2012年全国高中数学联赛模拟卷(3)(一试+二试-附详细解答)

2012模拟卷（3）第1页共7页2012年全国高中数学联赛模拟卷(3)第一试(考试时间：80分钟满分：120分)姓名：_____________考试号：______________得分：____________一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）1．函数51102yxx的最大值是_______2．青蛙在正六边形ABCDEF上A点处，每次向相邻顶点跳跃.到达D点或者跳满五次则停止.不同跳跃方式有____________种.3．设2()fxaxbxc,(0)1,(1)1,(1)1,fff则(2)f的最大值为___________4．设数列{}na的前n项和nS满足：1(1)nnnSann，1,2,n，则通项na=______5．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)与直线1xy交于M,N两点,且OMON(O为原点),当椭圆的离心率e∈[33,22]时,椭圆长轴长的取值范围是__________6．对于每个大于等于2的整数n，令)(nf表示xnxsinsin在区间],0[上不同解的个数，)(ng表示xnxcoscos在区间],0[上不同解的个数，则20072))()((nnfng=____________7．在平面直角坐标系中，定义点P(x1,y1),Q(x2,y2)之间的“直角距离”为d(P,Q)=|x1－x2|＋|y1－y2|若C(x,y)到点A(1,3),B(6,9)的“直角距离”相等，其中实数x,y满足0≤x≤10,0≤y≤10，则所有满足条件的点C的轨迹的长度之和为_________8．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为46的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是二、解答题（本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分）9．已知,,abc是实数,二次函数2()fxaxbxc满足()02abcfa，求证：－1与1中至少有一个是()0fx的根.10．设0b，数列{}na满足1ab，1122nnnnbaaan(2)n．（1）求数列{}na的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n，1112nnnba．11．已知椭圆1222yx，过定点)0,1(C两条互相垂直的动直线分别椭交圆于QP,两点。21,FF分别为左右焦点，O为坐标原点。（1）求向量||21PFPF的最小值；（2）当向量21PFPF与21QFQF互相垂直时，求QP,两点所在直线的斜率。2012模拟卷（3）第2页共7页2012年全国高中数学联赛模拟卷(3)加试(考试时间：150分钟满分：180分)姓名：_____________考试号：______________得分：____________一、（本题满分40分）如图，C为半圆弧的中点，点P为直径BA延长线上一点，过P作半圆的切线PD，D为切点，BPD的平分线分别交BCAC,于点FE,．求证：以EF为直径的圆过半圆的圆心Ｏ．二、（本题满分40分）已知m，n为正整数.(1)用数学归纳法证明：当x＞－1时，(1＋x)m≥1＋mx；(2)对于n≥6，已知11(1)32nn，求证：1(1)()32nmmn(m=1,2,3,…,n)；(3)求出满足等式3n＋4n＋…＋(n＋2)n＝(n＋3)n的所有正整数n.三、（本题满分50分）（1）证明：存在无穷多个正整数n，使23n与25n同时为合数.（2）试判断是否存在正整数p和q，使得对于任意n≥2007，总有23np与25nq之一为素数？并证明你的结论。四、（本题满分50分）现有一根由n颗珠子串成的项链（环行线串成）。每颗珠子上都标着一个整数，且它们的和为1n，求证：我们可以把这串项链绳从某处截断，使它成为一根线段上串着n颗珠子的珠串，它们的相继标号顺次为nxxx,,,21，且对一切nk,2,1恒有11kxkii成立。OABCPEFD2012模拟卷（3）第3页共7页2012年全国高中数学联赛模拟卷(3)答案1、函数的定义域为[1,5]，且y＞0,5125yxx22225(2)(1)(5)xx27463当且仅当2155xx，等号成立，即x＝12727时函数取最大值632、跳5步共有32种，其中包含3步跳到D的两种情形，应减去8种，所以满足条件的5步跳有24种。在加上2种3步跳，共26种。3、24233fabcabcabcc3113031130ffffff3137,当221fxx时,27f4.1111(1)(2)(1)nnnnnnnaSSaannnn，即2nnannnnnna)1(111)2)(1(221=)1(1)2)(1(2nnannn，由此得2)1(1))2)(1(1(1nnannann．令1(1)nnbann，111122ba(10a)，有112nnbb，故12nnb，所以)1(121nnann．5.