中考数学复习专题十二：方程观点解几何计算题

中考数学复习专题12方程观点解几何计算题概述：含有未知数的等式便是方程，代数方面的应用题，几何方面的计算题便是求某些未知数的值，都可用方程的观点去解决，一般一个未知数列一个方程，两个未知数列两个方程．典型例题精析例1．有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD长．分析：Rt△ABC，∠C=90°，AC=6，BC=8AB=10．由题意知△ACD≌△AED∠DEB=90°，DECD，AC=AE=6，设CD=x，则DE=x，而EB=4，一个未知数，需要一个方程，从何而来，图中有直角，用勾股定理，有等式，有方程．∴在Rt△DEB中，（8-x）2=x2+42，64-16x+x2=x2+16，16x=48，x=3（cm）．例2．已知⊙O中，两弦AB、CD相交于E，若E为AB中点，且CE：ED=1：4，AB=4，求CD长．解：∵CE：ED=1：4，∴设CE=x，则ED=4x，由相交弦定理得CE·ED=AE·EB，即x·4x=2×2，4x2=4，x=1．∴CD=x+4x=5x=5．例3．如图，AB为⊙O的直径，P点在AB延长线上，PM切⊙O于M点，若OA=a，PM=3a，求△PMB的周长．分析：条件符合切割线定理，设BP=x，则由PM2=PB·PA（方程出来了）得（3a）2=x（x+2a），x2+2ax-3a2=0，（x+3a）（x-a）=0，∴x1=a，x2=-3a（舍去）∴x=a，即BP=a，连结MO（常作辅助线）则∠OMP=90°，∵OB=BP=a，则MB为Rt△OMP的斜边上的中线，∴MB=12OP=a．∴△MBP的周长为2a+3a．例4．如图，圆心在Rt△ABC斜边AB上的半圆切直角边AC、BC于M、N，其中AC=6，BC=8，求半圆的半径．分析：设半径为R，（一个未知数建立一个方程即可），连OM、ON、OC，则OM=ON=R，用面积，S△AOC+S△BOC=S△ABC，OBCAED得6R+8R=6×8（一元一次方程）14R=48，R=247．中考样题训练:1．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，BC=1，D为BC边上的一点，tan∠ADC是方程3（x2+21x）-5（x+1x）=2的一个根，求CD的长．2．如图，已知直线BC切⊙O于C，PD为⊙O的直径，BP的延长线与CD的延长线交于点A，∠A=28°,∠B=26°，求∠PDC的度数．3．已知，如图，C为半圆上一点，ACCE，过C作直径的垂线CP，P为垂足，弦AE分别交PC，CB于点D，F．（1）求证：AD=CD；（2）若DF=54，tan∠ECB=34，求PB的长．EOBCADPF4．已知关于x的方程x2-（k+1）x+14k2+1=0的两根是一个矩形两邻边的长．BCADOBCADP（1）k取何值时，方程有两个实数根；（2）当矩形的对角线长为5时，求k的值．5．如图所示，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，⊙O的割线PDE垂直AB于点F，交BC于点G，连结PC，∠BAC=∠BCP，求解下列问题：（1）求证：CP是⊙O的切线；（2）当∠ABC=30°，BG=23，CG=43时，求以PD、PE的长为两根的一元二次方程．（3）若（1）的条件不变，当点C在劣弧AD上运动时，应再具备什么条件可使结论BG2=BF·DO成立？试写出你的猜想，并说明理由．EOBCADPGF6．已知：如图所示，BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，弦BF和AD交于E，且AE=BE．（1）试猜想：AB与AF有何大小关系？并证明你的猜想；（2）若BD、CD的长是关于x的方程x2-kx+16=0的两个根，求BF的长；（3）在（2）的条件下，若k为整数，且满足532(12),13713.22kkkk，求sin2∠A的值．EOBCADF考前热身训练1．要用圆形铁片截出边长为4cm的正方形铁片，求选用的圆形铁片的直径的最小值．