范围非常广泛，包括了在工程技术、物理学、数学中遇到的许多很有用的函数空间。因而，度量空间理论已成为从事科学研究所不可缺少的知识。2.1度量空间的基本概念2.1.1距离（度量）空间的概念在微积分中，我们研究了定义在实数空间R上的函数，在研究函数的分析性质，如连续性，可微性及可积性中，我们利用了R上现有的距离函数d，即对yxyxdRyx),(,,。度量是上述距离的一般化：用抽象集合X代替实数集，并在X上引入距离函数，满足距离函数所具备的几条基本性质。【定义2.1】设X是一个非空集合，),(：,0XX是一个定义在直积XX上的二元函数，如果满足如下性质：（1）非负性yxyxyxXyx0,(,0),(,,；（2）对称性),(),(,,xyyxXyx（3）三角不等式),(),(),(,,,yzzxyxXzyx；则称),(yx是X中两个元素x与y的距离（或度量）。此时，称X按),(成为一个度量空间（或距离空间），记为),(X。注：X中的非空子集A，按照X中的距离),(显然也构成一个度量空间，称为X的子空间。当不致引起混淆时，),(X可简记为X,并且常称X中的元素为点。例2.1离散的距离空间设X是任意非空集合，对X中任意两点,,xyX令1(,)0xyxyxy显然，这样定义的),(满足距离的全部条件，我们称(,)X是离散的距离空间。这种距离是最粗的。它只能区分X中任意两个元素是否相同，不能区分应用泛函分析(第二版)元素间的远近程度。此例说明，在任何非空集合上总可以定义距离，使它成为度量空间。例2.2n维欧几里得空间nR表示n维向量12,,,nxxxx的全体组成的集合，也表示n个实数12,,,nxxx组成的数组12,,,nxxx的全体形成的集合。对12,,,nxxxx，12,,,nnyyyyR，定义1221(,)()niiixyxy（2.1）下面来证),(满足度量定义中的条件（1）~（3）。由式（2.1）不难验证),(满足条件（1），（2）。为证满足条件（3），需利用2p时的离散型Minkowski不等式（见1.5节）。取12,,,nnzzzzR，则有1122221111222211(,)()()()()()(,)(,)nniiiiiiiinniiiiiixyxyxzzyxzzyxzzy因此，nR是一距离空间。(,)nR称为n维欧氏空间。注：若在nR中规定11(,)maxiiinxyxy（2.1ˊ）则1(,)nR也是距离空间（读者自己验证）例2.3所有数列组成的集合S，对,,nnabS定义11(,)21nnninnabab（2.2）那么(,)是S上的度量。式（2.2）通常称为Fréchet组合。(,)显然满足度量条件（1）~（2），我们来证也满足条件（3）。事实上，对,第二章度量空间与赋范线性空间及,ncS由于函数()(0)1xxxx是单调增函数，因此由nnnnnnabaccb得1111nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnabaccbaccbabaccbaccb在上市不等式两边同乘12n再求和，便得(,)(,)(,)因此(,)S是距离空间。例2.4连续函数空间,,Cab对,,,fgCab定义(,)max()()atbfgftgt（2.3）则(,)fg是,Cab上的一个度量。(,)fg显然满足度量条件（1）~（2）。对另一连续函数,,hCab由()()()()()()max()()max()()=(,)(,),(,)atbathftgtfththtgtfththtgtfhhgtab所以(,)(,)(,)fgfhhg例2.5函数类()(1)pLEp（参见1.6节）,对,()pfgLE定义1(,)()()ppEfgftgtdt（2.4）则(,)fg是()pLE上的一个度量，((),)pLE是度量空间。由1(,)0(()())0ppEfgftgtdt根据Lebesgue积分的性质有()()ftgtae。反之，若()()ftgtae，则(,)0fg。所以，(,)fg满足度量定义2.1中条件（1）；条件（2）显然满足；应用泛函分析(第二版)对另一函数()phLE，根据1.6节Minkowski不等式有(,)(,)(,)pppfgfgfhhgfhhg即(,)fg满足度量定义条件（3），所以(,)fg是()pLE上的一个度量，((),)pLE是度量空间。例2.6,Lab是本性有界可测函数的全体，即,ab上除某个零测度外，在它的补集上是有界的可测函数全体。对,,,fgLab定义0,,,(,)infsup()()varsup()()mEtabEtabEabfgftgtiftgt（2.5）则(,)fg是,Lab上的一个度量，(,,)Lab是度量空间。由式（2.5）显然可知，(,)fg满足度量条件（1）~（2）。