3.1不等关系和不等式--(3课时)

3.1不等关系与不等式第一课时第三章不等式问题提出t57301p21.在数学中，表示等量关系的式子叫做等式，那么“不等式”的含义如何理解？表示不等关系的式子叫做不等式.2.现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系.例如，两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，等等.人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系.因此，如何用数学语言表述这样的不等关系，就成为一个新的学习的内容.mnpqaaaamnpqaaaa知识探究(一)：用不等式表示不等关系思考1：限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行使时，应使汽车的速度v不超过40km/h.怎样用不等式表示这里的不等关系？思考2：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，怎样用不等式组表示这里的不等关系？0＜v≤402.5%2.3%fpì³ïïïíï³ïïî思考3：设点A与平面α的距离为d，B为平面α上的任意一点，则d与|AB|的大小关系怎样表示？d≤|AB|ABd思考4:某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本.若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入不低于20万元？2.5(80.2)200.1xx--闯思考5：某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种.按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍.如何用不等式组表示上述所有不等关系？5006004000300xyxyxy知识探究(二)：比较实数大小的基本原理思考1：实数可以比较大小，对于两个实数a，b，其大小关系有哪几种可能？a＞b，a＝b，a＜b.思考2：任何一个实数都对应数轴上的一个点，那么大数与小数所对应的点的相对位置关系如何？大数对应的点位于小数对应的点的右边思考3：如果两个实数的差是正数，那么这两个实数的大小关系如何？反之成立吗？如何用数学语言描述这个原理？a－b＞0a＞b思考4：如果两个实数的差等于零，那么这两个实数的大小关系如何？反之成立吗？如何用数学语言描述这个原理？a－b=0a=b思考5：如果两个实数的差是负数，那么这两个实数的大小关系如何？反之成立吗？如何用数学语言描述这个原理？思考6：考察下列三个不等式：|x|≥x；x2＜0；sinx＞0.这些不等式各有什么特点？如何通过数学概念加以区分？a－b＜0a＜b绝对不等式，矛盾不等式，条件不等式.思考7：怎样理解a≠b？思考8：对于数列{an}，an＋1＞an或an＋1＜an(n∈N*)与an＋1≠an等价吗？理论迁移例1某用户计划购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，使用资金不超过500元，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，用不等式组表示软件数x与磁盘数y应满足的条件.607050032xyxy例2比较下列两组代数式的大小：(1)x2+3与3x；(2)x6+1与x4+x2；(3)(4)2(0,0,)12与1aabababb2222()()()()(0)与xyxyxyxyxy小结作业1.用不等式表示不等关系是一种数学建模，准确理解题意，设定字母表示相关数量，是正确建模的关键.对具有多个不等关系的实际问题，要用不等式组来表示.2.两个实数的差的符号能反映这两个实数的大小关系，这是确定两个实数大小关系的基本原理，同时也是发掘不等式性质的理论依据.3.用“差比法”比较两个实数的大小，一般分三步进行：作差→变形→判断符号.其中变形的目的在于判断差式的符号，常用的变形手段有因式分解、配方等.作业：P74练习：1，2.P75习题3.1B组：1.第二课时3.1不等关系与不等式问题提出1.反映实数大小关系的基本原理是什么？a－b＞0a＞ba－b=0a=ba－b＜0a＜b2.用“差比法”比较两个代数式大小的一般步骤如何？作差→变形→判断符号3.对不等式的认识仅停留在上述层面上是不够的，为了深入研究各种背景下的不等关系，我们必须建立相关的不等式理论，这是我们需要进一步研究的问题.探究（一）：不等式的基本性质思考1：有一个不争的事实：若甲的身材比乙高，则乙的身材比甲矮，反之亦然.