选修4-4坐标系与参数方程-高考题及答案

1、已知在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为33xtyt，（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C的极坐标方程为24s30co.①求直线l普通方程和曲线C的直角坐标方程；②设点P是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的取值范围.2、已知曲线C1的参数方程是x＝2cosφ，y＝3sinφ，(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A、B、C、D依逆时针次序排列，点A的极坐标为(2，π3)．(Ⅰ)求点A、B、C、D的直角坐标；(Ⅱ)设P为C1上任意一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的取值范围．3、在直角坐标系xOy中，圆C1：x2＋y2＝4，圆C2：(x－2)2＋y2＝4.(Ⅰ)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标(用极坐标表示)；(Ⅱ)求圆C1与C2的公共弦的参数方程．4、在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x－y＋4＝0，曲线C的参数方程为x＝3cosα，y＝sinα(α为参数)．(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为(4，π2)，判断点P与直线l的位置关系；(2)设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．5、在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝2cosα，y＝2＋2sinα.(α为参数)．M是C1上的动点，P点满足OP→＝2OM→，P点的轨迹为曲线C2.(1)求C2的方程；(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|.6、已知P为半圆C：x＝cosθy＝sinθ(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A的坐标为(1,0)，O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧AP的长度均为π3.(1)以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；(2)求直线AM的参数方程．7、在极坐标系中，已知圆C经过点P2，π4，圆心为直线ρsinθ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．8、在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l上两点M，N的极坐标分别为(2,0)，233，π2，圆C的参数方程为x＝2＋2cosθ，y＝－3＋2sinθ(θ为参数)．(1)设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；(2)判断直线l与圆C的位置关系．1、【答案】①直线l的普通方程为：3330xy.曲线C的直角坐标方程为：22430xyx【或22(2)1xy】.②曲线C的标准方程为22(2)1xy，圆心(2,0)C，半径为1；∴圆心(2,0)C到直线l的距离为:|23033|5322d所以点P到直线l的距离的取值范围是5353[1,1]222、解：(Ⅰ)由已知可得A(2cosπ3，2sinπ3)，B(2cos(π3＋π2)，2sin(π3＋π2))，C(2cos(π3＋π)，2sin(π3＋π))，D(2cos(π3＋3π2)，2sin(π3＋3π2))，即A(1，3)，B(－3，1)，C(－1，－3)，D(3，－1)．(Ⅱ)设P(2cosφ，3sinφ)，令S＝|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2，则S＝16cos2φ＋36sin2φ＋16＝32＋20sin2φ.因为0≤sin2φ≤1，所以S的取值范围是[32，52]．3、解：(Ⅰ)圆C1的极坐标方程为ρ＝2，圆C2的极坐标方程ρ＝4cosθ.解ρ＝2ρ＝4cosθ，得ρ＝2，θ＝±π3，故圆C1与圆C2交点的坐标为(2，π3)，(2，－π3)．注：极坐标系下点的表示不唯一．(Ⅱ)法一：由x＝ρcosθy＝ρsinθ，得圆C1与C2交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，－3)．故圆C1与C2的公共弦的参数方程为x＝1y＝t，－3≤t≤3.(或参数方程写成x＝1y＝y，－3≤y≤3)法二：将x＝1代入x＝ρcosθy＝ρsinθ，得ρcosθ＝1，从而ρ＝1cosθ.于是圆C1与C2的公共弦的参数方程为x＝1y＝tanθ，－π3≤θ≤π3.4、(1)把极坐标系的点P(4，π2)化为直角坐标，得P(0,4)，因为点P的直角坐标(0,4)满足直线l的方程x－y＋4＝0，所以点P在直线l上．(2)因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为(3cosα，sinα)，从而点Q到直线l的距离d＝|3cosα－sinα＋4|2＝α＋π6＋42＝2cos(α＋π6)＋22，由此得，当cos(α＋π6)＝－1时，d取得最小值，且最小值为2.5、(1)设P(x，y)，则由条件知Mx2，y2.由于M点在C1上，所以x2＝2cosα，y2＝2＋2sinα，即x＝4cosα，y＝4＋4sinα.从而C2的参数方程为x＝4cosα，y＝4＋4sinα.(α为参数)(2)曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8sinθ.射线θ＝π3与C1的交点A的极径为ρ1＝4sinπ3，射线θ＝π3与C2的交点B的极径为ρ2＝8sinπ3.所以|AB|＝|ρ2－ρ1|＝23.6、(1)由已知，M点的极角为π3，且M点的极径等于π3，故点M的极坐标为π3，π3.(2)M点的直角坐标为π6，3π6，A(1,0)，故直线AM的参数方程为x＝1＋π6－1t，y＝3π6t，(t为参数)．7、解：在ρsinθ－π3＝－32中令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C的圆心坐标为(1,0)．因为圆C经过点P2，π4，所以圆C的半径PC＝22＋12－2×1×2cosπ4＝1，于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.8、解：(1)由题意知，M，N的平面直角坐标分别为(2,0)，0，233，又P为线段MN的中点，从而点P的平面直角坐标为1，33，故直线OP的平面直角坐标方程为y＝33x.(2)因为直线l上两点M，N的平面直角坐标分别为(2,0)，0，233，所以直线l的平面直角坐标方程为3x＋3y－23＝0.又圆C的圆心坐标为(2，－3)，半径r＝2，圆心到直线l的距离d＝|23－33－23|3＋9＝32＜r，故直线l与圆C相交．