2012年全国高中数学联赛模拟卷(10)(一试+二试-附详细解答)

2012模拟卷（10）第1页共6页2012年全国高中数学联赛模拟卷(10)第一试(考试时间：80分钟满分：120分)姓名：_____________考试号：______________得分：____________一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）1、设a,b是两个正整数,它们的最小公倍数是24·33·72·11,那么这样的有序正整数对(a,b)有_组.2、方程16sinπxcosπx＝16x＋1x的解集合为3、三棱锥SABC是三条侧棱两两垂直的三棱锥，O是底面ABC内的一点，那么tantantanWOSAOSBOSC的最小值是______________4、对任意,xyR，代数式22222654522Mxxyyxxyy的最小值为________5、计算：232010sinsinsinsin2011201120112011_______________6、篮球场上有5个人在练球，其战术是由甲开始发球（第一次传球），经过六次传球跑动后（中途每人的传球机会均等）回到甲，由甲投3分球，其中不同的传球方式为___________种．7、对,xyR，函数(,)fxy都满足：①(0,)1fyy；②(1,0)(,1)fxfx；③(1,1)(,(1,))fxyfxfxy；则(3,2011)f__________________8、设2n个实数122,,,naaa满足条件21211()1niiiaa则12212()()nnnnaaaaaa的最大值为________________二、解答题（本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分）9．设由不超过1000的两个正整数组成的数对(,)mn满足条件：121mmnn．试求所有这样的数对(,)mn的个数．10.P是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)上任意一点，12,FF是椭圆的焦点，12,PFPF分别交椭圆与,AB两点，求证：1212||||||||PFPFFAFB是定值．11.给定大于2011的正整数n，将21,2,3,,n分别填入nn的棋盘的方格中，使每个方格恰有一个数，如果一个方格中填的数大于它所在行至少2011个方格内所填的数，且大于它所在列至少2011个方格内所填的数，则称这个方格为“优格”，求棋盘中“优格”个数的最大值．2012模拟卷（10）第2页共6页2012年全国高中数学联赛模拟卷(10)加试(考试时间：150分钟满分：180分)姓名：_____________考试号：______________得分：____________一、（本题满分40分）设D为ABC内的一点，作DP⊥BC于P，DQ⊥AC于Q，DR⊥AB于R求证：QRPQ是DCDABCBA的充要条件。二、（本题满分40分）已知数列{}na，令kb为12,,,kaaa中的最大值（1,2,,kn），则称数列{}nb为“创新数列”，数列{}nb中不同数的个数称为“创新数列”{}nb的“阶数”，例如：{}na为1,3,5,4,2，则“创新数列”{}nb为1,3,5,5,5，其“阶数”为3．若数列{}na由1,2,3,,n(n≥3)构成，求能构成“创新数列”{}nb的“阶数”为2的所有数列{}na的首项和．三、（本题满分50分）设ABC的三边长为,,abc，,,abchmt分别为对应边上的高、中线和角平分线，求证：abchmt≤3()2abc,当且仅当ABC是正三角形时等号成立．四、（本题满分50分）求证：面积为1的凸n(n≥6)边形可以被面积为2的三角形覆盖．AQDRCBP2012模拟卷（10）第3页共6页2012年全国高中数学联赛模拟卷(10)答案1、设3312412423711,23711ab,则有11max22max33max44max{,}4,{,}3,{,}2,{,}1.故有序正整数对(a,b)有(241)(231)(221)(211)=945组.2、当x＞0时，16x＋1x≥8，（x＝14取到等号）而，(x＝14＋k,k∈Z取到等号),于是有当x＞0时，方程只有一个解x＝14。由于奇函数的性质，可知x＝14是方程的另一解。故方程的解集合为{14,－14}3、解：由222coscoscos1OSAOSBOSC，得222sincoscosOSCOSAOSB≥2coscosOSAOSB，同理还有两个不等式，则W≥22．4、解：配方得22222(1)(2)1(2)()Mxxyxxy，设(1,2),(,),(0,)ABxxCy，点A关于直线yx的对称点为1(2,1)A，关于y轴的对称点为2(1,2)A，所以：12||||||||||||MABACBCABACBC≥12||10AA．5、解：设122cossinzinn，则1z是方程1nz的根，则21211111()()()nnzzzzzzzzz，2111112(1)|(1)(1)(1)|2sinsinsinnnnnzzznnn，令2011n，则原式＝2010201126、解：设经过n次传球跑动后回到甲的不同传球方式为na（n≥2），则114nnnaa，所以66554211()()()aaaaaaaa5432444448207、解：由①②③可推出3(1,)2(2,)23(3,)23nfnnfnnfn．