2009—2015年高考数学圆锥曲线考试真题解答题汇集(全国卷及部分省)附答案

2009—2015年高考数学圆锥曲线考试真题解答题汇集（全国卷及部分省）1、（2014全国卷1理）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设F（c，0），利用直线的斜率公式可得，可得c．又，b2=a2﹣c2，即可解得a，b；（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2）．由题意可设直线l的方程为：y=kx﹣2．与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式即可得出S△OPQ．通过换元再利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：（Ⅰ）设F（c，0），∵直线AF的斜率为，∴，解得c=．又，b2=a2﹣c2，解得a=2，b=1．∴椭圆E的方程为；（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2）．由题意可设直线l的方程为：y=kx﹣2．联立，化为（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，当△=16（4k2﹣3）＞0时，即时，，．∴|PQ|===，点O到直线l的距离d=．∴S△OPQ==，设＞0，则4k2=t2+3，2、（2014课标全国Ⅰ，文)设F1，F2分别是椭圆C：12222byax（ab0）的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N。（I）若直线MN的斜率为43，求C的离心率；（II）若直线MN在y轴上的截距为2且|MN|=5|F1N|，求a，b。解：（Ⅰ）根据c=错误!未找到引用源。以及题设知M（c，错误!未找到引用源。），2错误!未找到引用源。=3ac将错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。代入2错误!未找到引用源。=3ac，解得错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。=-2（舍去）故C的离心率为错误!未找到引用源。（Ⅱ）由题意，原点O的错误!未找到引用源。的中点，M错误!未找到引用源。∥y轴，所以直线M错误!未找到引用源。与y轴的交点D是线段M错误!未找到引用源。的中点，故错误!未找到引用源。=4，即错误!未找到引用源。①由错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。得错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。设N（x，y），由题意可知y0,则错误!未找到引用源。即错误!未找到引用源。代入方程C，得错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1②将①以及c=错误!未找到引用源。代入②得到错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1解得a=7，错误!未找到引用源。a=7，错误!未找到引用源。∴==1，当且仅当t=2，即，解得时取等号．满足△＞0，∴△OPQ的面积最大时直线l的方程为：．点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、椭圆的方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，考查了换元法和转化方法，属于难题．3、（2013课标全国Ⅰ，文)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.解：由已知得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1,0)，半径r2＝3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为22=143xy(x≠－2)．(2)对于曲线C上任意一点P(x，y)，由于|PM|－|PN|＝2R－2≤2，以R≤2，当且仅当圆P的圆心为(2,0)时，R＝2.所以当圆P的半径最长时，其方程为(x－2)2＋y2＝4.若l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|＝23.若l的倾斜角不为90°，由r1≠R知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，则1||||QPRQMr，可求得Q(－4,0)，所以可设l：y＝k(x＋4)．由l与圆M相切得2|3|1kk＝1，解得k＝24.当k＝24时，将224yx代入22=143xy，并整理得7x2＋8x－8＝0，解得x1,2＝4627，所以|AB|＝21k|x2－x1|＝187.当k＝24时，由图形的对称性可知|AB|＝187.综上，|AB|＝23或|AB|＝187.4、(2013课标全国Ⅱ，理20)(本小题满分12分)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：2222=1xyab(a＞b＞0)右焦点的直线30xy交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为12.(1)求M的方程；(2)C，D为M上两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则221122=1xyab，222222=1xyab，2121=1yyxx，由此可得2212122121=1bxxyyayyxx.因为x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，0012yx，所以a2＝2b2.又由题意知，M的右焦点为(3，0)，故a2－b2＝3.