麦克斯韦速率分布函数

一.分布的概念气体系统是由大量分子组成，而各分子的速率通过碰撞不断地改变，不可能逐个加以描述。·问题的提出·分布的概念例如学生人数按年龄的分布年龄15~1617~1819~2021~22人数按年龄的分布2000300040001000人数比率按年龄的分布20%30%40%10%§6-5麦克斯韦速率分布律速率v1～v2v2～v3…vi～vi+Δv…分子数按速率的分布ΔN1ΔN2…ΔNi…分子数比率按速的分布ΔN1/NΔN2/N…ΔNi/N…例如气体分子按速率的分布｛ΔNi｝就是分子数按速率的分布二.气体速率分布的实验测定1.实验装置2.测量原理(1)能通过细槽到达检测器D的分子所满足的条件LvvL通过改变角速度的大小，选择速率v(2)通过细槽的宽度，选择不同的速率区间vv2L(3)沉积在检测器上相应的金属层厚度必定正比相应速率下的分子数三.速率分布函数f(v)设某系统处于平衡态下，总分子数为N，则在v～v+dv区间内分子数的比率为NNd)(vfvdvvdd)(NNff(v)称为速率分布函数意义：分布在速率v附近单位速率间隔内的分子数与总分子数的比率。四.麦克斯韦速率分布定律理想气体在平衡态下分子的速率分布函数kTekTf2/22/32)π2(4)(vvv(麦克斯韦速率分布函数)式中μ为分子质量，T为气体热力学温度，k为玻耳兹曼常量k=1.38×10-23J/K1.麦克斯韦速率分布定律vvvvvd)π2(π4d)(d2/22/32kTekTfNN理想气体在平衡态下，气体中分子速率在v～v+dv区间内的分子数与总分子数的比率为这一规律称为麦克斯韦速率分布定律说明(1)从统计的概念来看讲速率恰好等于某一值的分子数多少，是没有意义的。(2)麦克斯韦速率分布定律对处于平衡态下的混合气体的各组分分别适用。(3)在通常情况下实际气体分子的速率分布和麦克斯韦速率分布能很好的符合。任一速率间隔v1到v2中分子数与总分子数的比率可表示为21d)(vvvvfNN速率分布函数满足归一化条件1d)(0vvf2.麦克斯韦速率分布曲线f(v)vOv(速率分布曲线)·由图可见，气体中速率很小、速率很大的分子数都很少。NNdvvd)(f·在dv间隔内,曲线下的面积表示速率分布在v～v+dv中的分子数与总分子数的比率v＋dv···在v1~v2区间内,曲线下的面积表示速率分布在v1~v2之间的分子数与总分子数的比率NNf21d)(vvvvv1v2TvOT(速率分布曲线)·曲线下面的总面积，等于分布在整个速率范围内所有各个速率间隔中的分子数与总分子数的比率的总和01d)(vvf最概然速率vpf(v)出现极大值时,所对应的速率称为最概然速率·pv(归一化条件)f(v)不同气体,不同温度下的速率分布曲线的关系·①μ一定,T越大,这时曲线向右移动②T一定,μ越大,这时曲线向左移动vp越大,vp越小,T1f(v)vOT2(T1)1pv2pvμ1f(v)vOμ2(μ1)1pv2pv由于曲线下的面积不变,由此可见五.分子速率的三种统计平均值1.平均速率MRTkT59.1π80d)(1dNNfNNNvvvvJ/K1038.1106.0228.3123230NRk0d)(Nfvvv式中M为气体的摩尔质量，R为摩尔气体常量21d)(vvvvvf思考：是否表示在v1~v2区间内的平均速率？MRTμkT73.132v3.最概然速率2.方均根速率μkTf3)d(022vvvv0d(dpvvvv)fMRTMRTμkTp41.122vT(1)一般三种速率用途各不相同讨论分子的碰撞次数用说明v讨论分子的平均平动动能用2v讨论速率分布一般用pvpvv2vpvvv2f(v)vO(2)同一种气体分子的三种速率的大小关系:···氦气的速率分布曲线如图所示.