高中数学北师大版必修一2.4.2《二次函数的性质》ppt课件

成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索北师大版·必修1函数第二章第二章§4二次函数性质的再研究4.2二次函数的性质课堂典例讲练2易错疑难辨析3课时作业4课前自主预习1课前自主预习•在实际生活中，有很多最优化问题可以通过建立二次函数模型，并借助二次函数的图像和性质加以解决，其解题的关键是列出二次函数解析式，转化为求二次函数的最值问题．例如：•某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元．销售单价与日均销售量的关系如下表所示：•请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？销售单价/元6789101112日均销售量/桶480440400360320280240•二次函数(y＝ax2＋bx＋c)的性质•学习研究二次函数的性质，必须熟练掌握二次函数的图像，结合图像研究性质.函数二次函数y＝ax2＋bx＋c＝a(x＋________)2＋________(a、b、c是常数，a≠0)．a0a0图像b2a4ac－b24a①抛物线开口______，并向上无限延伸.①抛物线开口____，并向下无限延伸．②对称轴是________，顶点坐标是______________．③在区间___________上是减少的，在区间[－b2a，＋∞)上是增加的.③区间(－∞，－b2a]上是增加的，在区间________上是减少的．性质④抛物线有最低点，当x＝－b2a时，y有最小值，ymin＝________.④抛物线有最高点，当x＝－b2a时，y有最大值，ymax＝________.向上x＝－b2a(－b2a，4ac－b24a)向下(－∞，－b2a]4ac－b24a[－b2a，＋∞)4ac－b24a•1.函数f(x)＝x2－4在区间[－2，－1]上的最大值是()•A．0B．－3•C．3D．1•[答案]A•[解析]由图像易知f(x)＝x2－4在区间[－2，－1]上是递减的，故其最大值为f(－2)＝0.•2．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称，则()•A．m＝－2B．m＝2•C．m＝－1D．m＝1•[答案]A[解析]函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像的对称轴为x＝－m2，且只有一条对称轴，所以－m2＝1，即m＝－2.•3．某电子产品的利润y(元)关于产量x(件)的函数解析式为y＝－3x2＋90x，要使利润获得最大值，则产量应为()•A．10件B．15件•C．20件D．30件•[答案]B•[解析]由二次函数解析式y＝－3x2＋90x＝－3(x－15)2＋675可知，当x＝15时，y取最大值．•4．函数y＝3x2－6x＋1，x∈[0,3]的最大值是________，最小值是________．•[答案]10－2•[解析]y＝3(x－1)2－2，该函数的图像如图所示．•从图像易知：f(x)max＝f(3)＝10，f(x)min＝f(1)＝－2.•5．已知f(x)＝ax2－2x－6，且f(－1)＝－6，则f(x)的递减区间是________．[答案][－12，＋∞)[解析]由f(－1)＝－6，得a×(－1)2－2×(－1)－6＝－6，解得a＝－2，于是f(x)＝－2x2－2x－6，故f(x)＝－2(x＋12)2－112，所以f(x)的递减区间是[－12，＋∞)．课堂典例讲练•二次函数的单调性求函数y＝－12x2＋6x＋3的最大值和它的图像的对称轴，并说出它在哪个区间上是增加的？在哪个区间上是减少的？[思路分析]关键是需要把二次函数进行配方，结合二次项系数a0，问题即可解决．[规范解答]因为y＝－12x2＋6x＋3＝－12(x2－12x)＋3＝－12(x－6)2＋21.所以ymax＝21.函数图像的对称轴是直线x＝6，它在区间(－∞，6]上是增加的，在区间[6，＋∞)上是减少的．