2010高等代数期末考试(A)卷

第1页共6页华南农业大学期末考试试卷（A卷）2010学年第一学期考试科目：高等代数Ⅰ考试类型：（闭卷）考试时间：120分钟学号姓名年级专业题号一二三四五总分得分评阅人一、填空题（35=15分）1、设A是n阶方阵，12,XX均为线性方程组AXb的解，且12XX，则A的秩；2、已知2132332203403131D，则1112131433AAAA＝；3、若A为三阶方阵，*A为A的伴随矩阵，且|A|=12，则1*|(3)2|AA；4、如果向量21231,1,1,1,1,1,1,1,1,(1,)，可以由123,,唯一地线性表示，那么满足：；5、设2是多项式43228xxaxbx的二重根，则a，b。二、判别题（25=10分）（请在正确的小题对应的括号内打“√”，否则打“”）6、如果()dx是多项式()fx和()gx的一个最大公因式且()dxuxfxvxgx，那么()ux和()vx唯一。（）7、设A为n阶方阵，若AXAY，且0A，则XY。（）8、若矩阵A有一个非零r阶子式，则rAr。（）9、含有n个未知数的线性方程组有解的充分必要条件是它的系数矩阵的秩等于n。（）10、若A是正定矩阵，那么1A也是正定矩阵。（）三、单项选择题（35=15分）11、若集合|,FabiabR（这里R是实数集）是数域，则,ab应满足条件（）。（A）,ab是整数（B）,ab是无理数（C）a是有理数，b是实数（D）,ab是任意实数第2页共6页12、初等矩阵（）（A）所对应的行列式的值等于1（B）都是可逆矩阵（C）相乘仍为初等矩阵（D）相加仍为初等矩阵13、设rs,两个n维向量组：12s(1)，12r(2)下述正确的是（）（A）若(1)可由(2)线性表出,则(1)线性相关；（B）若(1)可由(2)线性表出,则(1)线性无关；（C）若(1)可由(2)线性表出,则当(2)线性无关时,(1)线性无关；（D）若(1)可由(2)线性表出,则仅当(2)线性相关时,(1)线性相关。14、设数域21PP，多项式][)(1xPxf，则（）（A）)(xf在1P上不可约当且仅当)(xf在2P上不可约；（B）)(xf在1P上无重因式当且仅当)(xf在2P上无重因式；（C）)(xf在1P上有根当且仅当)(xf在2P上有根；（D）)(xf在1P上有非平凡因式当且仅当)(xf在2P上有非平凡因式。15、设A有一个非零的r级子式，则必有（）（A）秩(A)1r（B）秩(A)r（C）秩(A)r（D）A必有一个非零的1r级子式四、解答题（75=35分）16、设432()2443fxxxxx，32()2543gxxxx，求((),())fxgx。第3页共6页17、求下列向量组的秩及一个极大无关组，并用该极大无关组表示余下的向量：12345(1,1,2,3),(1,1,1,1),(1,3,3,5),(4,2,5,6),(3,1,5,7)。18、线性方程组，当k为何值时，方程组有唯一解，无解，无穷多解？并用基础解系表示通解。21kxyzxkyzkxykzk第4页共6页19、用逆矩阵求解矩阵方程。20、作非退化线性变换XCY把实二次型123121323,,422fxxxxxxxxx化为实数域中的规范形。321153522321321xxx第5页共6页五、证明题（25分）21、证明：若dxx，()dxgx且dx为fx与gx的一个组合，则dx是fx与gx的一个最大公因式。（7分）22、向量组12,,...,r线性相关的充要条件是12,,...,r中至少有一个向量可以由其他向量线性表示。（6分）第6页共6页23、A和B是两个同型矩阵，证明：秩()AB秩()A+秩()B。（6分）24、设12,FF是两个数域，证明：12,FF的交集也是数域。（6分）