高考数学概率统计知识点总结(文理通用)

概率与统计知识点及专练（一）统计基础知识：1.随机抽样：（1）．简单随机抽样：设一个总体的个数为N，如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样.常用抽签法和随机数表法.（2）．系统抽样：当总体中的个数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取1个个体，得到所需要的样本，这种抽样叫做系统抽样（也称为机械抽样）.（3）．分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样.2.普通的众数、平均数、中位数及方差：（1）.众数：一组数据中，出现次数最多的数（2）.平均数：常规平均数：12nxxxxn（3）.中位数：从大到小或者从小到大排列，最中间或最中间两个数的平均数（4）.方差：2222121[()()()]nsxxxxxxn（5）.标准差：s3.频率直方分布图中的频率：（1）.频率=小长方形面积：fSyd距；频率=频数/总数；频数=总数*频率（2）.频率之和等于1：121nfff；即面积之和为1：121nSSS4.频率直方分布图下的众数、平均数、中位数及方差：（1）.众数：最高小矩形底边的中点（2）.平均数：112233nnxxfxfxfxf112233nnxxSxSxSxS（3）.中位数：从左到右或者从右到左累加，面积等于0.5时x的值（4）.方差：22221122()()()nnsxxfxxfxxf（5）.标准差：s5.线性回归直线方程：（1）.公式：ˆˆˆybxa其中：1122211()()ˆ()nniiiiiinniiiixxyyxynxybxxxnx（展开）ˆˆaybx（2）.线性回归直线方程必过样本中心(,)xy（3）.ˆ0:b正相关；ˆ0:b负相关（4）.线性回归直线方程：ˆˆˆybxa的斜率ˆb中，两个公式中分子、分母对应也相等；中间可以推导得到6.回归分析：（1）.残差：ˆˆiiieyy（残差=真实值—预报值）分析：ˆie越小越好（2）.残差平方和：21ˆ()niiiyy分析：①意义：越小越好；②计算：222211221ˆˆˆˆ()()()()niinniyyyyyyyy（3）.拟合度（相关指数）：22121ˆ()1()niiiniiyyRyy分析：①.20,1R的常数；②.越大拟合度越高（4）.相关系数：1122221111()()()()()()nniiiiiinnnniiiiiiiixxyyxynxyrxxyyxxyy分析：①.[1,1]r的常数；②.0:r正相关；0:r负相关③.[0,0.25]r；相关性很弱；(0.25,0.75)r；相关性一般；[0.75,1]r；相关性很强7.独立性检验：（1）.2×2列联表（卡方图）：（2）.独立性检验公式①．22()()()()()nadbckabcdacbd②．上界P对照表：（3）.独立性检验步骤：①．计算观察值k：2()()()()()nadbckabcdacbd②．查找临界值0k：由犯错误概率P，根据上表查找临界值0k③．下结论：0kk即认为有P的没把握、有1-P以上的有把握认为两个量相关；0kk：即认为没有1-P以上的把握认为两个量是相关关系。2×21x2x合计1yabab2ycdcd合计acbdn（二）概率基础知识：1.等可能性事件(古典概型)的概率：P(A)＝nm;计算步骤：（1）.计算一次试验的基本事件总数n;（2）.设所求事件A，并计算事件A包含的基本事件的个数m;（3）.依公式()mPAn求值;2.互斥事件的概率：P(A＋B)＝P(A)＋P(B);3.对立事件的概率：P(A)＋P(A)＝P(A＋A)＝1.4.相互独立事件同时发生的概率：P(A·B)＝P(A)·P(B);5.独立重复试验的概率：Pn(k)＝knkknppC)1(.6.离散型随机变量的分布列：（1）定义与性质：一般地设离散型随机变量（或或X）可能取的值为1x，2x，……ix……，取每一个值ix（i1，2，……）的概率P（ix）=iP，则称下表为随机变量的概率分布，简称的分布列.由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质：①0iP，i1，2，…;②21PP…=1.（2）随机变量的数学期望和方差：①离散型随机变量的数学期望：；期望即平均值，反映随机变量取值的平均水平.②离散型随机变量的方差：222121)()(pExpExD…nnpEx2)(…方差反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度，越小，稳定性越高，波动越小③基本性质：baEbaE)(；DabaD2)(.nnpxpxpxE2211D1x2x…ix…PP1P2…iP…7.常见的离散型随机变量的分布列：（1）二项分布：①二项分布的定义:n次独立重复试验中，事件A发生的次数是一个随机变量，其所有可能的取值为0，1，2，…n，并且knkknkqpCkPP)(，其中nk0，pq1，随机变量的分布列如下：01…k…nPnnqpC00111nnqpC…knkknqpC0qpCnnn称这样随机变量服从二项分布，记作),(~pnB，其中n、p为参数，并记：),;(pnkbqpCknkkn.②二项分布的数学期望与方差：若～B(n，p)，则npE;D=npq（这里q=1-p）（2）几何分布：①几何分布的定义:在独立重复试验中，某事件第一次发生时所作的试验的次数是一个取值为正整数的离散型随机变量，“k”表示在第k次独立重复试验时事件第一次发生.随机变量的概率分布为：123…k…Ppqp2qp…1kqp…②几何分布的数学期望与方差：如果随机变量服从几何分布，),()(pkgkP，则pE1，D=2pq其中q=1-p.（3）超几何分布：对一般情形，一批产品共件，其中有件不合格品，随机取出的件产品中不合格品数的分布如下表所示，则称服从超几何分布，记为，其中：……NMnXX(,,)XHnMN()rnrMNMnNCCPXrCX012lP0nMNMnNCCC11nMNMnNCCC22nMNMnNCCClnlMNMnNCCC超几何分布的另一种形式：一批产品由a件次品、b件正品组成，今抽取n件(1≤n≤a+b)，则次品数ξ的分布列为nkCCCkPnbaknbka....2,1,0,)(.（4）正态分布：①正态分布的定义及性质：如果连续型随机变量的概率密度函数为222)(21)(xexf，xR其中、为常数，并且＞0，则称服从正态分布，记为~N（，2）.②正态分布的数学期望与方差：期望值E=μ（即平均数，对称轴）方差2D（方差越大曲线越分散越矮胖，方差越小曲线越集中越高瘦）③标准正态分布：当=0，=1时服从标准的正态分布，记作~N（0，1）④两个重要的公式：()1()xx()()()Pabba.⑤“3”原则：在实际应用中，通常服从正态分布的随机变量的值一般都落入范围之间，概率为99.7％，即落在之外的概率为0.3％，几乎是不可能发生的，此为小概率事件，如果此事件发生了，就说明此种产品不合格（即ξ不服从正态分布）.⑥正态分布在三个特殊区间内取值的概率值：8.解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路：（1）明确随机变量可能取哪些值；（2）结合事件特点选取恰当的计算方法计算这些可能取值的概率值；（3）根据分布列和期望、方差公式求解．)3,3()3,3(▲xya标准正态分布曲线S阴=0.5Sa=0.5+SS