2．圆内两条弦AB和CD相交于P点，AB长为7，AB把CD分成两部分的线段长为2和6，求AP的长．3．如图，PA切⊙O于点A，PBC交⊙O于B、C，若PB、PC的长是关于x的方程x2-（m-2）x+（m+2）=0的两个根，且BC=4，求m的值及PA的长．OBCAP4．如图，D是△ABC的边AC上一点，CD=2AD，AE⊥BC，交BC于点E，若BD=8，sin∠CBD=34，求AE的长．2xEBCAxDF5．如图，在△ABC中，∠CAD=∠B，若AD=7，AB=8，AC=6，求DC的长．6．已知，如图，以△ABC的边BC为直径的半圆交AB于D，交AC于E，过E点作EF⊥BC，垂足为F，且BF：FC=5：1，AB=8，AE=2，求EC的长．BCAD答案:中考样题看台1．解：3（x+1x）2-5（x+1x）-8=0，x+1x=83或x+1x=-1，由x+1x=83得x=473．x+1x=-1得x2+x+1=0无解．∴tan∠ADC=473，在Rt△ABC中，AC=tan30BC=3．在Rt△ADC中，CD=tanACADC=43213．∵CD1，∴CD=43213．2．∠PDC=36°3．（1）证明：连结AC，∵ACCE，∴∠CEA=∠CAE．∵∠CEA=∠CBA，∴∠CBA=∠CAE，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵CP⊥AB，∴∠CBA=∠ACP，∴∠CAE=∠ACP，∴AD=CD．（2）解：∵∠ACB=90°，∠CAE=∠ACP，∴∠DCF=∠CFD，∴AD=CD=DF=54，∵∠ECB=∠DAP，tan∠ECB=34，∴tan∠DAP=DPPA=34，∵PD2+PA2=DA2，∴DP=34，PA=1，∴CP=2，∵∠ACB=90°，CP⊥AB，∴△APC∽△CPB，∴APPCPCPB，∴PB=4．4．（1）要使方程有两个实数根，必须△≥0，即[-（k+1）]2-4（14k2+1）≥0，化简得：2k-3≥0，解之得：k≥32．（2）2222(5)1114ababkabk解之得：k1=2，k2=-6由（1）可知，k=-6时，方程无实数根，所以，只能取k=2．5．（1）连结OC，证∠OCP=90°即可．（2）∵∠B=30°，∠A=∠BCP=60°，∴∠BCP=∠CGP=60°，∴△CPG是正三角形．∴PG=CP=43，∴PC切⊙O于C．∴PC2=PD·PE=（43）2=48，又∵BC=63，∴AB=6，FD=33，EG=3，∴PD=23，∴PD+PE=23+83=103．∴以PD、PE为两根的一元二次方程为x2-48x+103=0．（3）当G为BC中点，OG⊥BC，OG∥AC或∠BOG=∠BAC…时，结论BG2=BF·BO成立．要让此结论成立，只证明△BFG∽△BGO即可，凡是能使△BFG∽△BGO的条件都可以．6．可以猜想到ABAF．证明：延工AD交⊙O于点G．∵BC是⊙O的直径，AD⊥BC，∴ABBG．∵AE=BE，∴∠ABE=∠BAE，∴AFBG，∴ABAF．（2）∵ABBGAF，∴BFAG，BF=AG．∵AD⊥BC，BC是⊙O直径，∴AG=2AD，∴BF=2AD，∵BD、CD的长是方程x-kx+16=0的两个根，∴BD·CD=16．又AD2=BD·CD，∴AD2=16，AD=4，∴BF=8．（3）连结CF解不等式组得：9k≤10∵k是整数，∴k=10．由（2）得BD+CD=k，∴BC+CD=10即⊙O的直径BC=10．∵ABAFBG，∴∠C=2∠A．在Rt△ABC中，sin∠C=BFBC=45，∴sin∠A=45，∴sin2∠A=45．考前热身训练1．R2+R2=42，2R=42（cm）2．AP=3或43．设PB=a，PC=a+4，则42(4)2aamaam解之得a=2，m=10．由PA2=PB·PC=2×6=12得PA=23．4．过D作DF⊥BC于F．由sin∠CBD=34=DFBD34=8DF，DF=6，由DF∥AE263xxAEAE=95．易证△ADC∽△BAC，∴ABACADCD即867DC，∴x=2146．连BE，则BE⊥AC，易证△BEF∽△BCE，∴EC=23．