行程问题的画图方法与技巧

行程问题画图分析的方法与技巧————向量构图法列方程解应用题可简单概括为“审、析、列、算、查”五个步骤。即“审题、分析、列式、计算、检查”。其中找等量关系式是解题的关键，然而较复杂的行程应用题的等量关系式是很难一下子找出来的，这就需要我们在“审题”的基础上认真分析，通过不断地把未知量用含未知数的代数式表示出来，即不断地扩大已知，使等量关系“水到渠成”。在解行程应用题时，采取画图分析的方法不仅能有利的协调学生左、右脑（科学用脑），锻炼学生分析问题的能力，而且能激发学生的学习兴趣，培养学生的创新能力。此外，通过对物体运动、联系、发展、变化的分析与再现，也为学生不断形成辩证唯物主义世界观打下良好的基础。⒈图的构成:行程问题都与物体的位移有着直接的关系，而速度是既有大小，又有方向的量，所以图的主要构成是向量。此外，一幅完整的图还应包括图标、数据、文字、注解等，其中构成向量的有向线段有虚实、粗细及不同颜色的变化。⒉绘图原则：在画图过程中应坚持的原则有：⑴要坚持认真审题。审题是解答应用题的第一步，能否顺利、准确的分析，审清题目的已知条件和问题是基础。⑵在认真审题基础上，“边读边画，兼顾协调”的原则。即：在审清题目的已知条件和问题后，边读边画，并兼顾题中数据的比例关系、前后联系及隐含条件等，展开联想，合理安排。⑶画图力求简洁和清晰明了，防止混淆不清。在画图时要坚持画彩色图并利用有向线段的粗细和虚实等合理区分，防止混淆不清。⑷根据题目的特点，灵活创新。⒊绘图技巧⑴“速度、路程（数值型）”分别标在对应向量的“上、下”。一般情况下，含未知数的代数式所表示的路程标在它们中间。⑵用同种颜色表达同一事物及变化。⑶用“粗细”搭配来区分物体的“同时性”与否。同时运动的物体，用较粗的有向线段来表示。⑷用虚、实来区分物体的“假设运动”与“真实运动”等。4.实例分析：⑴巧用粗细及虚实的分析举例：分析图：“?”例1：有AB两城相距30千米，甲骑自行车从A往B，出发1小时30分钟后，乙骑摩托车也从A到B，已知乙的速度是甲的2.5倍，且乙比甲早到1小时，求甲的速度。甲：V甲千米/时1．5·V甲千米1·V甲千米2.5V甲千米/时30千米说明：通过运用相同较粗的有向线段表示同时性，不仅表达出了题目中的隐含条件（同时的路程），而且有利于我们联想出“相同时间内，路程比=速度比”，为解答此题提供依据。“虚”向量准确表达了“乙比甲早到1小时”的含义即:当乙到达B地后，假设甲继续前进，还需走1小时才能到达。显然，合理利用向量的“粗细”、“虚实”等使问题更加一目了然，便于分析。⑵巧用不同颜色的分析举例：？千米说明：甲休息后返回的路程极容易和乙的行程混淆，通过颜色的区分，使混淆的可能几乎为零。而且清晰可辨的数据等能帮助学生顺利地列出含有未知数的代数式，扩宽了学生发现“相等关系”的空间。7.4千米例2：学生甲从A地出发半小时后，学生乙也从A地出发，沿甲所行的道路追赶甲，2小时后，他们相距7.4KM（甲在前，乙在后），此时乙继续前进，甲在原地休息20分钟后沿原路返回，半小时后，与乙相遇于B地，求A、B两地间的路程？（1999～2000南开区毕业测试原题）分析图：甲：乙：A地休息20分B地C地乙：B地A地2x千米y千米/时0.5x千米2y千米y31千米x千米/时0.5x千米0.5y千米⑶灵活运用，巧妙创新的分析举例：分析图：⑴示意图：1.5x米/秒1.5x米/秒x米/秒x米/秒⑵抽象图：快：1.5x米/秒x米/秒：慢说明：通过示意图巧妙再现了火车的相遇及离开过程，观察“一红一绿”两个车尾轱辘可以发现，此题实际是在描述两个尾轱辘从相距两个车长到相遇的过程，两车身长即总路程。抽象图“以点带面”的简化了运动的实质，显示了“向量构图法”简洁、明了等优势。因此，在这样灵活的处理下，学生会真正理解运动的全过程及实质。在实际教学中，“向量构图法”发挥了明显的优势，尤其在解数量关系较复杂的行程应用题时，借助分析图互相探讨，变抽象为具体，促进了良好的学习氛围的形成，大大地提高了学生们分析问题的能力。显然向量构图法的优势在于：有利地开发了学生的右脑，激发了学生的学习兴趣，为提高学生分析问题的能力和创新能力提供帮助。同时，也为学生不断形成辩证唯物主义世界观打下了良好的基础。快：120米慢：108米例3：两列火车在平行的轨道上相向行使，已知快车长120米，慢车长108米，两车从相遇到完全离开共用了40秒，若快车的速度是慢车的1.5倍，求两车的速度各是多少？快：120米慢：108米慢：108米（a:刚一接触的瞬间）（b:即将离开的瞬间）40x米40·1.5x米（120+108）米练习题：1．甲、乙两辆汽车的速度分别为每小时52千米和40千米，它们同时出发到乙地去，出发后6小时，甲车遇到一辆迎面开来的卡车，又过一小时后，乙车也遇到了这辆卡车，求这辆卡车的速度。2．甲、乙二人都以每分钟60千米的速度同时、同地、同向步行出发，走15分钟后，甲返回出发地取东西，乙继续前进。在出发地甲耽误了5分钟时间后，改骑自行车，以每分钟360米的速度追乙，骑车多少分钟才能追上乙。3．甲、乙两车从A地同时相背而行，甲速40km/h，乙速30km/h，一段时间后，甲到达C地并休息15分，后立即追乙，结果在距A地300千米的B地追上乙，求B、C两地路程？