直线和方程(经典例题)

直线与方程知识点复习：一、直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°（2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即tank。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当90,0时，0k；当180,90时，0k；当90时，k不存在。②过两点的直线的斜率公式：)(211212xxxxyyk注意下面四点：(1)当21xx时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；(2)k与P1、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。（3）直线方程①点斜式：)(11xxkyy直线斜率k，且过点11,yx注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y1。当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。②斜截式：bkxy，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b③两点式：112121yyxxyyxx（1212,xxyy）直线两点11,yx，22,yx④截矩式：1xyab其中直线l与x轴交于点(,0)a,与y轴交于点(0,)b,即l与x轴、y轴的截距分别为,ab。⑤一般式：0CByAx（A，B不全为0）注意：○1各式的适用范围○2特殊的方程如：平行于x轴的直线：by（b为常数）；平行于y轴的直线：ax（a为常数）；（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系平行于已知直线0000CyBxA（00,BA是不全为0的常数）的直线系：000CyBxA（C为常数）（二）过定点的直线系（ⅰ）斜率为k的直线系：00xxkyy，直线过定点00,yx；（ⅱ）过两条直线0:1111CyBxAl，0:2222CyBxAl的交点的直线系方程为0222111CyBxACyBxA（为参数），其中直线2l不在直线系中。（6）两直线平行与垂直当111:bxkyl，222:bxkyl时，212121,//bbkkll；12121kkll注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。（7）两条直线的交点0:1111CyBxAl0:2222CyBxAl相交交点坐标即方程组00222111CyBxACyBxA的一组解。方程组无解21//ll；方程组有无数解1l与2l重合（8）两点间距离公式：设1122(,),AxyBxy，（）是平面直角坐标系中的两个点，则222121||()()ABxxyy（9）点到直线距离公式：一点00,yxP到直线0:1CByAxl的距离2200BACByAxd（10）两平行直线距离公式在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。典型例题例1.已知直线过点P（-5，-4），且与两坐标轴围成三角形面积为5，求直线l的方程。解：设直线的截距式方程为：xayb1则有541125ababab52，或，ab524直线方程为或8520025100xyxy例2已知两点A(-3，4)，B(3，2)，过点P(2，－1)的直线l与线段AB有公共点．（1）求直线l的斜率的取值范围．（2）求直线l的倾斜角的取值范围．分析：如图1，为使直线l与线段AB有公共点，则直线l的倾斜角应介于直线PB的倾斜角与直线PA的倾斜角之间，所以，当l的倾斜角小于90°时，有PBkk；当l的倾斜角大于90°时，则有PAkk．解：如图1，有分析知PAk23)1(4＝－1，PBk23)1(2＝3．∴（1）1k或3k．（2）arctan343．说明：容易错误地写成－1k3，原因是或误以为正切函数在,0上单调递增．例3若三点A)3,2(，B)2,3(，C),21(m共线，求m的值．分析：若三点共线，则由任两点所确定的直线斜率相等或都不存在．解答：由A、B、C三点共线，则ACABkk．∴22132332m，解得21m．说明：由三点共线求其中参数m的方法很多，如两点间的距离公式，定比分点坐标公式，面积公式等，但用斜率公式求m的方法最简便．例4.在直线上求一点，使点到两点（，），（，）的3101120xyPP距离相等。分析：（1）设P（x，y），则有y＝3x＋1，故点P的坐标为（x，3x＋1），由距离公式O图1AByxP得x的方程，解得x＝0。（2）设P（x，y），求出两点（1，-1），（2，0）的中垂线方程为x＋y－1＝0，再解方程组得P（0，1）。解法1：设P（x，y），则有y＝3x＋1故点P的坐标为（x，3x＋1）由距离公式得：xxxx1322312222解之得：x＝0∴所求的点为P（0，1）解法2：设P（x，y），两点（1，-1），（2，0）所连线段的中垂线方程为：xy101又3102xy解由1、2组成的方程组得：P（0，1）练习:1.直线axbyab10()与两坐标轴围成的三角形的面积是（）A.12abB.12abC.12abD.12ab2.过点A（4，1）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是（）A.xy5B.xy5C.xy5或xy40D.xy5或xy403.已知直线AxByC0的横截距大于纵截距，则A、B、C应满足的条件是（）A.A＞BB.A＜BC.CACB0D.CACB04.直线laxyblbxyaab12000：，：()的图象只可能是下图中的（）5.直线270xy在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则a、b的值是（）A.ab77，B.ab772，C.ab727，D.ab727，6.若直线l的倾斜角为arctan12且过点（1，0），则直线l的方程为________。7.由已知条件求下列直线的斜截式方程。（1）直线经过点PP122103，、，；（2）直线在x轴上的截距为2，在y轴上的截距为3。8.设直线l的方程为mmxmmym222321620，根据下列条件分别确定实数m的值。（1）l在x轴上的截距是3；（2）斜率是1。9.过点P（2，1）作直线l交x轴、y轴的正半轴于A、B两点，当PAPB·取最小值时，求直线l的方程。10.已知直线与坐标轴围成的三角形面积为3，且在x轴和y轴上的截距之和为5，求这样的直线的条数。11.已知点P（-1，1）、Q（2，2），直线lykx：1与线段PQ相交，求实数k的范围。12．已知ABC中，A(1,3)，AB、AC边上的中线所在直线方程分别为xy210和y10，求ABC各边所在直线方程．参考解题格式：9.解：设直线l的方程为ykxk210()分别令xy00，得：BkAk012120，，，PAPBkkkk··12201224184222222∵k＜0，∴当且仅当k1时，PAPB·取得最小值4故所求直线的方程为xy3011.解：∵直线l的纵截距为1∴直线过点M（0，-1）∵l与线段PQ相交kkkkMQPM或kkMQPM21203211102kk322或12．分析：B点应满足的两个条件是：①B在直线01y上；②BA的中点D在直线012yx上。由①可设1，BxB，进而由②确定Bx值.解：设1，BxB则AB的中点221，BxD∵D在中线CD：012yx上∴012221Bx，解得5Bx，故B(5,1).同样，因点C在直线012yx上，可以设C为CCyy，12，求出131，，CyC.根据两点式，得ABC中AB：072yx，BC：014yx，AC：02yx.您好，欢迎您阅读我的文章，本WORD文档可编辑修改，也可以直接打印。阅读过后，希望您提出保贵的意见或建议。阅读和学习是一种非常好的习惯，坚持下去，让我们共同进步。