[规律总结]“配方法”是研究二次函数的主要方法，对一个具体的二次函数，我们对它进行配方，就可以知道这个二次函数的主要性质．•求函数y＝5x2－4x－1的图像与x轴的交点坐标和对称轴，并判断它在哪个区间上是增加的，在哪个区间上是减少的．[解析]令y＝0，即5x2－4x－1＝0，解得x1＝－15，x2＝1.故函数图像与x轴的交点坐标为－15，0，(1,0)．因为y＝5x2－4x－1＝5x－252－95，所以，函数图像的对称轴是直线x＝25，函数在区间－∞，25上是减少的，在区间25，＋∞上是增加的.•二次函数的对称性已知函数y＝f(x)＝－12x2－3x－52.(1)求这个函数的顶点坐标和对称轴；(2)已知f(－72)＝158，不计算函数值，求f(－52)；(3)不计算函数值，试比较f(－14)与f(－154)的大小．[思路分析]本题中已知二次函数f(x)的解析式，故可考虑用配方法将f(x)化成顶点式，进而确定对称轴和顶点坐标．然后再结合对称性求f(－52)及比较f(－14)与f(－154)的大小．[规范解答]f(x)＝－12x2－3x－52＝－12(x2＋6x)－52＝－12(x＋3)2＋2.(1)函数的顶点坐标为(－3,2)，对称轴为x＝－3.(2)∵f(－72)＝158，又|－72－(－3)|＝12，|－52－(－3)|＝12，∴由二次函数的对称性知：f(－52)＝f(－72)＝158.(3)由于f(x)＝－12(x＋3)2＋2，即函数在[－3，＋∞)上是单调减函数，由对称性知：f(－154)＝f(－94)，且－94，－14∈[－3，＋∞)，∴f(－14)f(－94)，即f(－14)f(－154)．[规律总结]二次函数y＝f(x)图像的对称轴的判断方法：(1)若二次函数y＝f(x)对定义域内的任意x1，x2，都有f(x1)＝f(x2)，那么函数y＝f(x)的图像的对称轴方程为x＝x1＋x22.(2)若二次函数y＝f(x)对定义域内所有x都有f(a＋x)＝f(a－x)成立，那么函数y＝f(x)的图像的对称轴方程为x＝a(a为常数)．(3)若二次函数y＝f(x)对定义域内所有x都有f(x＋2a)＝f(x)，那么函数y＝f(x)图像的对称轴方程为x＝a(a为常数)．(4)利用配方法求二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴方程为x＝－b2a.(5)利用方程根法求对称轴方程：若二次函数y＝f(x)对应方程f(x)＝0的两根为x1，x2，那么函数y＝f(x)的图像的对称轴方程为x＝x1＋x22.注意：(2)、(3)中f(a＋x)＝f(a－x)与f(x＋2a)＝f(x)是等价的．•已知函数f(x)＝x2－3x－4.•(1)求这个函数图像的顶点坐标；•(2)已知f(－2)＝6，不直接计算函数值，求f(5)．[解析]f(x)＝x2－3x－4＝(x－32)2－254.(1)函数f(x)图像的顶点坐标为(32，－254)．(2)∵|32－(－2)|＝72，|5－32|＝72.∴据抛物线f(x)＝x2－3x－4的对称性可知f(5)＝f(－2)＝6.•分类讨论思想在二次函数最值问题中的应用•求函数f(x)＝x2－2ax－1在区间[0,2]上的最大值和最小值．•[思路分析]当f(x)的对称轴相对于区间[0,2]的位置不同时，f(x)在[0,2]上的单调性不同，最值也会不同，因此需根据对称轴x＝a相对于区间[0,2]的位置进行分类讨论．[规范解答]f(x)＝(x－a)2－1－a2，对称轴为x＝a.(1)当a0时，由图1可知，f(x)min＝f(0)＝－1，f(x)max＝f(2)＝3－4a.(2)当0≤a1时，由图2可知，f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(2)＝3－4a.(3)当1≤a≤2时，由图3可知，f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(0)＝－1.(4)当a2时，由图4可知，f(x)min＝f(2)＝3－4a，f(x)max＝f(0)＝－1.