第01章光与物质相互作用的一些基本概念

1第一章光与物质相互作用的一些基本概念瞬态相干光学过程，如自感应透明、超辐射、自由感应衰减、光学章动、光子回波和光学孤子等现象。都涉及到相干光脉冲尤其是超短激光脉冲与物质体系的相互作用。瞬态相干光学就是研究瞬态相干光学作用过程的瞬时变化规律。在近共振作用下，微扰理论不再适用，这种情况下昀简单的一种处理方法是采用光与物质的相互作用的半经典理论，即物质体系用量子力学描述，光场则采用经典的麦克斯韦方程组描述。把半经典理论应用于昀简单的二能级体系，从薛定谔方程出发，采用不同的绘景，都可以得到二能级体系的运动方程，这是一组非线性常微分方程。这组方程的建立和简单的求解，有助于我们理解光与二能级体系相互作用的一些基本概念。这些概念，既是量子光学课程的基础，也有助于理解光与物质相互作用和激光物理学相关概念。1.1半经典理论的一些物理假设半经典理论的处理方法，主要有薛定谔绘景、海森堡绘景和相互作用绘景，以及密度矩阵的方案，其处理手段上虽有不同，但其结果是一致的。但不同的处理方案，对理解相关的量子力学处理方法与概念有着不同意义，为了加深理论，用量子力学绘景和密度矩阵的方法处理光与物质相互作用的问题，主要是用密度矩阵的方法。这一章简单讲述量子力学绘景的处理方法。光与物质相互作用半经典理论主要基于的物理假设有：1.二能级近似实际的原子、分子或其他物质体系总是有许多能级的，但在体系的许多能级中，如果只有二个成对的能级的能量差接近作用光场的频率，那么其他能级的贡献可以忽略不计，只考虑有显著贡献的二个能级，这就是光与物质相互作用的二级能近似模型。用光与二能级原子体系作用作为基本模型，既可以简化问题又能反映出问题的本质。2.近共振激发光场的能量等于或接近于二能级的能级差，且上、下能级有布居交换。3.忽略原子间的直接相互作用原子间总是有存在各种各样的相互作用的，但是当原子的密度比较低时，原子间直接相互作用，可以忽略。原子之间的碰撞作用可唯象地归入原子的驰豫或衰减。要注意的是：体系中各个原子都在同一光场耦合，原子之间的这种间接作用，在一定条件下会导致原子的集体效应。但这并非原子间的直接作用。考虑原子间的相互作用，在原子密度较高时，采用近偶极-偶极相互(NDD)作用模型。如果涉及原子间的量子相关，如量子纠缠，也是要考虑原子间的相互作用的。4.电偶极近似光与原子相互作用时，通常原子的大小远小于光波的波长，这样，在原子的大小范围内，自然可以把光场看成常数。在研究光的吸收、自发辐射和受激辐射时，电偶极近似是很好的近似。5.旋转波近似(RWA)忽略掉非共振的高频项。6.慢变振幅近似通常光场与极化强度可以分为慢变部分与高频的快变部分，如果慢变部分在一个光学周期内的变换可以忽略不计，就称为慢变振幅近似或简称为慢变近似。7.绝热近似如果光场的驰豫时间很长，即光场的损耗很小，而原子的变量(如偶极矩等)的驰豫时间短。这样，当光场的慢变部分变化时，原子可以很快地、即时地跟随光场的变化；反过来说，在原子的驰豫时间内，光场的慢变振幅可以看成与时间无关的常数。21.2量子力学的表述方法量子力学对粒子微观状态的描述有二种基本的方法，即薛定谔波动力学方法和矩阵力学方法。薛定谔的波动力学方法物理概念比较清楚，微观粒子波粒二象性表现的也比较清楚，是量子力学的主流方法。狄拉克的矩阵力方法表述比较简单，在处理实际问题中得到广泛的应用。另外还有一种狄拉克(Dirac)符号表示法。1.2.1薛定谔波动力学方法如果波函数用如坐标表象或动量表象来表示波函数，动力学方程用薛定谔方程表达，是一种通常的表示达方式。