任意项级数敛散性(完整)

二、交错级数判别法定义，设0nu则称nnnu11)1(nnnu1)1(或为交错级数定理1)（Leibniz判别法nnnu11)1(若满足(2)1nnuu(3)nlimnu0则其,收敛且和;1us0nu(1)证明nnnnuuuuuus212223212)()(又)()()(21243212nnnuuuuuus1u,01nnuu.lim12ussnn,0lim12nnu2{},ns数列单调增加2{},ns数列有界)(limlim12212nnnnnuss,s.,1uss且级数收敛于和解例讨论交错级数的敛散性.n1)1(11nn1111nnunnu01limnn且n1)1(11nn收敛,且其和为,1s类似得,均收敛.n1)1(11nn21)1(n11nn例审敛2n1)1(nnn1nnuu即nnulim又1limnnn0故收敛111111()1-1-111110(1)(1)nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn＋＋＋＋－＝（）（）＋＋＋例讨论级数的敛散性.)1()1(11nnnn)1(limlimnnunnn)12()1(1nnnnuunn又解.011limnnn12111nnnn0)12)(1()2(nnnnnn即1nnuu)1()1(11nnnn收敛.例讨论级数的敛散性.21112)1(nnnn012limlim2nnunnn解)2(0)1(2)12(32xxxxx又故函数单减,从而212nn.1nnuu所以原级数收敛.注意1.满足莱布尼兹定理条件的级数称为莱布尼兹型级数.如均为莱布尼兹型级数.n1)1(11nnn1)1(,11nn2.莱布尼兹定理的两个条件仅是充分条件,但也是必要条件.0limnnu三、绝对与条件收敛收敛定义设级数1nnu)1(1nnu若,收敛则称1nnu绝对收敛)2(1nnu若,发散1nnu但,收敛则称1nnu条件收敛定理21nnu若,收敛1nnu则收敛证明nv令)(21nnuu,0nv显然nnuv且,1收敛nnv1nnu又),2(1nnnuv1nnu故收敛例审敛1n2sinnn解,1sin22nnn,112收敛而nn,sin12nnn收敛故绝对收敛11||nnnnuu　收　敛　　收　敛注意:11||nnnnuu发散发散结论：级数逐项取绝对值后收敛，原级数收敛;122)1()3(;12)1()2(;2)1()1(11211212)1(nnnnnnnnnnnnn解例判别下列级数是否收敛,若收敛,是绝对收敛还是条件收敛?.2|2)1(|)1(12212)1(nnnnnnnn,121)11(21lim22)1(lim2212nnnnnnn收敛.122nnn故原级数绝对收敛.已证明了收敛.)2(21112)1(nnnn,212lim112lim2nnnnnnn1212nnn发散,从而原级数条件收敛.)3(0122lim||limnunnnn0limnnu从而原级数发散.例审敛1nn)1(n212)11(nn解nun212)11(nn已是正项级数1limnnnuu2222(1)(1)11(1)lim(1)1111lim11222(1)lim(1)nnnnnnnennnn则nu0故发散nu01||nnu发散思考：用Leibiniz判别法可以证明此级数发散吗？1limnnnulu补充定理如果任意项级数121nnnuuuu满足条件11ll当时级数绝对收敛，当时级数发散1l证：当时正项级数比值法可知绝对收敛，-11||||limnnnnluuu当时0级数发散1nnxn例判断级数的收敛性11||1lim||limlim||||||1nnnnnnnxunnxxxunn解：||1||1xx时，级数绝对收敛；时，发散；1-1Leibnizxx调和级数发散；时由判别法可知，条件收敛绝对收敛级数的性质1、级数的重排)(},,2,1{},,2,1{:nknf映射称为正整数列的重排。)(:nknuuF的重排，称作}{}{)(nnkuu的重排，称作11)(nnnnkuu则记,)(nknuv.11)(nnnnkvu定理3.11svsunnnn也绝对收敛于，则其重排级数绝对收敛于设证*即：绝对收敛的级数对加法有交换律。为正项级数，若1)1(nnu,21nnuuus设,21mmvvv,kikuv},,,max{21miiin令,nms则有界，收敛，知由}{1nnnsu有界，从而}{m.1收敛故nnv得及且由nmnnssslim,limnn.1svnn收敛于即级数，重排也可看作另一方面，11nnnnvu,s故.s绝对收敛时，当1)2(nnu收敛时，即正项级数||1nnu由（1）的证明得：,||||11收敛的重排级数nnnnvu收敛。