•[规律总结]1.分类讨论思想的实质是：整体问题化为部分问题，化成部分问题后相当于增加了题设条件，从而使问题符号顺利解决．•2．本题不是分a0,0≤a≤2，a2三种情况讨论，而是分四种情况：这是由于抛物线的对称轴在区间[0,2]所对应的区域时，最小值是在顶点处取得，但最大值却有可能是f(0)，也有可能是f(2)．•已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．•(1)当a＝－1时，求函数的最大值和最小值；•(2)当a∈R时，求函数的最小值．•[分析]解答本题的关键是将函数f(x)配成顶点式确定其对称轴，然后根据对称轴与所给区间的关系进一步确定函数的最值．•[解析](1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，•∵x∈[－5,5]，•∴x＝1时，f(x)取得最小值，f(x)min＝f(1)＝1；•x＝－5时，f(x)取最大值．f(x)max＝f(－5)＝37.•(2)∵f(x)＝x2＋2ax＋2•＝(x＋a)2＋2－a2，•x∈[－5,5]，•①当－a≤－5即a≥5时，•函数f(x)在区间[－5,5]上是增加的，•故f(x)min＝f(－5)＝27－10a.②当－5－a5，即－5a5时，对称轴－a∈[－5,5]，故f(x)min＝f(－a)＝2－a2.③当－a≥5，即a≤－5时，函数f(x)在区间[－5,5]上是减少的，故f(x)min＝f(5)＝27＋10a.∴f(x)min＝27＋10aa≤－52－a2－5a5.27－10aa≥5•二次函数的实际应用题•某汽车城销售某种型号的汽车，进货单价为25万元，市场调研表明：当销售单价为29万元时，平均每周能售出8辆，而当销售单价每降低0.5万元时，平均每周能多售出4辆．如果设每辆汽车降价x万元，每辆汽车的销售利润为y万元(每辆车的销售利润＝销售单价－进货单价)．•(1)求y与x之间的函数关系式，并在保证商家不亏本的前提下，写出x的取值范围；•(2)假设这种汽车平均每周的销售利润为z万元，试写出z与x之间的函数关系式；•(3)当每辆汽车的销售单价为多少万元时，平均每周的销售利润最大？最大利润是多少？•[思路分析]解决本题需弄清楚：每辆车的销售利润＝销售单价－进货单价，先求出每辆车的销售利润，再乘以售出辆数可得每周销售利润．通过二次函数求最值可得汽车合适的销售单价．[规范解答](1)因为y＝29－25－x，所以y＝－x＋4(0≤x≤4)．(2)z＝(8＋x0.5×4)y＝(8x＋8)(－x＋4)＝－8x2＋24x＋32(0≤x≤4)．(3)由(2)知，z＝－8x2＋24x＋32＝－8(x－1.5)2＋50(0≤x≤4)，故当x＝1.5时，zmax＝50.所以当销售单价为29－1.5＝27.5万元时，每周的销售利润最大，最大利润为50万元．•[规律总结]解实际应用问题的方法步骤•某动物园为迎接大熊猫，要建造两间一面靠墙的大小相同且紧挨着的长方形熊猫居室，若可供建造围墙的材料长30米，那么宽为________米时，所建造的熊猫居室面积最大，最大面积是________平方米．•[答案]575[解析]设长方形的宽为x米，则每个长方形的长为30－3x2米，其中0x10.故所求居室面积S＝x(30－3x)＝3(10x－x2)＝－3(x－5)2＋75(0x10)，所以当x＝5时，Smax＝75(平方米)．即当宽为5米时，才能使所建造的熊猫居室面积最大，为75平方米．易错疑难辨析•设α、β是方程4x2－4mx＋m＋2＝0(x∈R)的两个实根，当m为何值时，α2＋β2有最小值？并求出这个最小值．[错解]由根与系数的关系得α＋β＝m，αβ＝m＋24.∴α2＋β2＝(α＋β)2－2αβ＝m2－m＋22＝m－142－1716.∴当m＝14时，α2＋β2的最小值是－1716.[辨析]一看结果便知此题错了，因为α2＋β2≥0，不可能有α2＋β2＝－1716，那么错在哪儿？是“方程有根的条件是判别式Δ≥0”被忽略造成的．[正解]由根与系数的关系得α＋β＝m，αβ＝m＋24，α2