因此a2＝6，b2＝3.所以M的方程为22=163xy.(2)由2230,1,63xyxy解得43,33,3xy或0,3.xy因此|AB|＝463.由题意可设直线CD的方程为y＝5333xnn，设C(x3，y3)，D(x4，y4)．由22,163yxnxy得3x2＋4nx＋2n2－6＝0.于是x3,4＝22293nn.因为直线CD的斜率为1，所以|CD|＝24342||93xxn.由已知，四边形ACBD的面积2186||||929SCDABn.当n＝0时，S取得最大值，最大值为863.所以四边形ACBD面积的最大值为8635、(2010课标全国1，文)设1F,2F分别是椭圆E：2x+22yb=1（0﹤b﹤1）的左、右焦点，过1F的直线l与E相交于A、B两点，且2AF，AB，2BF成等差数列。（Ⅰ）求AB（Ⅱ）若直线l的斜率为1，求b的值。（1）由椭圆定义知22F+F，又2AB=AFFAB得（2）L的方程式为y=x+c,其中21cb设1111(),B()Axx，y，y,则A，B两点坐标满足方程组222y=x+cx1yb化简得222(1)2120.bxcxb，则2121222212,.11cbxxxxbb因为直线AB的斜率为1，所以21xx，即21423xx.则22421212222284(1)4(12)8()49(1)11bbbxxxxbbb，解得22b.6.(2010课标全国1，理)设F1，F2分别是椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点，过F1斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．(1)求E的离心率；(2)设点P(0，－1)满足|PA|＝|PB|，求E的方程．解：(1)由椭圆定义知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a，又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝43a.l的方程为y＝x＋c,其中c＝a2－b2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足方程组y＝x＋c，x2a2＋y2b2＝1.化简得(a2＋b2)x2＋2a2cx＋a2(c2－b2)＝0，则x1＋x2＝－2a2ca2＋b2，x1x2＝a2c2－b2a2＋b2.因为直线AB斜率为1，所以|AB|＝2|x2－x1|＝2[x1＋x22－4x1x2].得43a＝4ab2a2＋b2，故a2＝2b2，所以E的离心率e＝ca＝a2－b2a＝22.(2)设AB的中点为N(x0，y0)，由(1)知x0＝x1＋x22＝－a2ca2＋b2＝－23c，y0＝x0＋c＝c3.由|PA|＝|PB|得kPN＝－1.即y0＋1x0＝－1，得c＝3，从而a＝32，b＝3.故椭圆E的方程为x218＋y29＝1.9、（2010广东理）已知，椭圆C过点31,2A，两个焦点为1,0,1,0。（1）求椭圆C的方程；（2）,EF是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。解：（Ⅰ）由题意，c=1,可设椭圆方程为2219114bb，解得23b，234b（舍去）所以椭圆方程为22143xy。（Ⅱ）设直线AE方程为：3(1)2ykx，代入22143xy得2223(34)4(32)4()1202kxkkxk设(x,y)EEE,(x,y)FFF,因为点3(1,)2A在椭圆上，所以2234()122x34Fkk32EEykxk又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以—k代k，可得2234()122x34Fkk32EEykxk所以直线EF的斜率()212FEFEEFFEFEyykxxkKxxxx即直线EF的斜率为定值，其值为12。10、（2011广东理）已知焦点在X轴的椭圆229m144xy，焦点为1F、2F，焦距为27，（1）求椭圆方程（2）若P是椭圆上一点，且2160FPF，求21PFF的面积。11、（2010广东文）设1F、2F分别为椭圆C：12222byax（0ba）的左、右两个焦点．（Ⅰ）若椭圆C上的点)23,1(A到1F、2F两点的距离之和等于4，求出椭圆C的方程和焦点坐标；（Ⅱ）设P是（Ⅰ）中所得椭圆上的动点，求线段1PF的中点M的轨迹方程．解：（Ⅰ）由椭圆上的点)23,1(A到两焦点1F、2F两点的距离之和等于4，知242aa，2分又点)23,1(A在椭圆12222byax上，因此31)23(2122222bb，4分于是12c，5分所以，所求椭圆方程为13422yx，焦点坐标为1F)0,1(和2F)0,1(；7分（Ⅱ）设中点),(yxM，并设动点),(00yxP，则202100yyxxyyxx2120010分又因为点),(00yxP在椭圆13422yx上，于是1342020yx，即13)2(4)12(22yx，化简得134)21(22yx，所以，所求轨迹方程为134)21(22yx．14分12、（2010广东文）已知ABC△的顶点A，B在椭圆2234xy上，C在直线2lyx：上，且//ABl．（Ⅰ）当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及ABC△的面积；（Ⅱ）当90ABC，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程．解：（Ⅰ）因为//ABl，且AB边通过点(00)，，所以AB所在直线的方程为yx．1分[来源:Zxxk.Com]设A，B两点坐标分别为1122()()xyxy，，，．由2234xyyx，得1x．3分所以12222ABxx．4分又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离．于是2h，5分所以122ABCSABh△．6分（Ⅱ）设AB所在直线的方程为yxm，由2234xyyxm，得2246340xmxm．8分因为A，B在椭圆上，所以212640m．9分设A，B两点坐标分别为1122()()