球面距离与几何体体积

位于同一经线上两点的球面距离例2求东经线上，纬度分别为北纬和的两地，B的球面距离．（设地球半径为）．（见图3）解经过两地的大圆就是已知经线．，．3．位于不同经线，不同纬线上两点的球面距离例3地位于北纬，东经，B地位于北纬，东经，求，B两地之间的球面距离．（见图4）解设为球心，，分别为北纬和北纬圈的圆心，连结，，．△中，由纬度为知，∴，．△中，，∴，∴．2．在赤道上，东径140°与西径130°的海面上有两点A、B，A、B的球面距离是________（设地球半径为R）．．设球心为O，∵A、B在赤道这个大圆上，∴∠AOB＝（180°－140°）+（180°－130°）＝90°，∴2πAOB，∴A、B的球面距离为R2π．5．设地球半径为R，在北纬60°圈上有A、B两地，它们在纬度圈上的弧长是2πR，则这两地的球面距离是（）．A．R43B．R3πC．R57D．R2．B．如图答9-70，设北纬60°圈的圆心为O，球心为O，则260cosRRBOAO，∵A、B在纬度圈上的弧长为R2π，则π212πRRBOA，∴A、O、B三点共线，∵OA＝OB，60AOO，∴△AOB是正三角形，∴3πAOB，∴A、B的球面距离等于R3π．7．球面上有A、B、C三点，AB＝BC＝2cm，cm22AC，球心O到截面ABC的距离等于球半径的一半，求球的体积．．∵A、B、C是球面上三点，∴OA＝OB＝OC．设截面圆圆心为1O，则1OO⊥平面ABC，∴COBOAO111，∴1O是△ABC的外接圆圆心．∵AB＝BC＝2，22AC，∴222ACBCAB，∴∠ABC是直角．在△OAO1中，901AOO，21AO，21ROO，OA＝R，∴有2222)2(RR，解得382R，362R，球体积π27664362π343V．)cm(38．半径为1的球面上有三点A、B、C，其中A和B、A和C的球面距离为2π，B和C的球面距离为3π，求球心到平面ABC的距离．3．设球心为O，由球面距离的定义可知2πAOB，2πAOC，3πBOC．∵OA⊥OB，OA⊥OC，∴OA⊥平面BOC．∴三棱锥O－ABC的体积12314331V．在△ABC中，2AB,2AC,BC＝1，取BC中点M，则AM⊥BC，21MB，27AM．设点O到平面ABC的距离为h，∵BOCAABCOVV，∴1232131hBCAM，∴72173h．即点O到平面ABC的距离为721．1．如图：三棱锥ABCP中，PA底面ABC，若底面ABC是边长为2的正三角形，且PB与底面ABC所成的角为3．若M是BC的中点，则三棱锥ABCP的体积为（）.A.2B.3C.6D.243．在三棱锥A—BCD中，P、Q分别在棱AC、BD上，连结AQ、CQ、BP、PQ，若三棱锥A—BPQ，B—CPQ，C—DPQ的体积分别为6，2，8，则三棱锥A-BCD的体积为()A.20B.24C.28D.407．如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°,E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，A、B重合于点P，则三棱锥P—DCE的外接球的体积为()A.MABCPB.C.D.8．如图在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是A1B1上一点，且PB1=A1B1，则多面体1B1的体积为()A.8/3B.16/3C.4D.1612．如图1，在棱长为的正方体中，P、Q是对角线上的点，若，则三棱锥的体积为________1．A【解析】因为PA底面ABC，PB与底面ABC所成的角为3,所以3PBA因为2AB，所以32PB,2324433131PASVABCABCP.3．D【解析】如图，VA-BPQ∶VB-CPQ=6∶2，VB-APQ∶VB-CPQ=S△APQ∶S△CPQ=6∶2，类似地VA-DPQ∶VC-DPQ=VD-APQ∶VD-CPQ=S△APQ∶S△CPQ=6∶2.其中VC-DPQ=8.∴VA-DPQ∶8=6∶2，∴VA-DPQ=24，∴VA-BDC=6+2+8+24=40.7．C【解析】根据题意折叠后的三棱锥P-DCE为正四面体，且棱长为1，以此正四面体来构ABDCA1D1C1B1PQ图1PBDQaPQ2AC1ABCDABCD1111a造立方体，则此立方体的棱长为，故立方体的体对角线的长为，且立方体的外接球也为此正四面体的外接球，∴外接球的半径为，∴V球=.