数据包络分析.ppt

数据包络分析DataEnvelopmentAnalysis,DEA什么是数据包络分析数据包络分析是著名运筹学家A.Charnes和W.W.Cooper于1978年在“相对效率评价”概念基础上发展起来的一种新的统计分析方法。已经成为管理科学领域一种重要而有效的分析工具。数据包络分析有什么用处可以对企事业单位作出各种有效性评价。特点是评价的相对性，所得结论是与其他同类型的被评对象相比较而言的。主要的技术工具是线性规划模型。7.1概念：决策单元决策单元(DecisionMakingUnits,DMU)：一个有投入有产出的生产或经济组织。注1：DMU的概念是很宽泛的。厂商、城市或地区、行业、部门、学校、医院，甚至某个产品（在评价产品质量时）都是。注2：不同的研究，投入和产出会不同。概念：决策单元注3：在评价时，把同类型的DMU放在一起。所谓同类型的DMU，是指3个相同：1目标和任务；2外部环境；3投入产出指标。注4：可以把一个企业一年四季度或者不同的年份看作是不同类型的DMU。投入=输入；产出=输出。概念：生产活动生产活动：DMU的输入输出指标组成的向量。输入指标：输出指标：生产活动：TmxxxX),...,,(21TsyyyY),...,,(21),(YX多个DMU的输入输出指标.,...,2,1),...,,(),...,,(2121njyyyYxxxXTsjjjjTmjjjj概念：生产可能集一些生产活动之集合（在一定的技术条件下，理论上存在的反映生产过程中投入和产出关系的可能性的集合）称为生产可能集，表示为：注1：生产可能集的具体形式是由公理体系确定的，不同的公理体系确定的生产可能集不相同。注2：生产可能集是研究问题的一个平台。}|),{(生产出来可由XYYXT概念：公理体系1平凡公理：设已有个生产活动则平凡公理是说，已知的生产活动理所当然属于生产可能集。njTYXjj,...,2,1,),(nnjYXjj,...,2,1),,(概念：公理体系2凸性公理。如果和是生产可能集中的生产活动，则也是生产可能集中的生产活动。这里是任意一个实数。凸性公理是说，原投入的凸组合作为新的投入，则原产出的相同凸组合作为新的产出是可能的。),(YX))1(,)1((''YYXX),(''YX]1,0[概念：公理体系3无效性公理。设是生产可能集中生产活动，若若无效性公理是说，以较少的产出和较多的投入是可能的。),(YX）也是；则（YXXX,,''）也是。则（'',,YXYY概念：公理体系4.1锥性公理。如果是生产可能集中的生产活动，则也是。这里。锥性公理是说，若以原投入的倍进行投入，则可以生产原产出的倍。),(YX),(kYkX0kkk概念：公理体系4.2收缩性公理。如果是生产可能集中的生产活动，则也是。这里。收缩性公理是说，生产活动是可以缩小规模的。),(YX),(kYkX10k),(YX概念：公理体系4.3扩张性公理。如果是生产可能集中的生产活动，则也是。这里。扩张性公理是说，生产活动是可以扩大规模的。),(YX),(kYkX1k),(YX概念：公理体系5最小性。生产可能集是满足上述公理1-3和4.1，4.2，4.3三个公理之一的所有集合的交集。经验生产可能集当个DMU已知时，利用观测值可构造经验生产可能集。当满足公理1,2,3,4.1和5时，有当满足公理1,2,3,和5时,有当满足公理1,2,3,4.2和5时,有当满足公理1,2,3,4.3和5时,有njYXjj,...,2,1),,(},...,2,1,0,,|),{(11njnjjjjjjnjYYXXYXTn}1,,...,2,1,0,,|),{(111njjnjnjjjjjjnjYYXXYXT}1,,...,2,1,0,,|),{(111njjnjnjjjjjjnjYYXXYXT}1,,...,2,1,0,,|),{(111njjnjnjjjjjjnjYYXXYXT生产可能集的例子例7.1有3个DMU的输入输出情况如下：DMU123输入134输出231有效生产活动与生产函数有效生产活动：投入与所应达到的最大产出组成的生产活动叫有效生产活动。生产函数：所有有效生产活动中，X与Y的函数关系叫生产函数。),(YXXY7.2数据包络分析的基本模型——CCR模型这是由Charnes,Cooper,和Rhodes给出的。思路：考虑个同类型的DMU，其生产活动已知，且.,...,2,10),...,,(0),...,,(2121njyyyYxxxXTsjjjjTmjjjjnCCR模型将这个DMU看成一个大系统，任取其中一个，作为评价对象。例如，取第个，记为DMUj0。构造一个新的DMU，它的输入输出是这个DMU的非负线性组合，于是，它的生产活动为：njnjjjjjYX11),(n0jnCCR模型上式中的系数待定。对于评价对象DMUj0来说，让新DMU的投入(与DMUj0投入相比)不增加，看其（新DMU）产出是否能增加，于是有下述基于输出的模型：0jOCCRD基于输出的CCR模型njzYYXXzfjnjjjjnjjjj,...,2,1,0max1010基于输入的CCR模型让新DMU产出不减少，看投入能否减少，得到基于输入的模型：njYYXXfjnjjjjnjjjj,...,2,1,0min1010ICCRD评价结论按照基于输入的CCR模型：对于评价对象DMUj0来说，如果新DMU的产出不减少，其投入能够减少，则DMUj0不是有效的，反之，若新DMU的投入不能减少，则DMUj0是有效的。