解例求(2)氢气在该温度时的最概然速率和方均根速率1000He2Hm/s10001023RT3H10)(2RTpvm/s1041.13MRT3)(2H2vm/s1073.13MRT2pv)(vf)m/s(vO(1)试在图上画出同温度下氢气的速率分布曲线的大致情况，(2)0va有N个粒子，其速率分布函数为00000202)(0vvvvvvvvvvafa(1)作速率分布曲线并求常数a(2)速率大于v0和速率小于v0的粒子数解例求)(vf02v032va12100aavv(1)由归一化条件得1dd000200vvvvvvvaavO(2)因为速率分布曲线下的面积代表一定速率区间内的分与总分子数的比率，所以323200vv因此，vv0的分子数为(2N/3)同理vv0的分子数为(N/3)a0vNN0vvNN32的分子数与总分子数的比率为根据麦克斯韦速率分布律，试求速率倒数的平均值。)1(v根据平均值的定义，速率倒数的平均值为0d)(1)1(vvvvfvvvd)π2(π4022/32kTekT)2(d)()π2(π42022/32vvkTekTkTkTvπ4π48ππ2kTμkT解例根据麦克斯韦速率分布率，试证明速率在最概然速率vp~vp+Δv区间内的分子数与温度成反比(设Δv很小)T22/2/32)π2(π4)(vvvkTekTf2/322π4vvvvpep11π4)(efppvv将最概然速率代入麦克斯韦速率分布定律中，有例证vvv12π4)(ekTNNfNpTN1金属导体中的电子，在金属内部作无规则运动，与容器中的气体分子很类似。设金属中共有N个电子，其中电子的最大速率为vm，设电子速率在v~v+dv之间的几率为式中A为常数vvd2ANNdmvv0mvv0解例求该电子气的平均速率NNm)d(0vvvmAvvv03d44mAv因为仅在（0，vm）区间分布有电子，所以气体分子按平动动能的分布规律vvvkTekTNN2/22/32)π2(π4麦克斯韦速率分布定律221vvvkTekTfNN/2123)π2(π24)(上式表明理想气体在平衡态下，分子动能在~+区间内的分子数与总分子数的比率。意义：代入上式得思考最概然平动动能是否等于最概然速率所对应的平动动能?两边微分§6-6分子的平均自由程和平均碰撞次数一个分子单位时间内和其它分子碰撞的平均次数，称为分子的平均碰撞频率。一.分子的平均碰撞频率Z假设·每个分子都可以看成直径为d的弹性小球，分子间的碰撞为完全弹性碰撞。大量分子中，只有被考察的特定分子A以平均速率运动，其它分子都看作静止不动。uudnZ2π单位时间内与分子A发生碰撞的分子数为udn2π考虑到所有分子实际上都在运动，则有平均碰撞频率为v2uv2π2dnZMRTdnZπ8π22用宏观量p、T表示的平均碰撞频率为···分子在连续两次碰撞之间自由运动的平均路程，称为分子的平均自由程。ndZ2π21v二.分子的平均自由程pdkT2π2用宏观量p、T表示的分子平均自由程为说明在标准状态下，各种气体分子的平均碰撞频率的数量级约为109s-1，平均自由程的数量级约为10-7~10-8m。估算氢气分子在标准状态下的平均碰撞频率m/s1070.13vm10210d325m107.2n19s1095.7Z常温常压下，一个分子在一秒内平均要碰撞几十亿次，可见气体分子之间的碰撞是多么的频繁！解例在标准状态下，有对氢气分子取，则m79.71021.3)103(π2117210317233m1021.33001038.11033.1kTpn真空管的线度为10-2m，其中真空度为1.33×10-3Pa。设空气分子的有效直径为3×10-10m。27℃时单位体积内的空气分子数、平均自由程、平均碰撞次数。解例求nd2π21由气体的状态方程,有m102在这种情况下气体分子相互之间很少发生碰撞，只是不断地来回碰撞真空管的壁，因此气体分子的平均自由程就应该是容器的线度。即141068.4sZvm/s7.468π8kTv