由222211xyabxy,可得2222222()20abxaxaab①由OMON得12120xxyy,即12122()10xxxx,将212222axxab,2221222aabxxab代入得22112ab,即22112ba,因为3232ca,得2211132ba,得221223ba,有2231(2)22aa,解得526a.6、由xnxsinsin得：xkxknx22或，即112nkx或12nkx，又],0[x，则20nk或210nk；但两组取值可能重复。若112nk12nm，讨论得：*,14Nttn时重复一组。同理对于xnxcoscos，12nkx或12nkx，210nk或210nk，*,12Nttn时重复一组。比较两种解的取值知，210nk为公共部分，n为奇数时，210nk比20nk多一组解，但)(ng当*,12Nttn时重复一组。)(nf只当*,14Nttn时重复一组。实质只有当*,14Nttn时，)(ng比)(nf多1个解，其余情况解相同。所以20072))()((nnfng=5011452005。7.由条件得|1||3||6||9|xyxy--------①当y≥9时，①化为|1|6|6|xx，无解；当y≤3时，①化为|1|6|6|xx，无解；当3≤y≤9时，①化为212|6||1|yxx-------②若x≤1，则y＝8.5，线段长度为１；若1≤x≤6，则x＋y＝9.5，线段长度为52；若x≥6，则y＝3.5，线段长度为４．综上可知，点C的轨迹的构成的线段长度之和为1＋52＋4＝5(2＋1)2012模拟卷（3）第4页共7页8.如答图1，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为r，作平面111ABC//平面ABC，与小球相切于点D，则小球球心O为正四面体111PABC的中心，111POABC面，垂足D为111ABC的中心．因11111113PABCABCVSPD1114OABCV111143ABCSOD，故44PDODr，从而43POPDODrrr．记此时小球与面PAB的切点为1P，连接1OP，则222211(3)22PPPOOPrrr．考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为PAB)相切时的情况，易知小球在面PAB上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为1PEF，如答图2．记正四面体的棱长为a，过1P作1PMPA于M．因16MPP，有113cos2262PMPPMPPrr，故小三角形的边长1226PEPAPMar．小球与面PAB不能接触到的部分的面积为（如答图2中阴影部分）1PABPEFSS223((26))4aar23263arr．又1r，46a，所以124363183PABPEFSS．由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为7239、由()02abcfa知二次函数2()fxaxbxc有零点，若二次函数2()fxaxbxc只有唯一的零点，则这个零点就是抛物线的顶点，有22abcbaa，解得ac，由0，有2240ba，则2ba，故抛物线的顶点横坐标为2122baxaa，所以1与1中至少有一个是()0fx的根。若二次函数2()fxaxbxc有两个不同的零点，因为：22242aabcbabcabcfcaaa2244abcbabcaca244abcabcbaca2244acbaca224acba4abcabCa1104ffa，所以10f或10f故1与1中至少有一个是0fx的根。10、解：∵1122nnnnbaaan，∴1122nnnabanan，∴1211nnnnabab①当2b时，1112nnnnaa，∴11(1)22nnna，即2na②当0b且2b时，11211()22nnnnabbab，当1n时，122(2)nnabbb∴1{}2nnab是以2(2)bb为首项，2b为公比的等比数列，∴112()22nnnabbb答图1答图22012模拟卷（3）第5页共7页∴212(2)2(2)nnnnnnnbabbbbb，∴(2)2nnnnnbbab综上所述(2),02222nnnnnbbbbabb　且，　　　　　（2）方法一：证明：①当2b时，11122nnnba；②当0b且2b时，12212(2)(222)nnnnnnbbbbb122112(1)12(1)(1)(1)2222222nnnnnnnnnnnnnnnnnbnbbabbbnbb11111111211111112222222222222nnnnnnnnnnnnnnnnbbbbbbb1112nnb∴对于一切正整数n，1112nnnba．方法二：证明：①当2b时，11122nnnba；②当0b且2b时，要证1112nnnba，只需证11(2)122nnnnnnbbbb，即证1(2)122nnnnnbbbb，即证1221112222nnnnnnnbbbbb即证122111()(222)2nnnnnnbbbbnb即证2112231122221()()2222nnnnnnnnbbbbnbbbb∵2112231122221()()2222nnnnnnnnbbbbbbbb2121232111222()()()()2222nnnnnnnnbbbbbbbb212123211122222222222nnnnnnnnbbbbnbbbb，∴原不等式成立。∴对于一切正整数n，1112nnnba．11、解：（1）POPFPF221，所以||21PFPF=2||PO.即最小值为.22b当P点位