绝对即1nnv命题2：收敛的正项级数经过重排后仍收敛于原来的和下面证明两个级数的和相等。2||nnnuup令||0|,|0nnnnuqup,|,|nnnnnnuqpuqp2||nnnuuq0,00,nnnuuu0,0,0nnnuuu绝对收敛，1nnu收敛。和正项级数11nnnnqpnnqp.sun,,nnnqpv也同样构造类似地，对nnqp可得.nv前面已证收敛的正项级数重排后和不变，的重排，和分别是和且nnnnqpqpnvnnqpnnqp.sun命题1：绝对收敛的级数的和等于它的所有正项组成的级数的和加上它的所有的负项组成的级数的和命题：.,都收敛和则正项级数绝对收敛设nnnqpu同时可以证明：命题：.,都发散和则正项级数条件收敛设nnnqpu证,nnnuqp也收敛，收敛，则若nnqp也收敛，收敛，则若nnpq|,|nnnuqp而收敛，||nu矛盾！绝对收敛级数与条件收敛级数的本质差异是什么？可以证明：条件收敛的级数，可以适当重排，使其按任意预定的方式收敛或发散。514131211111nnn）（如：条件收敛级数设其收敛于A，1018161412112111nnn）（则：,2A收敛于两个级数相加，得41715121311.23A收敛于的一个重排，）（是111nnn2、级数的乘积,nnnauuau收敛，则若,)()(2121nmnmuaaauaaa两个无穷级数如何相乘？,21Auuuunn设,21Bvvvvnn这两个级数中的项的所有可能的乘积为：1312111vuvuvuvun2322212vuvuvuvun3332313vuvuvuvun…………321vuvuvuvunnnnn…………这些乘积可以按各种方法排成不同的级数，常用正方形顺序和对角线顺序，分别为：1312111vuvuvuvun2322212vuvuvuvun3332313vuvuvuvun…………321vuvuvuvunnnnn…………“正方形”排序级数为：132333323112222111vuvuvuvuvuvuvuvuvu1312111vuvuvuvun2322212vuvuvuvun3332313vuvuvuvun…………321vuvuvuvunnnnn…………“对角线”排序级数为：132231122111vuvuvuvuvuvu定理4（柯西定理）：,,BvAunn绝对收敛于绝对收敛于若则它们的乘积按任意顺序所得的级数也绝对收敛于AB.例nnnrrrrr3201,11,1||rr级数绝对收敛于当00nnnnrr考察：)1()1(22rrrr132rrr432rrrr5432rrrr…………按对角线顺序，得324321rrr.)1(12r二、阿贝耳判别法和狄利克雷判别法引理（分部求和公式，Abel变换）：为两组实数，令设),,2,1(,nivii),,,2,1(,21nkvvvkkiniiv1则.)()()(11232121nnnnn111)(niiiinn——离散型分部求和公式,1iiiv则证),,,3,2(,111nkvvkkk注意到：代入即得。解释“离散型分部求和公式”xadttgxG)()(令baxdGxf)()()()(|)()(xdfxGxGxfbaba)()()()(xdfxGbGbfbainiiv1111)(niiiinn.),(),(1baiiixdfxG相当于相当于相当于将)(11iinii推论（Abel引理）是单调数组，若n,,,)1(21（2）对任一正整数，有)1(nkk),(1kkkvvA这里11(||2||)nkknivA则证是同号的，对于由iii1)1(iniiv1.)()()(11232121nnnnn||1iniiv|)()()(|11232121nnnnnAAnnn|||)()()(|13221|)||(|1nnA1(||2||).nA,||1Mbnii设则令,,2,1,kbknniik||||111niikniikbb,2M,623MMbapnnknn故由Cauchy准则，1kkkab得收敛。（阿贝尔引理）定理5（Dirichelet判别法）单调；且若}{,0lim)1(nnnaa有界；}{)2(1niib1kkkab则收敛。证,0limnna.,,,0naNnN有注（1）交错级数的Leibniz判别法是Dirichelet判别法的特例。,)1(,,111nnnnnnbuau令）（单调；且则}{,0limnnnaa；1||1niib收敛。）（故nnu11（2）用Dirichelet判别法可以证明Abel判别法。定理6（Abel判别法）若（1）为单调有界数列，na1(2)kkb收敛，1kkkab则收敛。证kbCauchy收敛，由收敛准则，有0,,,,.npkknNnNpb有引理，有于是由设AbelMan,|