现证(,)fg满足度量条件（3），对,,,fghLab及0存在12,,,EabEab且120,mEmE使11,,sup()()(,)2sup()()(,)2tabEtabEfthtfhhtgthg从而有1212121212,,,,,,(,)sup()()sup()()()()sup()()sup()()sup()()sup()()tabEEtabEEtabEEtatEEtabEtabEfgftgtfththtgtfththtgtfththtgt(,)(,)fhhg令0得(,)(,)(,)fgfhhg。所以(,)fg是,Lab上的一个度量，(,,)Lab是度量空间。2.1.2距离空间中点列的收敛性非空集合X引入距离（度量）后，就可以在其上定义点列的收敛概念。第二章度量空间与赋范线性空间【定义2.2】设X是一个度量空间，,,(1,2,)nxxXn称点列nx收敛于x，是指(,)0(),nxxnx叫做点列nx的极限，记作limnnxx或()nxxx。度量空间中点列收敛性质与数列的收敛性质有许多共同之处。【定理2.1】度量空间(,)X中的收敛点列nx的极限是唯一的，且若nx收敛于,xX则nx的任意子列kxx也收敛于x。证明：首先证明定理的第一部分。设,xyX都是nx的极限，则对,nN有(,)(,)(,)nnxyxxxy令n有(,)0,(,)0,nnxxxy必然有(,)0,xy因此,xy这说明nx最多有一个极限。其次证明定理的第二部分。设nx收敛于xX，于是0，存在自然数N，当nN时，(,)nxx。由于knN，从而当kn时，也有(,),knxx故knx收敛于x。证毕。下面讨论某些具体空间中点列收敛的具体含义。例2.7nR空间中点列(0)()()()12,,,mmmnxxxx按度量式（2.1）收敛于(0)(0)(0)(0)12,,,nxxxx的充分必要条件是对每个,(1)iin有()(0)()miixxm，即按坐标收敛。证明：对(1)iin，由于122()(0)()(0)()(0)1(,)nmmmiikkkxxxxxx因此，当()(0)()0()mxxm时，一定有()(0)0()miixxm，()(0)()miixxm。由于应用泛函分析(第二版)122()(0)()(0)()(0)()(0)()(0)11221()nmmmmmkknnkxxxxxxxxxx所以，对,(1)iin，当()(0)()miixxm时()(0)()0()mxxm。证毕。同样我们也可以证明nR中点列nx按距离式（2.1′）收敛于(0)x的充要条件是对于每个,(1)iin，有()(0)()miixxm。例2.8,Cab空间中点列nf按式（2.3）度量收敛于0,fCab的充分必要条件是nf在,ab上一致收敛于0f。证明：由0(,)0(),nffn知对0,,N当nN时，0max()(),natbftft即对任意,,tab当nN时，0()(),nftft所以nf在,ab上一致收敛于0f。若nf在,ab上一致收敛于0f，则对0,,N当nN时，对于,tab恒有0()(),nftft从而0max()(),natbftft即0(,)0()nffn。证毕。若,Cab按式（2.4）定义度量，则,Cab就构成,pLab的子空间，令1()(),,(1,2,)()nnnxttatabnba由勒贝格控制收敛定理，nx在,pLab中收敛于()0,xt显然,,nxCab但nx不一致收敛于()0xt。例2.7，例2.8表明，如果在一个非空集合上定义了两个度量，那么，由它们导出的收敛概念可以是一致的，也可以是不一致的。但当我们引入了适当的距离后，都可以统一在距离空间中考虑收敛概念，这就为统一处理各个具体空间提供了方便。习题2.11．对,xyR，定义2(,)(),(,)xyxyxy是R上的距离吗？若是，给出证明，若不是，为什么？第二章度量空间与赋范线性空间2．对,xyR，规定(,),xyxy证明(,)R是距离空间。3．把所有收敛数列的集合记为c，对,,,,(1,2,),iixycxxyyi定义(,)sup,iiiNxyxy证明(,)c是距离空间。4．设X是度量空间，在X中若,()nnxxyyn。证明：(,)(,)nnxyxy。5．设()()()()12,,,,(1,2,),mmmmnxxxxn及12,,,,nxxxS，证明点列()mx收敛于x的充分必要条件是()mx依坐标收敛于x，即对每个自然数(),()miiixxm2.2度量空间中的开、闭集与连续映射在第1章中,我们对nR空间中的点集进行了详细讨论,介绍了开集、闭集等一系列概念，为了更深入研究度量空间中集合的内在结构，本节我们将把这些概念推广到一般度量空间中，其中大多数定义的叙述和定理的证明与以前的行文相似。2.2.1度量空间中的开、闭集【定义2.3】设X是度量空间，0xX，0r是一个正数，点集0{|(,)xxx,}rxX称为以0x为中心、以r为半径的开球，或0x的r邻域，记为0()rBx或0(,)rBxr；点集0{|(,)xxx,}rxX称为以0x为中心、以r为半径的闭球，记为0()rBx或0(,)rBxr。X中的点列{}nx收敛于xX，用邻域的术语来说，就是：对于x的任意邻域(,)Bx，存在自然数N，使当nN时，(,)nxBx。例2.9设X