高等数学-一阶微分方程

1的微分方程,称为可分离变量的微分方程.2.解法1.定义分离变量6.2.1可分离变量的微分方程)()(ddyxxy6.2一阶微分方程0d)()(d)()(2121yyNxNxyMxM或可化为形如,0)(y设.,)(),(的连续函数分别是其中yxyxxxyyd)()(d2求得积分后,即得原微分方程的通解两端积分,d)()(dxxyyCxFyG)()(注意:如果.)()(1)(),(的一个原函数和分别是其中xyxFyG,0)(0yyy有零点,0)(0y即则常函数也是方程的一个解.0yy这样的解并没有包含在通解之中,称之为奇解.3xyxy2dd解分离变量得,d2dxxyy两端积分)(,ln112是任意常数CCxy,2112xCCxeeey,d2dxxyy,0时当y得从而,01CeC令.2xCey则故原方程的通解为而也是方程的一个解.0y).(,2是任意常数CCeyx例求微分方程的通解.4例求方程的通解.0d)1(d)1(22yxyxyx解分离变量xxxyyyd1d122两端积分yyyd12)1ln(21)1ln(2122xy)1(ln)1ln(22xCy)1(122xCy为方程的通解.C为正常数.Cln21xxxd12多数情况下，微分方程的解只能用隐函数的形式给出，称之为方程的隐式解。5解xxyyyd1dln1xxyyd1lndln1CxylnlnlnlnCxlnCxylnCxey通解为.ln的通解求方程yyyxC为任意常数.P181(1)6解先求其通解,分离变量,得两端积分,得例求解定解问题(初值问题):1)0(212yyy)1(,d21d112yxyy12111ln21Cxyy整理得,111122xCCxeeeyy,12CeC记).(,11是任意常数CCeCeyxx原方程的通解为7注意:,0C得特解,1y,C得特解.1y,0代入通解将x,0C得于是所求定解问题的特解为.1y8的一阶微分方程,称为齐次方程.1.定义6.2.2齐次方程2222ddyxyxxyyxy222.1yyxxyyxx例如,方程可化成是齐次方程.可化为形如xyxydd.)(是连续函数其中uyyxyxxxyyd)(d)2(2229分离变量,得两端积分2.解法,xyu作变量代换代入原方程,得求得积分后再将代入,即得原方程的通解.yux化为可分离变量的方程..xuy即.)(ddxuuxu即,ddddxuxuxy),(dduxuxu,d)(dxxuuuxxuuud)(d则10，令xyu解原方程可化为是齐次方程.代入原方程得，则uxuxxydddd)0(,12xxyxyy，uuuxux21dd有时当,1u，xxuud1d2两端积分,得，xCulnarcsin1例求微分方程的通解.)0(,22xyyxyx11解得原方程的通解为.dddduyuyyx则，令)(yuyx即)0(arcsinarcsin1CCeeexuuC，也是原方程的解,1u又将代入,yux)0,0(arcsinCxCexxy，及).0(,xxy例解方程.0d12d21yyxexeyxyx12分离变量,得两端积分将代入，得原方程的通解xuy2.xyxyeCy代入原方程得.2Cyexyx或,0)1(2dd)21(ueyuyueuu,0dd221yyueueuu,d2)2(d1CyyeueuuuCeuyu)2(13.tanxyxyy求解方程uudxduxutan,,uxyuxy则令解xdxduuusincos:分离变量得)0(sinu,dxduxudxdyCxulnlnsinln:积分得,sinxCu,sinCxxy原方程的通解：.)(为任意常数其中C14求微分方程的通解.0cos)cos(dyxyxdxxyyx，令xyu，则udxxdudy,0)(cos)cos(xduudxuxdxuuxx,cosxdxudu,lnsinCxu.lnsinCxxy微分方程的通解为解15解方程.0)2()(22dyxyxdxyxy解)/(21)/()/(22222xyxyxyxyxyxydxdy则，令uxyuuuudxdux212duuuxdx221分离变量两边积分duuux221ln)0(u16xCuu12lnln1即得xCeuu112而，故原方程的通解为xyuxCeyyx21lnln21lnCuux)0(1C)00(1uC对应.)(为任意常数其中C17称为一阶线性非齐次微分方程.称为一阶线性齐次微分方程.6.2.3一阶线性微分方程1.定义未知函数及其导数都是一次的一阶微分方程0)(ddyxpxy得当,0)(xq))(),((是连续函数xqxp通常称此齐次方程是上述非齐次方程所对应的齐次方程．)()(ddxqyxpxy一阶线性微分方程的标准形式线性一阶18容易验证：解的结构：一、如果是非齐次方程的解,则它们的差是对应齐次方程的解。)(),(21xyxy结论:非齐次方程的通解等于对应齐次方程的通解加上非齐次方程的一个特解.