复变函数(第四版余家荣)

第二章复函数§1.解析函数1.极限与连续性单值函数：对于G中的每个z，有唯一的w与其对应。多值函数：至少存在一个z0属于G，与z0对应的w有两个或两个以上。xyzuvwoo复变函数极限的定义,00)(，，使得如果存在一个复数AA内有定义。的空心邻域在设函数||0)(00zzzzfw|)(|)0(||00，，都有的一切对满足Azfzzz时的极限，记作趋于当为函数则称0)(zzzfA)()()(lim00zzAzfAzfzz或当时，当时，当时，设则当且仅当证明如果则使得当时，命题所以反之，若则当时，所以,当时连续函数的和、差、积、商（分母不为零）均为连续函数连续函数的复合函数为连续函数内连续。在中每一点连续，则称在区域)()(GzfGzf例上不连续。域上连续，在负实数轴和负实数轴的区在整个复平面除去原点求证：)0(arg)(zzzf解：有在负实数轴上时当,0zzzzzzzzzarglim,arglim0Im0Im00在负实数轴上不连续；故zarg.}0Im,0{Re\0zzCz再设与负实数轴不相交。使得角状域00000argarg,0zzxy，取)sin(||0z时，当则||0zz00argargargzzz连续。在即)(0zzf所以，|argarg|0zz0z0,00argz0例设.)(lim0不存在证明zfz证明设则所以.)(lim0不存在所以zfz2.导数·解析函数果极限是邻域内任意一点，如值函数，的某邻域内有定义的单在点设函数zzzzfw00)(,)(,)()(lim0000或可导可微在，则称函数并且等于复数存在（为有限的复数）zzfAzzfzzfz)(0的导数，记为在称为函数zzfA,)('00zzdzdwzf，或即，zzfzzfzfz)()(lim)('0000定义定义时，有使得当，可以找到一个正数对任意的||0),(00zz,|)()(|00Azzzfzf.)(0可微或可导在则称函数zzf内解析函数；是析，我们也说内解在内处处可导，则称在区域如果DzfDzfDzf)()()(在区域内解析.)()(00处解析在点称的邻域内处处可导，则在如果zzfzzf在一点解析.)(,)(上解析在闭区域那么称每一点都属于上内处处解析，而闭区域在区域如果DzfGDGzf在闭区域上解析如果一个函数在一个点可导，则它在这个点连续.证明设f(z)在点a可导，则.)()(000的一个奇点为称内都有解析点存在，则的每个邻域不解析，但在在如果函数zfzzzzf注解1“可微”有时也可以称为“单演”，而“解析”有时也称为“单值解析”、“全纯”、“正则”等；注解2解析性与可导性的关系：在一个点的可导性为一个局部概念，而解析性是一个整体概念；注解3函数在一个点解析，是指在这个点的某个邻域内可导，因此在这个点可导，反之，在一个点的可导不能得到在这个点解析；注解4闭区域上的解析函数是指在包含这个区域的一个更大的区域上解析；四则运算法则复合函数求导法则，内解析，又域在区内解析，函数在区域设函数GDfGgwDzf)()()()())((zhzfgw则复合函数内解析，并且有：在D)('))(('))]'(([)('zfzfgzfgzh，又反函数内解析，且在区域设函数0)(')(zfDzfw)()(1wwfz存在且为连续，则有：))(('1)('1)(')(wfzfwwz注：利用这些法则，我们可以计算常数、多项式以及有理函数的导数，其结果和数学分析的结论基本相同。反函数求导法则.处处不可微证明例zf(z)证明因为所以zzz0lim,不存在.)(处处不可微zfCauchy-Riemann方程问题?),(),()(,),(),(内解析吗在那么上可微在区域和若DyxivyxuzfDyxvyxu设可微，则首先设h为实数，得令得再令t为实数，得令得由得Cauchy-Riemann方程可导，则定义，在点内有在区域设函数定理DiyxzDyxivyxuzf),(),()(处存在一阶偏导数；在点和虚部）实部（),(),(),(1yxyxvyxu:-),(),()2(方程）黎曼方程（简称满足柯西和RCyxvyxu例在处满足上述定理中的条件，但f(z)在不可微.证明由于所以.不存在.0)(不可导在所以zzf:)(),(),()(可导的充要条件是在点定义，那么内有在区域设函数定理DiyxzzfDyxivyxuzf处可微，在点和虚部实部),(),(),()1(yxyxvyxu:-),(),()2(黎曼方程满足柯西和yxvyxuxvyuyvxuC-R条件证明设在点处有导数其中a和b为实数，当时，处可微，且在及因此，),(),(),(yxyxvyxu程成立，则有方处可微，并有在及反之，设RCyxyxvyxu),(),(),(其中满足条件设则所以其中由于所以即注：条件是内解析的充要区域函数定理Dyxivyxuzf),(),()(内处处可微，在区域和虚部实部Dyxvyxu),(),()1(:-),(),()2(黎曼方程满足柯西内在和Dyxvyxuxvyuyvxu且满足内有定义，在区域设函数推论Dyxivyxuzf),(),()(导函数，内存在一阶连续偏在区域和虚部实部),(),()1(Dyxvyxu:-),(),()2(黎曼方程满足柯西内在和Dyxvyxuxvyuyvxu.)(内解析在区域则Dzf条件是内解析的充要区域函数定理Dyxivyxuzf),(),()(导函数，内存在一阶连续偏在区域和虚部实部),(),()1(Dyxvyxu:-),(),()2(黎曼方程满足柯西内在和Dyxvyxuxvyuyvxu.