按照基于输出的CCR模型也有类似结论。ICCRD模型的最优值和最优解基于输入和基于输出的评价结论相同。最优值最优值之间的关系：最优解记为**1z1,1**z),...,,(**2*1*n（弱）有效的定义以基于输入的模型为例。DMUj0为弱DEA有效(CCR)的充要条件是：DMUj0为DEA有效(CCR)的充要条件是：并且每组最优解中松弛变量和剩余变量的值都为0.1*1*ICCRD基于输入和输出的最优解的关系设是基于输入的最优解和最优值，则是基于输出的最优值；是基于输出的最优解。**,**1z****ICCRDOCCRDOCCRD例7.2有4个DMU的输入输出情况如下:DMU1234输入12112.4输入21242.4输出1111例7.2:建立基于输入的模型并且评价DMU1评价DMU1:解得:，所有松弛和剩余变量都为0,故DMU1有效..4,3,2,1,014.24224.22min432143214321jfj1*例7.2:建立评价DMU2的模型.4,3,2,1,0124.2424.22min432143214321jfj例7.2:建立评价DMU3的模型.4,3,2,1,0144.2424.22min432143214321jfj例7.2:建立评价DMU4的模型.4,3,2,1,014.24.2424.24.22min432143214321jfjDMU1-4的结果DMU1和DMU2为DEA有效（当然也弱有效）.对于DMU3,有第2个松弛变量最优值为2,故DMU3为弱DEA有效且非DEA有效.DMU4的最优解为:故DMU4为非弱DEA有效.)0,0,1,0(,1**185),0,0,21,21(**弱有效与有效的区别DEA有效:若新DMU要保持DMUj0的产出水平,则它的各项投入均不能减少,说明DMUj0是DEA有效的.弱DEA有效:若新DMU要保持DMUj0的产出水平,则它的部分(不是全部)投入可以减少,说明DMUj0是弱DEA有效.非弱DEA有效的含义因为，说明各项投入都可以减少，同时产出保持不减少。例7.2中的DMU4，因为各项投入都可以减少为DMU4的投入的5/8，而产出保持不变。注：可按照的值对非弱DEA有效的DMU排序。185*1**具有非阿基米德无穷小的CCR模型退化情形下，判断是否有效在技术上有难度。于是引入下述模型（基于输入）.0,0,...,2,1,0)ˆˆ(min1010SSnjYSYXSXSeSefjnjjjjnjjjjTTID具有非阿基米德无穷小的CCR模型其中为非阿基米德无穷小量。TsTmTsssSsssSe),...,,(),...,,(,)1,...1,1(ˆ21210610.,0,00一般取有对，是说：为非阿基米德无穷小量注：NaNa具有非阿基米德无穷小的CCR模型：例7.2DMU3.0,,4,3,2,1,0144.2424.22)(min121143212432114321121sssjssssssfj具有非阿基米德无穷小的CCR模型是否有效的结论设为非阿基米德无穷小，为最优解，则有(1)若则DMUj0不为弱DEA有效;(2)若则DMUj0仅为弱DEA有效;(3)若则DMUj0为DEA有效;****,,,SS,1*0ˆˆ,1***SeSeTT0ˆˆ,1***SeSeTT例7.2的DMU3的最优解)0,0,1,0(,1**0,2,0*1*2*1sssCCR模型对应的生产可能集满足平凡公理1，凸性公理2，无效性公理3，锥性公理4.1和最小性公理5的生产可能集由下式唯一确定：},...,1,0,,|),{(11njYYXXYXTjnjjjnjjjCCR生产可能集的例子：例7.1有3个DMU的输入输出情况如下:DMU123输入134输出231生产可能集如下：CCRT生产可能集的例子：例7.1xy(3,3)(1,2)(4,1)有效生产活动构成的“平面”称为有效生产前沿面，也叫相对有效（前沿）面。引入的对偶模型：ICCRDICCRPsTmTTTjTjTjTjTPRRXnjYXYV,,0,01,...2,1,0max00利用对偶模型判断有效性1若对偶模型最优解存在，且则DMUj0为弱DEA有效。2若对偶模型最优解存在并且则DMUj0为DEA有效。ICCRP1max0*jTpyv1max0*jTpyv0,0**TTICCRP对偶模型的解释一般地，记为DMUj的效率评价指数。当然为DMUj0的效率评价指数。实际上是投入产出效率：每单位投入的产出数。jTjTjXYh0jTY有效生产前沿面（基于CCR）设DMUj0为DEA有效（CCR），则称超平面为的有效生产前沿面，其中0**YXTTCCRT.0,0**的最优解是模型ICCRTTP有效生产前言面的简单例子：例7.1有效生产前沿面的例子：例7.3有4个DMU的输入输出情况如下:DMU1234输入11334输入23132输出1121有效生产前沿面的例子：例7.3考虑DMU1，模型为：0,,1302402330303max121211211211211211