求极限的方法总结--小论文

求数列极限的方法总结数学科学学院数学与应用数学08级汉班**指导教师****摘要数列极限的求法一直是数列中一个比较重要的问题，本文通过归纳和总结，从不同的方面罗列了它的几种求法。关键词数列极限、定义、泰勒公式、无穷小量极限一直是数学分析中的一个重点内容，而对数列极限的求法可谓是多种多样，通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法。求数列极限的最基本的方法还是利用数列极限的定义，也要注意运用两个重要极限，其中，可以利用等量代换，展开、约分，三角代换等方法化成比较好求的数列，也可以利用数列极限的四则运算法则计算。夹逼性定理和单调有界原理是很重要的定理，在求的时候要重点注意运用。泰勒公式、洛必达法则、黎曼引理是针对某些特殊的数列而言的。还有一些比较常用的方法，在本文中都一一列举了。1.定义法利用数列极限的定义求出数列的极限.设﹛Xn﹜是一个数列,a是实数,如果对任意给定的〉0,总存在一个正整数N，当n〉N时,都有aXn,我们就称a是数列{Xn}的极限.记为aXnnlim.例1:按定义证明0!1limnn.解:1/n!=1/n(n-1)(n-2)…1≤1/n令1/n,则让n1即可,存在N=[1],当nN时,不等式:1/n!=1/n(n-1)(n-2)…1≤1/n成立,所以0!1limnn.2.利用极限四则运算法则对和、差、积、商形式的函数求极限,自然会想到极限四则运算法则.例2:求nnnbbbaaa2211lim,其中1,1ba.解:分子分母均为无穷多项的和,应分别求和,再用四则运算法则求极限bbbbbaaaaannnn111,1111212,原式=abbabbaannnn11111111lim11lim11,3.利用夹逼性定理求极限若存在正整数N,当nN时,有Xn≤Yn≤Zn,且aZnXnnnlimlim,则有aYnnlim.例3:求{21nn}的极限.解:对任意正整数n,显然有nnnnnn221122,而01n,02n,由夹逼性定理得01lim2nnn.4．换元法通过换元将复杂的极限化为简单.例4.求极限21limnnnaa，此时解：若有，令则5.单调有界原理例5.证明数列有极限，并求其极限。证：令，易知｛｝递增，且我们用归纳法证明≤2.显然。若≤２则。故由单调有界原理｛｝收敛，设→，则在中两边取极限得即解之得=２或=-１明显不合要求，舍去，从而6.先用数学归纳法,再求极限.例6:求极限nnn2642)12(531lim解:1212126543210nnnS=nn212654321设*S=1225432nn则有S*SS2=S*SS**S=121n而1210nS,0121limnn再由夹逼性定理,得nnn2642)12(531lim=07.利用两个重要极限1sinlim0xxx,exxx)11(lim.例7:求xxx)21(lim解:原式=222)11()21(limeeexxxxx8.利用等价无穷小来求极限将数列化成自己熟悉的等价无穷小的形式然后求极限.例8:求11sin1lim2xxexx解:当0x的时候,0sinxx,2sin~1sin1xxxx.而此时,2~12xex,所以原式=212sinlim20xxxx9.用洛必达法则求极限.适用于型和00例9:求20cos1limxxx解:是00待定型.20cos1limxxx=212sinlim0xxx10.积分的定义及性质例10:求)0(321lim1pnnpppppn解:)0(321lim1pnnpppppn=nipnnin1)(1lim设pxxf)(,则)(xf在[0,1]内连续,],1[,1ninininxii取所以,pinif)()(所以原式=1110pdxxp11.级数收敛的必要条件.设,,11是收敛的再证等于所求极限的表达式nnnnuu据必要条件知所求表达式的极限为0.例11:求nnnn!lim解:设nnnnnu!1,则11)11(1limlim1enuunnnnn所以该级数收敛,所以nnnn!lim=012.对表达式进行展开、合并、约分和因式分解以及分子分母有理化，三角函数的恒等变形。例12.求0sin5sin3limsin2xxxx解：法一：原式=0sin525sin32353lim15sin223sin2222xxxxxxxxx法二：原式=00053532cossin2cos4sin2cos422limlimlim1sin22sincos2cosxxxxxxxxxxxxxx13.奇数列和偶数列的极限相同，则数列的极限就是这个极限。例13：求(1)lim2xxx的值解：奇数列为1lim2xx=0偶数列为1lim2xx=0所以(1)lim2xxx=014．利于泰勒展开式求极限。例14.求)lim(545545xxxx解：原式=5151)11()11(limxxxx(令t=x1)=51510)1()1(1limtttt=ttottot)(511)(511=5215.利于无穷小量的性质和无穷小量和无穷大量之间的关系求极限。利用无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量，无穷小量与无穷大量互为倒数的关系，以及有限个无穷小的和仍是无穷小等等。例15：求21limsinxxx的值解：因为21limxx是无穷小量，而limsinxx是有界变量，所以21limsinxxx还是无穷小量，即21limsinxxx=016.利用数列的几何、算术平均值求极限。数列{na}有极限，则它的几何平均值和算术平均值的极限与与原极限相同。例16：求limnnna的值解：limnnna=210110limnnnnaaaaaaa=210110limlimnnnnnnaaaaaaa设nb=1nnaa，因为知limnnna=1所以，所求原式的极限就等于{nb}的极限即原式=limnnb=1limnnnaa17.绝对值中的极限若)(naan,则)(naan例17：求31limxx的值解：31limxx=31limxx=018.利用黎曼引理例18：求20coslim1appxdxx（a0）解：原式=0001cos2111cos21limlimlimln(1)2(1)21212aaappppxpxdxdxdxaxxx数列极限的方法还有很多，以上给与大致列举。