西安交大数学建模论文范文

1SARS传播的数学模型摘要通过对题目附件1的SARS模型进行分析和评价，加深了对SARS的认识和了解。根据传染病的传播特点，建立了关于SARS病人率和疑似病人率两个常微分方程模型。以所给数据为基本依据，用Matlab软件进行数值计算，与图形模拟方法求得模型中的有关参数。当λ1=1.5和λ2=1时，理论图形与实际图形有良好的吻合，分别得到了SARS病人率和疑似病人率比较符合实际数据的变化图，能正确地预测它们的发展趋势。他们对于模型中的参数有非常强的灵感性，λ1的值作微小的改变对于整个疫情的发展有很大的影响，所以政府采取对SARS疫情的有关措施是完全正确的。本文重点分析了关于SARS病人率的模型一，根据求得的参数，利用相轨线理论对结果加以分析并对整个疫情作出预测，并推论出SARS病人率关于t的表达式i(t),然后提出了对传染病的控制方案，同时列举了具体方法，并论证了方法的合理性和可行性，用其它地区的数据对模型进行检验，说明模型的参数有区域性。关键词：SARS微分方程曲线拟合数学模型相轨线2一、问题的提出SARS俗称非典型肺炎，是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。我国作为发展中大国深受其害：SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响。在党和政府的统一领导下，全国人民与SARS顽强抗争，取得了可喜的阶段性胜利，并从中得到了许多重要的经验和教训，认识到在没有找出真正病因和有效治愈方法前，政府采取的强制性政策对抑制SARS自然发展最有效办法。而本题的目的就是要建立一个适当的模型对SARS传播规律进行定量地分析、研究，为预测和控制SARS蔓延提供可靠、足够的信息，无论对现在还是将来都有其重要的现实意义。二、模型的假设1．地总人数N可视为常数，即流入人口等于流出人口。2．据人口所处的健康状态，将人群分为：健康者，SARS病人，退出者（被治愈者、免疫者和死亡者）。3．在政府的强制措施下，人口基本不流动，故无病源的流入和流出，避免了交叉感染，降低了感染基数。4．隔离的人断绝了与外界的联系，不具有传染性。5．SARS康复者二度感染的概率为0。6．国家完善了监控手段，加强了对SARS病毒监控的力度，故可假设所有感染SARS病毒的人群都进入了SARS病人类和疑似类。7．由于对SARS病原体的研究不够深入，无有效药物可以使人体免疫，同时SARS病毒感染后，大量繁殖，破坏免疫系统，故不可免疫。三、模型的建立（一）参数的设定和符号说明s(t)：t时刻健康者在总体人群中的比例i(t)：t时刻SARS病人在总体人群中的比例l(t)：t时刻疑似病人在总体人群中的比例r(t)：t时刻被治愈者、死亡者和免疫者在总体人群中的比例之和。1：SARS病人日接触率。为每个病人每天有效接触（足以使健康者受感染变为病人）的平均人数。u：日治愈率。为每天被治愈的病人占病人总数的比例。：日转化率。为每天危险群体中的疑似病人被确诊为SARS患者的比例。：日死亡率。为每天SARS病人死亡的数量和当天病人总数量的比值。32：疑似感染率。为每天感染为疑似病人的比例。（二）模型建立模型一感染为SARS患者情况由假设，每个病人每天可使)(1ts个健康者变为病人，因为病人人数为)(tNi，所以每天共有)()(1titNs个健康者被感染，于是Nsi1就是病人数Ni的增加率，又因为每天被治愈率为，死亡率为，所以每天有Ni个病人被治愈，有Ni个病人死亡。那么病人的感染为NiNiNsidtdiN由于1)()()(trtits)1(对于退出者idtdr(为所有退出者比例之和))2(由假设可知：故SARS患者率模型一的方程建立如下：0111011)0()0(ssisdtdsiiiiuisdtdi(3)0)0(r)4(模型二疑似患者的变化情况与前面同样的分析，得到疑似患者率模型二：lsdtdsllsdtdl22222(5)四、模型求解（一）参数的确定和分析：41.,,的确定=当天病人总数每天治愈的人数，=当天疑似病人总数每天确诊的人数，=当天病人总数每天死亡的人数用EXCEL电子表格处理题目附件2中所给数据得：=0.055076，=0.038183，=0.002443。（处理数据见附件）2．21,的确定)1(确定1很明显从我们建立的模型是无法得到s、i、0i、0s的解析解。为了解决这个问题我们用MATLAB软件中龙格—库塔方法求出他们的数值解。先通过实际统计数据算出每一天的s、i、0i、0s做出它们与时间的函数图象图1，然后我们再对1取一组数，分别画出由通过模型解出的数值解随时间变化的图象图2，将这组图象与由实际数据所得图象相比较,调试。我们发现当11.5时，理论图形与实际图形有最佳的吻合。图形如下：图1:根据实际数据拟合的图象（画图程序见附件）图2通过数值解作出的i关于时间t的变化（画图程序见附件）5分析两个图形可知，它们的高峰期、缓解期和平稳期曲线相当符合，具有相同的发展趋势。但是在[0,10]的SARS初期范围内，曲线变化不相同。这主要是因为在4月24日之前，没有相关数据的统计和报道，由于数据的不全，根据边界值画出来的曲线与通过数值解得到的ti~曲线相比较，不能准确反映SARS产生初期时的趋势，所以边界值应该去掉，而通过数值解模拟的曲线可以得到之前的发展趋势。并且通过对SARS蔓延期特点的分析，图2在符合所给数据反映的规律基础上，还能够模拟缺乏数据的SARS初始状态，所以曲线是合理的。（2）确定2与确定1时类似，先根据实际数据画出图形图3实际数据图形6然后再对2取一组数，分别画出通过模型解出的数值解随时间变化的图象，将这组图象与由实际数据所得图象相比较,调试。