同一量子态在F表象和F表象中的不同表示关第，它们通过一个矩阵S相联系，可以证明：††1SSSS(1.2.1)即变换矩阵S乃是一个幺正矩阵，这种变换也称为幺正(unitary)变换。1.2.2矩阵力学表述设量子态，经过算符ˆL运算后，变成另一个态ˆL(1.2.2)在以k为基矢的F表象中，上式表示为ˆˆkkkkkkkkkbLaaL(1.2.3)两边左乘*j(取标积)，得：ˆ(,)jjkkjkkkkbLaLa(1.2.4)式中：内积的表示为：3*ˆˆ(,)djkjkjkLLrL(1.2.5)式(1.2.4)可写在矩阵形式111121221222bLLabLLa(1.2.6)矩阵()jkL称为算符ˆL在F表象中的表示(用圆括号括号的符号，表示是一个矩阵，不加括号时，则表示该矩阵的矩阵元)。它的矩阵元jkL刻画F表象中的基矢k在算符ˆL作用下如何变化。基矢k在ˆL运算后(变成ˆkL)在F表象中的表示(分量)，即矩阵()jkL的第k列元素11kkLL。因此，矩阵()jkL一经给定，则任何3一个量子态在ˆL运算下的变化就随之完全确定。由此可见，在引入特定表象后，量子力学中的波函数、力学量以及所有公式都可以矩阵的方式来表达。矩阵的方式有利于理解量子力学的运算方式并方便程序化。矩阵是由矩阵是量子力学中常用的数学工具之一，下面我们简述一些基本表述与性质，以便应用与理解有关内容。矩阵是由英国数学家Cayley(1821~1895)和Sylvester(1814~1897)大约在1850年左右提出来的。Cayler在研究坐标变换中中，引进矩阵的概念。矩阵是按矩形排列的一组“数”，可表示如下：111212122212[]mmijnnnmaaaaaaaaaaA(1.2.7)A称为nm矩阵，它有n行和m列。矩阵中包含的“数”称为矩阵的元素，简称矩阵元。第i列和第j列的矩阵元，以ija表示。通常，矩阵以大写的黑体字表示，如A，或用矩阵元外加方括号表示，如[]ija。有时把矩阵的行数n和列数m注在左下角，如[]ijnma。当矩阵的行列数相等时，称为方阵。零矩阵[0]或0是全部矩阵元为零的矩阵，如23000[0]000。除对角线上各元素外，其余都是零的方阵称为对角阵，例如：1122330000[]00ijijaaaaA，1122330000[]00ijijbbbbB式中，ij称为克罗内克符号(Kroneckerdelta)，它的意义是0()1()ijijij(1.2.8)两个同阶对角阵的乘积可以对易，即ABBA(1.2.9)用其乘积也是对角阵。对角线上各元素为1，其余均为零的方阵称为单位矩阵(unitmatrix)，以I或[]ij表示，即[][]ijijII(1.2.10)如：1001I，100010001I等。矩阵和矩阵相乘：Cayley定义矩阵乘法规则如下：一个n行和m列的矩阵可以和m行和k列的矩阵相乘，得到一个n行和k列的矩阵，即4111211112111121212222122221222121212mkkmkknnnmmmmknnnknmmknkaaabbbcccaaabbbccaaaabbacacCAB(1.2.11)式中：1(1,2,,;1,2,,)mijippjpcabinjk(1.2.12)由此定可见，只有前一矩阵的列数与后一矩阵的行数相等时才能相乘，否则不能相乘。把矩阵[]ijaA的行列互换，称为矩阵的转置，用TA表示，即：T[][]ijjiaaAA(1.2.13)若在转置矩阵TA中，每个矩阵元素用它的共轭复数来代替，则形成的新矩阵称为转置共轭矩阵(thetransposecomplexconjugateofamatrix)，用符号HA表示，即H*[][]ijjiaaAA(1.2.14)A的转置共轭矩阵也用有符号†**,,AAA表示。