二、如果分别是非齐次方程和齐次方程的解,)(),(21xyxy则是非齐次方程的解.)()(21xyxy19.0)(ddyxpxy,d)(dxxpyyxxpyyd)(d齐次方程的通解为(1)先解线性齐次方程使用分离变量法2.解法,lnd)(lnCxxpy.d)(xxpCey积分,得20(2)再解线性非齐次方程).()(ddxqyxpxy设非齐次方程通解形式为把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法,称为常数变易法.)]([)()(d)(d)(xpexCexCyxxpxxp待定函数xxpeyd)()(xC21代入原方程得和将yy积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为)()(d)(xqexCxxpCxexqxCxxpd)()(d)(或]d)([d)(d)(CxexqeyxxpxxpxxpCeyd)(非齐次方程的一个特解对应齐次方程通解xexqexxpxxpd)(d)(d)(2225)1(12ddxxyxy解此方程为一阶线性方程(1)先求对应的齐次方程,012ddxyxy分离变量为)0(,1d2dyxxyy积分,得,ln)1ln(2lnCxy对应的齐次方程通解为.)1(2xCy例求微分方程的通解.23（2）设原非齐次方程通解为,)1)((2xxCy代入原方程,得积分,得,)1()(xxC故,原方程通解为,)1(32)(23CxxC272)1(32)1(xxCy24解法1分离变量两边积分,cos)(的解设非齐次方程有形如xxCy例求解微分方程的通解xxxyxycos2tandd则)]sin()(cos)([xxCxxC,2)(xxC所以方程的通解为：C.xxC2)(取,lncoslnlnCxy.cosxCy先求对应齐次方程的通解0tanddxyxyxxyydtand1xCxycos)(21.2.xxcos2xxxCtancos)(25例求解微分方程的通解xxxyxycos2tandd所以方程的通解为：xCxycos)(2,tan)(xxp.cos2)(xxxqxxeydtanxcos解法2这是一阶线性非齐次方程,其中cos2xxxxedtanxdCxCxcos)(2xecoslncos2xxxexdcoslnCcos2xxxxdcos1C]d)([d)(d)(Cxexqeyxxpxxp26.sin1的通解求方程xxyxy,1)(xxp,sin)(xxxqxxeyd1Cxxxdsin1Cxxcos1解例一阶线性非齐次方程xxsinxxed1xdC]d)([d)(d)(Cxexqeyxxpxxp27解初值问题:10cos2)1(02xyxxyyx解将方程写为1cos1222xxyxxy)(xp)sin(112xCx由初始条件10xy特解21sin1xxy)(xq,1C一阶非齐次线性方程Cxexxeyxxxxxxd1cosd122d1222]d)([d)(d)(Cxexqeyxxpxxp28例解方程0d)ln(dlnyyxxyy若将方程写成yxyyxylnlndd则它既不是线性方程,又不能分离变量.若将方程写成yyyxyxlnlnddyxyy1ln1以x为未知函数,即yxyyyx1ln1dd一阶线性非齐次方程.分析y为自变量的290d)ln(dlnyyxxyyCyeyexyyyyyyd1dln1dln1Cyyyydln1ln1yCylnln21此外,y=1也是原方程的解.解yxyyyx1ln1dd)(yp)(yq]d)([d)(d)(Cxexqeyxxpxxp30解原方程可化为设.)(,2)(yyqyyp22ddyxyxy,2ddyxyyx原方程通解为]d)([d)(d)(Cyeyqexyypyyp]d[d2d2Cyeyeyyyy].ln[2yCyx即例求微分方程的通解.31)(xq)(xP的通解为微分方程xxyycostan解y这是典型的一阶线性方程.分析由通解公式有CxexeyxxxxdcosdtandtanxCxcos)(xCxcos)(32的微分方程,称为伯努利方程.,1nyz令*6.2.4伯努利方程1.定义2.解法通过变量代换化为线性微分方程.形如)66()1,0(,)()(ddnyxqyxpxyn)()(dd1xqyxpxyynn方程的两边除得,ny,)1(yynzn则代入原方程整理得)1)(()()1(ddnxqzxpnxz即得伯努利方程的通解.它是一阶线性方程,求出其通解,再将代入,nyz133yxyxxy24dd解.21n此方程是伯努利方程,其中原方程化为22dd2xzxxz其通解为Cdxexezxxxxd22d22,212Cxx故,原方程的通解为.2124Cxxy,21211yyz令例求微分方程的通解.34作业习题6.2(18页)1.(2)(3)(4)(5)2.(1)(4)4.(2)5.(1)(2)(4).