从数学的观点分析，这里反映了一个不等式性质，你能用数学符号语言表述这个不等式性质吗？a＞bb＜a（对称性）思考2：又有一个不争的事实：若甲的身材比乙高，乙的身材比丙高，那么甲的身材比丙高，这里反映出的不等式性质如何用数学符号语言表述？Þa＞b，b＞ca＞c；a＜b，b＜ca＜c（传递性）ÞÞ思考3：再有一个不争的事实：若甲的年薪比乙高，如果年终两人发同样多的奖金或捐赠同样多的善款，则甲的年薪仍然比乙高，这里反映出的不等式性质如何用数学符号语言表述？Ûa＞ba+c＞b+c（可加性）思考4：还有一个不争的事实：若甲班的男生比乙班多，甲班的女生也比乙班多，则甲班的人数比乙班多.这里反映出的不等式性质如何用数学符号语言表述？a＞b，c＞da+c＞b+d（同向可加性）Þ思考5：如果a＞b，c＞0，那么ac与bc的大小关系如何？如果a＞b，c＜0，那么ac与bc的大小关系如何？为什么？思考6：如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac与bd的大小关系如何？为什么？Þa＞b，c＞0ac＞bc；a＞b，c＜0ac＜bcÞa＞b＞0，c＞d＞0ac＞bdÞ思考7：如果a＞b＞0，n∈N*，那么an与bn的大小关系如何？nananbnb思考8：如果a＞b＞0，n∈N*，那么与的大小关系如何？nanbÞnaa＞b＞0＞(n∈N*)nba＞b＞0an＞bn(n∈N*)Þ探究（二）：不等式的拓展性质思考1：在等式中有移项法则，即a＋b＝ca＝c－b，那么移项法则在不等式中成立吗？a＋b＞ca＞c－b思考2：如果ai＞bi(i＝1，2，3，…，n)，a1＋a2＋…＋an与b1＋b2＋…＋bn的大小关系如何？ai＞bi(i＝1，2，3，…，n)a1＋a2＋…＋an＞b1＋b2＋…＋bnÞ思考3：如果ai＞bi(i＝1，2，3，…，n)，那么a1·a2…an＞b1·b2…bn吗？ai＞bi＞0(i＝1，2，3，…，n)a1·a2…an＞b1·b2…bnÞ思考4：如果a＞b，那么an与bn的大小关系确定吗？a＞b，n为正奇数an＞bnÞ思考5：如果a＞b，c＜d，那么a＋c与b＋d的大小关系确定吗？a－c与b－d的大小关系确定吗？a＞b，c＜da－c＞b－dÞ思考6：若a＞b，ab＞0，那么的大小关系如何？11ab与a＞b，ab＞011ab理论迁移例1已知a＞b＞0，c＜0，求证:.ccab例2已知，x＞y＞0，求证：.110abxyxayb例3若a＜b＜0，判断下列结论是否成立.（1）（2）（3）（4）ac2＜bc211ab11aba22ab例4给出三个不等式：①ab＞0，②,③bc＞ad，以其中任意两个作条件，余下一个做结论，可组成几个正确命题.cdab小结作业1.不等式的8条基本性质，就是不等式的运算法则，是分析、研究和解决不等式问题的逻辑依据，在此基础上还可引伸出许多其他性质，学习上要求掌握基本性质，了解拓展性质.2.上述不等式性质都是可以证明的结论，反映实数大小关系的基本原理是证明不等式性质的理论基础.3.在不等式的基本性质中，有些条件与结论是等价的，有些是不等价的，在不等式的乘法、乘方、开方运算性质中，还要附加大于0的条件，应用时必须认准.4.不等式的8条基本性质还可作适当变通，如a≥b，b＞ca＞c；a≥b，c＞0ac≥bc；a＜b，c＜0ac＞bc等等.ÞÞÞ作业：P75习题3.1A组：2，3.B组：2.第三课时3.1不等关系与不等式t57301p21.两个实数大小关系的比较原理知识梳理a－b＞0a＞ba－b=0a=ba－b＜0a＜b2.不等式的基本性质（1）a＞bb＜a（对称性）（2）a＞b，b＞ca＞c；a＜b，b＜ca＜c（传递性）ÞÞ（3）a＞ba+c＞b+c（可加性）（4）a＞b，c＞da+c＞b+dÞÞ（5）a＞b，c＞0ac＞bc；a＞b，c＜0ac＜bcÞ（6）a＞b＞0，c＞d＞0ac＞bdÞ（7）a＞b＞0an＞bn(n∈N*)ÞÞna（8）a＞b＞0＞(n∈N*)nbt57301p2应用举例例1已知a＞b＞1，求证：2abbb+3232例2已知b＞a＞c，a＞0，求证：bcabca++例3已知a、b为正实数，求证：ababba例4比较下列各组代数式的大小：（1）a2＋b2与2(a＋b－1)；（2）(a＋b)(a3＋b3)与(a2＋b2)2(a＞0，b＜0).例5已知c＞a＞0，c＞b＞0，比较a与.2ccab--例6已知数列{an}是等比数列，数列{bn}是等差数列，且a1＝b1＞0，a3＝b3＞0，a1≠a3，试比较a5与b5的大小.小结作业1.证明不等式和比较大小，是不等式的两个基本问题，解决不等式问题必须以不等式性质为理论依据，常用方法有比较法、综合法、分析法等.2.比较法包括差比法和商比法.其中商比法的理论依据是或.1,0ababb?1,0ababb?作业：P75习题3.1A组：4，5.B组：3.