2014(3,2011)23f8、解：当n≥2时，令1111,1,2,3,,21iiixaxaain则21221niix，12iiaxxx所以：1212212()(1)((1))nnnnnnxxxnxnxxnxnxx231222(1)(1)nnnnxxnxnxnxx≤221222222(21)(121)3niinnnx．9、解：由121mmnn可得212(1)nmn对于每个n，在这个范围内的整数个数为[2(1)][21][2(1)][2]1nnnn又707210007082，则n≤707,但当707n时，999,1000m所以：数对(,)mn的总数为7061([2(1)][2]1)2nnn7061([2(1)][2])708708[7072][2]70899911706nnn2012模拟卷（10）第4页共6页10、证明：如图，由椭圆的定义知：11||||PFPPe，1||FMp，11||||FAAAe其中e为该椭圆的离心率，p为该椭圆的焦准距．由相似形及和分比定理得：11111111111||||||||||||2||||||||||||PFAFAFFPPFAFPFAPeeAFAFAFepAFeppe所以：111||2||1||PFPFAFep,同理可得：222||2||1||PFPFBFep所以：1212||||||||PFPFFAFB2122244(||||)222aaPFPFepepb为定值．11、解：定义一个方格中填的数大于它所在行至少2011个方格中所填的数，则称此格为行优的．又每一行中填较小的2011个数的格子不是行优的，得到每行中有2011n个格子为行优的．另外，每一个“优格”一定是行优的，所以棋盘中“优格”个数≤(2011)nn．将棋盘的第(1,2,3,,)iin行第,1,,2010iii（大于n时，取模n的余数）列中的格子填入“*”，再将1,2,3,,2011n填入有“*”的格子，其余的数填入没有“*”的格子．没有“*”的格子中填的数大于有“*”的格子中填的数，所以，棋盘中没有“*”的格子都是“优格”，共有(2011)nn个．容易验证这种填法满足条件，所以“优格”个数的最大值为(2011)nn个．二试题答案：一、证明：证明：先证充分性。如图，由于∠DPC=∠DQC=90°，所以D，Q，P，C四点共圆。进而∠BCA+∠PDQ=180°，∠ACD=∠QPD同理，由D，R，A，Q四点共圆，得∠CAD=∠QRD，∠BAC+∠QDR=180°在ABC和ADC中应用正弦定理，得QDRPDQBACBCABCBAsinsinsinsin；QRDQPDCADACDDCDAsinsinsinsin又PQ=QR，所以1sinsinsinsinQRPQQRQDQDPQQDRQRDQPDPDQDADCBCBA，于是DCDABCBA再证必要性。同上可得QRPQQRQDQDPQQDRQRDQPDPDQDADCBCBAsinsinsinsin又DCDABCBA，所以1DADCBCBA，即1QRPQ，所以QRPQP1F2FAB1AM1PAQDRCBP2012模拟卷（10）第5页共6页二、解：首项1ak，则1,2,,1k任意排列，第一个空的位置是n，则所有数列{}na的首项和为111111(1)!(1)!(1)!()!nnknkknkPnkknknk11(1)!nkknnk11(1)!nknknk11(1)!(1)nknnk1111!()nknkn1111!(1)231nnnn111!1nknk方法二、设1kan，首项1aq（q≥k），则所有数列{}na的首项和为1111111111(1)!(1)!()!nnnnknkqnkqkkqkkqqPPqnkqk111111!(1)!!(1)!!()!!nnnnkqqkkqkkqnkkCnkkqkk111(1)!!nknkCnkk1111!!(1)!!(1)!(1)!1nnkknnnkkknkk111!1nknk三、证明：由角平分线公式知2cos2abcAtbc，所以：22222222222222441cos2cos(1)()2()2()2abcAbcAbcbcatbcbcbcbc222(())()bcbcabc≤221(())4bca，由柯栖不等式得：2bamt≤223(2)bamt≤2222233(2()2()2)(2)42acbbcabc，同理2bcmt≤3(2)2ba，所以：abchmt≤abctmt1(22)2babcmtmt≤13(22)22bcba3()2abc，当且仅当ABC是正三角形时等号成立．四、证明：（1）若凸n边形中顶点三角形面积都小于等于12，则取其顶点三角形中面积最大的，设为111ABC，作222ABC使得111,,ABC为222ABC各边的中点．则凸n边形其它顶点都在222ABC中（包括边界），否则与111ABC面积最大矛盾．所以222ABC覆盖了凸n边形，其面积小于等于2．1A2A1B1C2C2B2A2B2C1A2P3P1P1C1BO2012模拟卷（10）第6页共6页（2）若凸n边形中存在顶点三角形面积大于12，设为111ABC，如图设1P为直线11BC与1A异侧的顶点中到直线11BC距离最大的点；2P为直线11AC与1B异侧的顶点中到直线11AC距离最大的点；3P为直线11AB与1C异侧的顶点中到直线11AB距离最大的点；过1P，2P，3P分别作11BC，11AC，11AB的平行线，得到222ABC．设222ABC与111ABC