凡方阵A和它的转置共轭矩阵HA相等者，则称为A的Hermite对称矩阵(Hermitiansysmmetricmaxtrix)，简称Hermite矩阵，即H*ijjiaaA=A(1.2.15)当A之元素ija全部为实数，且ijjiaa时，则称A为对称矩阵。方阵A的对角元素之和称为迹(traceorspur)，以TrA或SpA表示，即1TrSpniiiaAA(1.2.16)方阵A的行列式为：11121212221||||nnijnnnaaaaaaAaaa(1.2.17)如果||0A，A称为奇异方阵(singularmatrix)，||0A时，称为非奇异方阵(non-singularmatrix)。如果方阵A为非奇异的，则可找到另一个同阶方阵1A，使511AA=AA=I(1.2.18)则1A称为A的逆矩阵(inversematrix)，简称“逆”。凡方阵的逆矩阵等于转置共轭矩阵的，称为酉阵或幺正矩阵(unitarymatrix)，以U表示，即1HUU(1.2.19)H11UUUU=I(1.2.20)如果酉阵的元素都是实数，则此酉阵为正交阵(orthogonalmatrix)。n阶酉阵的各行或各列形成一组n个正交归一的矢量。反过来，由一组n个正交归一矢量组成的方阵是酉阵。酉阵之逆也是酉阵。把矩阵A中与ija同行和同列的各元素划去后，余下的矩阵的行列式ijA称为余子式(minor)。(1)ijijijAA(1.2.21)是ija的代数余子式(cofactor)。由代数余子式组成的矩阵称为“矩阵元的代数余子式的矩阵”，它的转置矩阵称为原方阵A的伴随矩阵(classicaladjointofasquarematrix)，并且以符号adjA表示之，例如111213111213212223212223313233313233||||||adj||||||||||||aaaAAAaaaAAAaaaAAAAA(1.2.22)非奇异方阵A之逆等于它的伴随矩阵被A的行列式所除，即1adj||AAA(1.2.23)这提供了一种矩阵求逆的方法，这一求逆方法可适用于非对称方阵。仅有一行的矩阵称为行矩阵，例如：12[]inaaaaA(1.2.24)仅有一列的矩阵称为列矩阵，例如：12TT1212{}[][]jnjnnbbbbbbbbbbbB(1.2.25)为了书写或印刷的节省起见，有时把列矩阵横转来写，但用大括号表示，或仍用中括号，但在右上角加上转置符号T。1.2.3狄拉克符号量子力学的理论表述，常采用狄拉克符号。它有两个明显的优点：1)可以毋需具体表象来讨论问题；2)运算简捷。一个量子力学体系的一切可能状态构成一个Hilbert空间。这空间的矢量(一般为复矢)用一个右矢(ketvertor或ket)表示，若要标志某特殊的态，则于其内标上某种记号。如，表示波函数描述的6状态。对于本征态，常用本征值或相应的量子数标在右矢内。如，用nE或n表示能量的本征态(本征值为nE)。注意，量子态的以上表示，都只是一个抽象的态矢量，未涉及到具体的表象。与右矢相应，左矢(bravector或bra)表示共轭空间的一个抽象矢量。如：是的共轭态矢。左矢和右矢相乘就成为一个括号。事实上bra和ket两字是Dirac创造出来的，就是把bracket(括号)拆成两半。两个态矢与的标积(scalarproduct)用表示，通常简记为(这种简记方式是昀常用的，特殊要注意理解其表达的具体含义)，而*(1.2.26)若0，则称态矢与正交。若态矢是归一化态矢，则1。设力学量完全集ˆF的本征态记为k，以它们作为基矢的表象，称为F表象。这个离散表象的基矢的正交归一性可以表示成kjkj(1.2.27)而连续谱表象的基矢的正交“归一”性，可表示成函数。在F