||2的可导性与解析性讨论例z由于所以解由于在整个复平面上连续，RC但只在原点满足条件，处可导，只在所以0)(zzf.而处处不解析.)(2的可微性与解析性讨论函数例iyxzf解由得21)(,,,xzfvvuuyxyx在直线所以在整个复平面上连续，由于上可导，.但处处不解析验证函数例上处处解析，在复平面C.并求其导数证明由于在平面上连续，条件，且满足RC所以上处处解析，在复平面C§2.初等函数.)()3(xxxeee处处可微，且是单调增函数，且）（xe4实指数函数的性质1.指数函数指数函数的定义域的扩充满足下列条件：的函数要求复变量)(zfiyxz;)(,)1(xexfRx上解析；在Czf)()2();()()(,,)3(212121zfzfzzfCzz首先),()()(yiByAiyf),()()(iyfeiyxfzfx设),()()(yBieyAezfxx则由于要求解析，所以利用柯西-黎曼条件，有),()('),(')(yByAyByA所以，,sin)(,cos)(yyByyA因此，).sin(cos)(yiyezfx则复函数设,iyxz定义称作复指数函数，记作.),0()1(xzeeyxz则若)2(.)()3(zzzeee处处解析，且证明令则复指数函数的性质：即的周期函数是周期为指数函数,2)6(iewz.lim)7(不存在zze证明由于.lim不存在所以zze注：,iyz设得Euler公式则由问题：定理是否成立？在复分析中Rolle.答：不再成立例设在复平面上处处解析，尽管)(zf且但ooxyuv指数函数的几何性态若将直线映射成圆周将直线映射成射线若则则若则.2的水平带形内是一一的在宽度小于zewxyouvoii.}Imz-{区域实轴后剩下部分构成的平面上的去掉原点及负一对一地映射成：平面上的水平带形将wzzewz三角函数由于Euler公式，对任何实数y，我们有：所以有定义规定对于任何复数,z三角函数的性质.,)1(实余弦函数函数等于实正弦函数和则复正弦函数和复余弦若Rxz（2）cosz是偶函数，sinz是奇函数证明（3）cosz和sinz是以2π为周期的周期函数:证明证明证明)6(和且在整个复平面上解析,证明正弦函数)7(的零点为余弦函数的零点为由即得证明)8(对于.都不成立和.在复平面上为无界函数证明设则计算例解定义上述四个函数在各自的定义域内解析，且定义双曲正弦双曲余弦双曲正切初等多值函数1.幅角函数对于其中是幅角主值：,z如果对每一个非零复数之对应，我们选取其一个幅角与一个此函数称作幅角函数的则得到一个单值函数，单值分支.个则称其为幅角函数的一如果此单值函数连续，连续单值分支.设z是则主值幅角函数arg.上的一个连续单值分支D,k对每一个整数.上的一个连续单值分支也是D.D单值分支上可分出无限多个连续在上沿下沿主值幅角函数的边界是负实轴及原点区域D负实轴分上沿和下沿上沿和下沿，可以连续延拓到负实轴，在上沿取值.在下沿取值出连续单值分支？在整个复平面上能否分幅角函数思考题：.答：否定义设是一个多值函数，是的任意一个邻域,是内任一绕一周的简单闭曲线.在上取一点,我们从与对应的多个值中取出一个与其对应，设为,让点从出发，沿绕一周，回到,对应的值从连续变化为如果则称为的一个支点.xyo0z1z)(0zUxyo1zzxyo.的支点是和Argz0zzzzzArg0称作多值函数的简单连续曲线和每一条连接.的一条支割线.值分支能分出无限多个连续单上在区域ArgzC设例的一个连续是幅角函数zzArgarg.单值分支假设计算和xyii2321i2123oxo234151zz解解设例上的一个连续单值在是DzArg.01arg分支，满足).()(41ff和计算对数函数定义的对数，称为复数的复数满足方程0zwzzew)(。记为zwLn注意：由于对数函数是指数函数的反函数，而指数函数是周期为2π的周期函数，所以对数函数必然是多值函数。如果令则即注意：.,)(没有对数所以由于001we.}{)(上的多值函数是定义在0Ln2CDz对数函数的基本性质.集合相等上面的等式应该理解为和幅角的加减法一样，注：由于证明所以从而得问题：是否成立？.答：否的幅角主值，则为因为若argzz,2.1,0),4i(2arg|z|2ln2Lnz,2,1,0,2arg2||ln2Ln2kkzkikzizz对数函数的主值相应于Argz的主值，我们定义Lnz的主值为：πzπzzzwarg,argi||lnln,i2lni2argi||lnLnkπzkπzzzw从而函数对于每一个固定的整数,ki2argi||lnkπzzw，是复平面上的单值函数不连续，在此函数在负实轴及原点其它点处处连续，一个称此函数为对数函数的连续单值分支.支称作时，对应的连续单值分当0k对数函数的主值支.设:DLn续单值分支上能分解成无穷多个连在区域z，函数对于每一个固定的整数k,上的一个单值连续函数是区域DxyOD.轴上不连续但此函数在原点及负实xyo1z.Ln0的支点是和zzz的函数的简单连续曲线是对数和每一个连接zzzLn0作为割线，的任一条无界简单曲线和连接一般，在复平面上，取K0分支。无限多个单值连续函数上，对数函数可分解成则在区域KCD支割线.KD1z1z),2i(||lnln,01111kzzDz若取设,zD内的任意一点则对于有).2i(||lnln01kzz作：由此确定的单值分支记i)2i||lnln(,ln0111kzzzwxy并且都是解析的内的任何单值连续分支在区域对数函数,ln)(LnzzfKCDz证明.