发现当21.0时，理论图形与实际图形有最佳的吻合。图形如下：图4在[0,10]的初期范围内，曲线趋势不同，原因同前。整个曲线反映了疑似患者在SARS的过程中的变化规律。五、结果分析与检验（一）讨论tsti,的性质is~平面称为相平面，相轨线在相平面上的定义域Dis),(为1,0,0|),(isisisD从模型（一）中消去dt，利用的定义，可得,1.1sdsdi00|iiss（6）由（6）式解得)ln(*1000sssisi（7）（二）对于合理确定的5.11，我们可以画出si~图，图形如下：图5（画图程序见附件7由于在这个SARS病毒发展过程中，是变化的，故可以画出取不同值时的图形，如下取/10.4192，0.2858、0.1858时的图形。图6分析（3）式和（7）式，可知：1．不论初始条件0s，0i如何，病人终会消失，即SARS最终会被消灭,亦即0i。证明省略。8从图形上看，相轨线终将与s轴相交（t充分大）。2．设最终未被感染的健康者的比例是s，在（7）式中令0i得到方程0ln1000ssis（8）s是（8）在（0,1/）内的根，在图形上s是相轨线与s轴在（0,1/）内交点的横坐标。对于确定下来的/1=0.0383，可以代入（8）式解出s≈03．SARS疾病传染过程分析整个传染过程，随着政府和公众对SARS的重视程度的变化，可知接触数/1随着治愈率、死亡率和接触率1的不断变化而变化。（1）在SARS爆发的初期，由于潜伏期的存在，社会对SARS病毒传播的速度和危害程度认识不够，所以政府和公众没有引起重视。治愈率和死亡率很小，而接触率1相对较大，所以/1很小。当0s/1，则)(ti开始增加，可认为是疾病蔓延阶段。（2）当0s=/1时，)(ti达到最大值)ln1(1000sisim（9）对于我们确定的5.11，可以求出mi0.8368，可认为是疾病传染到达了高峰期。（3）当0s/1时，)(ti单调减小至零，)(ts单调减小至s。这一时期病人比例)(ti绝不会增加，传染病不会蔓延，进入缓解期。4．群体免疫和预防根据对模型的分析，当0s≤/1是传染病不会蔓延。所以为制止蔓延，除了提高卫生和医疗水平，使阈值1/变大以外，另一个途径是降低0s，这可以通过预防接种使群体免疫。第二个途径通过预防接种使群众免疫，免疫后就不会被感染上病毒。按照我们人群的分类系统，将免疫人群归为退出者类，所以免疫人群的出现，不与模型的分类系统相矛盾。忽略病人比例的初始值0i，有0s=1-0r，于是SARS不再蔓延的条件0s≤/1可以表示为：9110r（10）所以只要通过群体免疫使初始时刻的移出者比例0r满足（10），就可以制止SARS的蔓延。5．数值验证与估量根据上面的分析，阻止SARS蔓延有两种手段，一是提高卫生水平和医疗水平，即降低日接触率，提高日治愈率，二是群体免疫，即提高移出者比例的初值0r。我们以最终未感染的健康者的比例s和病人比例达到最大值mi，作为传染病蔓延程度的度量指标。给定不同的，，0s，0i，用（8）式计算s，用（9）式计算mi从计算得到的s和mi可以看出：（1）对于一定的0s，降低，提高，使阈值1/变大，会使s变大，mi变小。于是验证了群体免疫和预防中提出的提高卫生水平和医疗水平，可以使SARS最终的患者比例缩小，健康群体增加。（2）对于一定的，，提高0r，会使s变大，mi变小。所以实行群体免疫，降低受感染的基数，可以有效地减缓SARS蔓延的速度。在（8）式中略去很小的0i，即有/10s0ismi1.00.30.30.980.020.03980.34490.60.30.50.980.020.19650.16350.50.51.00.980.020.81220.02000.40.51.250.980.020.91720.02001.00.30.30.700.020.08400.16850.60.30.50.700.020.30560.05180.50.51.00.700.020.65280.02000.40.51.250.700.020.67550.020010ssss00lnln（11）6．模型验证首先，由方程（1）和（3）可以得到)(0)(trests（12）)1(0resrdtdr（13）当/1r时，取（13）式右端reTaylor展开的前三项，在初始值00r下的解为)2()1(1)(020tthsstr（14）其中2002022)1(iss,10sth,从（14）式算出)2(22202tchsdtdr（15）将（14）代入（12），再将（12）代入（7），得到)2()1(1)()(020)2()1(100000tthssesistitthss（其中2002022)1(iss，10sth）对于表达式中的参数，已通过前面的参数分析得出，代入表达式，就可以对t时的患病率)(ti做预测，达到了预测的目的，满足题目的要求。7．对卫生部措施的评估在模型中，1的取值大小能充分反映接触率的变化。若采取的隔离措施提前T天，那么1将相应减小，反之则增加。不妨将1的值取为1.3和1.7，作出相应的图形7和图8。〈图7〉11〈图8〉由以上图形可见，T对SARS病人的增长有显著影响，因此，卫生部采取的提前或延后5天的隔离措施有其数学背景和科学依据。至于到底提前或延后几天最好，还有待进一步研究。12六、模型评价及改进1、评价模型首先根据所给数据的分析，采用微分方程建立两个模型，分设变量。再通过统计数据与数据拟和求得各自的参数值，利用数值计算得到结果并加以分析，得出传染病的传染规律，最后根据此分析提出对传染病预测与控制的方案。模型采用了数值计算，图形观察与理论分析相结合